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开封市2010-2011学年度第一学期期末调研考试高一数学试题(解析版)


开封市 2010 ? 2011学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题
一、选择题 A. {2, 4} 【答案】D 【解析】 1.设集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?0, 2, 4? ,则 A ? B ? B. {0, 2, 4} C. {1, 2,3, 4} ( D. {0,1, 2,3, 4} )

2. 下图是某几何体的三视图

(单位:cm ) , 则该几何体的体积是 (单位:cm )( A. 6? 1 1 B. 4? C. 2? 3 3 D. ? 【答案】D 2 2 【解析】由三视图可得该几何体 2 是一个圆锥,其高是 3 ,底面圆 正视图 侧视图 俯视图 的半径是 1 ,故其体积是 ? 3. 计算 lg10 ? lg1 ? ( A. 1 B. 11 【答案】A 【解析】 lg10 ? lg1 ? 1 ? 0 ? 1 C. 10 D. 0

3





4.过点 A(m,1), B( ?1, m) 的直线与过点 P(1, 2), Q(?5,0) 的直线平行, 则m? ( A. 2 【答案】C B. 1 C.



1 2

D.

1 4

m ?1 1 1 ? ?m? ?m ? 1 3 2 ABCD ? A B C D BA 5.正方体 1 1 1 1 中,与面对角线 1 异面的棱的条数为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【解析】由题得 k AB ? kPQ ?? 【答案】C 【解析】 6.圆心 C (8, ?3) ,且过点 M (5,1) 的圆方程是 A. ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 25
2 2 2 2






2 2 2 2



B. ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 5

C. ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 5 D. ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 25 【答案】A 【解析】 7.若一个正方体的顶点都在球面上,则球的表面积为 A. ? a 【答案】B 【解析】
2





B. 3? a

2

C. 6? a

2

D. 12? a

2

第1页

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8.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点在区间 A. (2,3) B. (3, 4) C. (1, 2) D. (0,1) 【答案】A 【解析】 9.下列命题中,错误的是( ? , ? , ? 表示平面, a, b 表示直线) A.若 ? ? ? , a ? ? ,则 a ? ? B.若 ? ∥ ? , ? ∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ∥ ? ,且 ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 则 a?? b D.若 ? ? ? , ? ? 【答案】A 【解析】 A. 6 【答案】D









? ,且 ? ? ? ? a ,则 a ? ?

2 2 10. 过点 P(4, 2) 作圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 的一条切线, 切点为 Q , 则 PQ ? (



B. 20

C. 2 6

D. 5

【解析】因为圆心 C (?1,1) ,则 PC ? A. 2 【答案】C B. 2 ? 2

26 , CQ ? 1 ,所以 PQ ? 26 ? 1 ? 5
( D. 2 ? 1 ) C. 2 ? 1

11.已知点 (a, 2)(a ? 0) 到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1 ,则 a ?

? a?2?3 ?1 ? ? a ? 2 ?1 【解析】由 ? 2 ?a ? 0 ?
12.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90 , ?ACC1 ? 60 , ?BCC1 ? 45 , CC1 ? 1
? ? ?

则该三棱柱的高是 A. C.

1 2
3 2

2 2 3 D. 3
B.

A1 C1

B1 (



A C

B

【答案】A 【解析】由题得 二、填空题

1 的定义域是 x?2 【答案】 ? ?3, ?2 ? ? (?2, ??)
13.函数 f ( x) ?

x?3 ?

?x ? 3 ? 0 得 ?x ? 2 ? 0 14.经过点 B(3,0) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为 【答案】 x ? 2 y ? 3 ? 0
【解析】由 ?
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【解析】 15.如图,四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其它四个侧面都是 侧棱长为 5 的等腰三角形,则二面角 V ? AB ? C 的大小为 【答案】 60 【解析】
?

V V A A B M O C ,则 f ( f (0)) ? D B C D

16.设函数 f ( x ) ? ? 【答案】 0 【解析】 (Ⅰ) (Ⅱ)

?3x , x ? 0 ?lg x, x ? 0

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知函数 f ( x) 是定义在 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x y (Ⅰ)画出函数 f ( x) 的图象,并写出函数的解析式 2 (Ⅱ)根据图象写出 f ( x) 的单调区间,并写出函数的值域 【解析】 (Ⅰ)当 x ? 0 时,则 ? x ? 0 , 由 x ? 0 时, f ( x) ? x ,且 f ( x) 是定义在 R 的偶函数, 得 f (? x) ? ? x ,? f ( x) ? ? x,? f ( x) ? ? 如图,即为函数 f ( x) 的图象 (Ⅱ)由图象可得:函数在 (??,0) 上是减函数, 在 (0, ??) 上是增函数,值域为 ? 0, ?? ? 18. (12 分) A 和 C 分别取什么值时,直线 l1 : Ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l2 : 6 x ? 4 y ? C ? 0 (Ⅰ)平行 (Ⅱ)垂直
?2 ?1

