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浙江省杭州二中2012-2013学年高二上学期期末数学理试题


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杭州二中 2012 学年第一学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分,考试时间 100 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把答案填在答卷相应空格中) 1. m ? 2 ”是直线“ 2 x ? my ? 0 与直线 x ? y ? 1 平行”的 “ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E,F,G,H 分别是 AA1,A1D1,A1B1,BB1 的中 点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角的大小为 D1 A.30° B.45° C.60° D.120° FD G ?x ? y ?1 ? 0 A1 ? D ?x ? y ? 0 3. 若实数 x, y 满足 ?
?x ? 0

C1 B1 H D B C

,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是
1

ED A

D

A. 0

B.

2

C. 2

D. 3

x2 y 2 3 e? ? ? 1 (m ? 0, n ? 0) 5 ,则椭圆的方程是 m n 4.已知椭圆 的长轴长为 10,离心率

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 A. 25 16 或 16 25 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 C. 25 9 或 9 25

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 B. 16 9 或 9 16
x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 D. 100 25 或 25 100

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m B. 若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D. 若 l //? , m //? ,则 l //m

2 6. 点 P http://www.7caiedu.cn/是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P http://www.7caiedu.cn/

到点 A(0, ? 1) http://www.7caiedu.cn/的距离与到直线 x ? ?1 http://www.7caiedu.cn/的距离之 和的最小值是 A. 5 B. 3 C. 2 D.2

2 2 7. 已知直线 y ? kx ? 2 和椭圆 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点,则 k 的取值范围

6 6 k?? k? 3 或 3 A.

6 6 ? ?k? 3 B. 3

6 6 k?? k? 3 或 3 C.

6 6 ? ?k? 3 D. 3

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x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 8.已知点 F1 , F2 分别是双曲线 a b 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直

线与双曲线交于 A, B 两点,若

?ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是
C. (1, 3) D. ( 3,2 2 )

A. (1 ? 2 ,??) B. (1,1 ? 2 )

9. 如图,四面体 OABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直, OA ? OB ? 2, OC ? 3, D 为四面体
OABC 外一点.给出下列命题:

①不存在点 D ,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形; ②不存在点 D ,使四面体 ABCD 是正三棱锥; ③存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等; ④存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上. 其中真命题的序号是 A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ③ 10.到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直 线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲 线 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答卷中相应横线上) ? ? ? ? ? ? a ? (2, ?1,3), b ? (?4, 2, x) ,则使“ a ? b ”和“ a // b ”的 x 之和为 11.已知向量 . 12.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆) ,根据图 中标出的尺寸(单位:㎝) 可得这个几何体的表面积是 , ___________ cm .
1 ? ?x ? 2 t ? ? ?y ? 1? 3 t ? l 的参数方程是 ? 2 ( t 为参数),曲线 C 的极坐标方 13. 设直线
2

程是 ? ? 6sin ? ,则 l 与曲线 C 相交的弦长是 14. 如图,过抛物线 准线于点 C,若
y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?
??? ?



的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,交其 .

???? AF ? 3

,且 CB ? 2 BF ,则此抛物线的方程为
d ( P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2

??? ?

15.在平面直角坐标系中,定义

为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间的

2 2 “出租车距离” ,则圆 x ? y ? 1 上一点与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上一点的“出租车距离”的最小

值为



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杭州二中 2012 学年第一学期高二年级期末考试数学答卷(理科) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把答案填在答卷相应空格中)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答卷中相应横线上) 11. 12. 13.

14. 15. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 8 分)
2 已知命题 p : “对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立”,命

2 2 题 q :“方程 (a ? 1) x ? (3 ? a) y ?(3 ? a)(a ? 1) ? 0 表示焦点在 x 轴上的椭圆”.

(Ⅰ )若命题 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )若命题 p , q 中有且只有一个真命题,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 9 分) 关于直线
x? y?2?0

2 2 2 已知圆 C 过点 P (1,1) ,且与圆 M : ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0)

对称.

(Ⅰ )求圆 C 的方程; (Ⅱ )过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

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18. (本小题满分 11 分) 形, AB ? PA ? tBC (t ? 0) .

在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩

(Ⅰ )当 t ? 1时,求证: BD ? PC ; (Ⅱ )若 BC 边上有且只有一个点 Q ,使得 PQ ? QD ,求此时二面角 A ? PD ? Q 的余弦值.

