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1.3.1函数的单调性与导数2


高中数学选修 2-2 第一章

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1.3.1 函数的单调性与导数(2)
编写:孙又国 魏博

2.如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y ? f / ( x) 的图象可能是 ( )

一、学习目标
1. 进一步掌握函数的导数在判断函数的单调性中的应用; 2. 培养应用数形结合、分类讨论等数学思想的意识.

二、知识梳理
1.函数的导数与函数的单调性的关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f / ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区 间内 内 内 ; 如 果 f / ( x) ? 0 , 那 么 函 数 y ? f ( x ) 在 这 个 区 间 ;如果恒有 f / ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间 . 2. 如果函数 y ? f ( x) 在某个区间 ( a, b) 内单调递增, 那么在区间 ( a, b) 内 ;如果函数 y ? f ( x) 在某个区间 ( a, b) 内单调递减,那么在区间 . 3.函数 f ( x) ? x3 ?15x2 ? 33x ? 6 的单调减区间为 _________ .

4.判断函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7 在区间(0,2)内的单调性.

( a, b) 内

五、典型例题:
例题 1、已知函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x 2 ? k 2 ? 1(k ? 0) ,若 f ( x) 的单 调递减区间是(0,4) ,求 k 的值。

三、思考探究
3.分类讨论函数的单调性时,注意分类标准(为什么分类?怎么分?) .

四、自主测评
1.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是(
x

) . (D) (2,??)

(A) (??,2)

(B)(0,3)

(C)(1,4)

w.w.w. k.s .

曾子学校高中数学学案

使用日期





日 1

学案评级(优秀

一般

较差



高中数学选修 2-2 第一章

姓名

班级

变式训练 1.已知函数 y ? x 3 ? ax ? 6 在区间 (1,?? ) 上单调递增,求 a 的取值范围.

七、当堂练习
1.函数 y ? 2 x ? sin x 的单调递增区间为( ) .

A.(??,??)

B.(0,??)

C.(2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

)( k ? z )

D.(2k? ,2k? ? ? )(k ? z )
2.(08 宁夏 ) 若函数 y ? ? 2. 已知函数 y ? x 3 ? ax ? 6 的一个单调递增区间为 (1,?? ) , 求 a 的值及函 数的其它单调区间. ( ). (A) b ? 0

4 3 x ? bx 有三个单调区间 , 则 b 的取值范围是 3
(C) b ? 0 (D) b ? 0

(B) b ? 0

3.若函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? x ? b在(0,1) 内单调递减,则实数 a 的取值范是 ( ) . ( A)a ? 1

( B) a ? 1

(C )a ? 1

( D)0 ? a ? 1

4 .函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 8 的单调递减区间为 (0,5) , 则实数 a 的取值是 ____ _ . ,单调递减区间

5 .函数 y ? x ax ? x 2 (a ? 0) 的单调递增区间为 例 2 已知 x>1,求证:x>ln(1+x). 为 .

6. 求证 : 方程x ?

1 sin x ? 0只有一个根 x ? 0 . 2

变式训练. 已知 x>0,求证:1+2x< e

2x

. 7. 已 知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在 区 间 ?0,1? 内 是 增 函 数 , 在 区 间

(??,0), (1,??) 内是减函数,又 f ?( x) ?

3 。 2

六、小结
1、知识

(1) 求 f ( x) 的解析式(2)若在区间 ?0, m?(m ? 0) 上恒有 f ( x) ? x , 求 m 的取值范围。

2、方法 3、思想
曾子学校高中数学学案 使用日期 年 月 日 2 学案评级(优秀 一般 较差 )


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