1

O
1
2

?2 ?1

? x, x ? 0 ? ? x, x ? 0

?1

x

?2

y 2
1
?1

O
1
2

x

?2

A 3 , k2 ? 2 2 ?k1 ? k2 ? (Ⅰ)? l1?? l2 ,? ? ?1 C ? A ? 3, C ? ?2 ? ? ?A 6
【解析】? k1 ?
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4 3 19. (12 分)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证:
(Ⅱ)? l1 ? l2 ,? k1 ? k2 ? ?1 ? A ? ? (Ⅰ) AC ∥平面 A1 BC1 (Ⅱ)平面 DBB1 D1 ? 平面 A1 BC1 【解析】 (Ⅰ)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

A1

D1 B1
D

C1

C A y B

AC ∥ A1C1 ,又 AC ? 平面 A1 BC1 ,则 AC ∥平面 A1 BC1 (Ⅱ)由正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 得 B1 D1 ? A1C1 ,
BB1 ? 平面 A1 B1C1D1 ,则 BB1 ? A1C1

4
?10
O

10
x

? A1C1 ? 平面 BDD1 B1 ,则平面 DBB1 D1 ? 平面 A1 BC1 20. (12 分)如图,某圆拱桥的水面跨度 20cm ,拱高 4cm , 现有一船,宽 10cm ,水面以上高 3cm
(Ⅰ)求圆拱所在的圆的方程 (Ⅱ)这条船能否从桥下通过? 【解析】 (Ⅰ)如图,建立平面直角坐标系,以题有: y

A(?10,0), B(10,0), P(0, 4), D(?5,0), E(5,0)
设所求圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,则有
2 2 2

?(a ? 10) 2 ? b 2 ? r 2 ?a ? 0 ? ? 2 2 2 ?(a ? 10) ? b ? r ? ?b ? ?10.5 ?a 2 ? (b ? 4) 2 ? r 2 ? ?r ? 14.5 ? 2 2 2 则所求圆的方程为 x ? ( y ? 10.5) ? 14.5
(Ⅱ)? N (5,3) ,圆心 C (0, ?10.5), CN
2

?10 A D O C

G

4

F N E10B

x

? 5 2 ? (3 ?10.5) 2 ? 207.25 ?14.5 2

即 N 在圆的内部,所以这条船能否从桥下通过 21. (12 分)如图,在棱长为 1 的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D, D1 分 别是 BC , B1C1 的中点 (Ⅰ)证明:平面 A1 BD1 ∥平面 AC1 D (Ⅱ)求异面直线 AC1 与 BD1 所成角的余弦值 【解析】 (Ⅰ)? D, D1 分别是 BC , B1C1 的中点,

A1

D1

C1

B1
A B D C

? BD?? D1C1 ?? BDC1D1 ? BD1?? DC1 ,又 DC1 ? 平面 AC1 D

? BD1?? 平面 AC1 D ,

? A1D1?? AD, AD ? 平面 AC1 D ,? A1 D1?? 平面 AC1 D ,
∴平面 A1 BD1 ∥平面 AC1D

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 BD1?? DC1 ,则异面直线 AC1 与 BD1 所成角为 ?AC1 D (或其补角) 在 ?AC1 D 中, AC1 ?

2, C1 D ?

5 3 , AD ? ,? AD ? 平面 BB1C1D,? AD ? C1D , 2 2
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在 Rt ?ADC1 中, cos ?AC1 D ?

C1 D 10 ? 即所求 C1 A 4

22. (12 分)某公司生产一种新产品,需要固定成本(厂房、设备等)为 200 万元,每 件产品的可变成本(原材料、工人工资等) 0.3 为万元,每件产品的售价为 0.4 ,设产品 的总产量为 x (Ⅰ)写出总产量为 x 对总成本 C 、单位成本 P 、销售收入 R 以及利润 L 之间的函数关 系 (Ⅱ)试根据(Ⅰ)所写函数,对该公司的经济效益作简单的分析 【解析】 (Ⅰ)由题意得: C ? 200 ? 0.3x( x ? N ? ), P ?

200 ? 0.3, R ? 0.4 x, x

L ? R ? C ? 0.1x ? 200, ( x ? N ? )
(Ⅱ) (注:本答案不唯一) 示例 1:由 0.1x ? 200 ? 0 得 x ? 2000 ,所以,当 x ? 2000 时,该公司不赚不赔; 当 x ? 2000 时,该公司亏损;当 x ? 2000 时,该公司盈利 示例 2:从单位成本与产量的关系 P ? 量,以形成规模效益。

200 ? 0.3 可以看出,为了降低成本,应该增加产 x

第5页

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