P

A

D

B Q

C

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19. (本小题满分 12 分)

已知椭圆

C:2 ?

x2 a

y2 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 的离心率为 2 ,椭圆 C 上的

点到 左焦点 F 距离的最小值与最大值之积为 1. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )直线 l 过椭圆 C 内一点 M (m, 0) ,与椭圆 C 交于 P、Q 两点.对给定的 m 值,若存在直 线 l 及直线 x ? ?2 上的点 N,使得 ?PNQ 的垂心恰为点 F,求 m 的取值范围.

y
N

P

F
Q
x ? ?2

M O

x

(第 19 题)

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杭州二中 2012 学年第一学期高二年级期终数学答卷(理科) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 C 7 A 8 B 9 C 10 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每题 4 分,共 24 分)
4? 5 y 2 ? 3x 3? ? 4 ; 13. 4 2 ; 12. 14. ; 15. 2 . 三、解答题(本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
8 11. 3 ; ?

16 . 解 : Ⅰ ) 命 题 p 是 真 命 题 , 对 任 意 实 数 (
?a ? 0 ? a ? 0或? ?? ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;

x 都有

ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒 成 立

(Ⅱ)命题 q 为真,则

?3 ? a ? 0 ? ?1? a ? 2 ?a ? 1 ? 0 ?3 ? a ? a ? 1 ?

,命题 p , q 中有且只有一个真命题,求实数 a

的取值范围为 0 ? a ? 1 或 2 ? a ? 4 .
?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ?2?0 ? ? ?a ? 0 b?2 ? ? ?1 b?0 a?2 ? 17.解: (Ⅰ)设圆心 C (a, b) ,则 ? ,解得 ?
2 2 2 2 2 2 则圆 C 的方程为 x ? y ? r ,将点 P 的坐标代入得 r ? 2 ,故圆 C 的方程为 x ? y ? 2

(Ⅱ)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,
? y ? 1 ? k ( x ? 1) ? 2 2 ? x ?y ?2

PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1)

,由

2 2 2 ,得 (1 ? k ) x ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ? 2 ? 0 ,

因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得

xA ?

k 2 ? 2k ? 1 1? k 2 ,

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同理,

xB ?

y ? y A ? k ( xB ? 1) ? k ( x A ? 1) 2k ? k ( xB ? x A ) k 2 ? 2k ? 1 k AB ? B ? ? ?1 2 xB ? x A xB ? x A xB ? x A 1? k ,所以 = kOP

所以,直线 AB 和 OP 一定平行. 18.解: (Ⅰ)当 t ? 1时,底面 ABCD 为正方形,? BD ? AC , 又因为 BD ? AP , BD ? PAC 又 PC ? 面PAC BD ? PC .
P

z

(Ⅱ)因为 AB, AD, AP 两两垂直,分别以它们所在直线为 x, y, z 轴建 立坐标系, 如图所示, BC ? 1 , B(t,0,0), 设 则 D(0,t,0), C(t,1,0), P(0,0,t), 设 BQ ? m , 则 Q(t , m,0) (0 ? m ? 1) , 要 使 P Q? Q D 只 要 ,
B
? ?

A D Q x C

y

PQ? QD ? 0 ? ?t 2 ? m ? m2 ? 0 ,

??0?t ?

1 2

,m ?

1 2

当且仅当 m ? 1? m ,即 使得
PQ ? QD

m? t?
?

1 2 时,BC 边上有且只有一个点 Q , 1 2 ,,即 AD ? 2AB .

,由此得

设平面 POQ 的法向量为 P ? ( x, y,1)
?? ? ? P? PQ ? 0 ?? ? ? P? DQ ? 0 ?
? 1 1 ? P ? ( , ,1) 2 2 ,平面 PAD 的法向量 q ? (1,0,0) ,所以
? ? ? ?

则 ? p, q , ? 的大小与二面角 A ? PD ? Q 的大小相等所以
A ? PD ? Q

? ?

cos ? p, q ???

p? q

?

?

?

| p |,| q |

6 6



因此二面角

6 6 . 的余弦值为

?c 2 ? ? ?a 2 ?(a ? c)(a ? c) ? 1 19.解: )由条件得 ? (Ⅰ ,解得, a ? 2 , b ? c ? 1 .∴

椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2 .

(Ⅱ )由条件知, F (?1, 0) , ? 2 ? m ? 2 .
?? y ? x ? m ? 2 ?x 2 2 2 2 ? ? y ?1 P( x1 , y1 ) Q( x2 , y2 ) N (?2, y0 ) ?2 设 , , ,则由 得, (? ? 2) y ? 2? my ? m ? 2 ? 0 ,

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由 ? 2 ? m ? 2 知, ? ? 0 恒成立,且
PQ ? NF

y1 ? y2 ? ?

m2 ? 2 2? m y1 y2 ? 2 ?2 ? 2 , ? ?2 .



得,

y0 1 ? ? ?1 ?1 ? ,即 y0 ? ? , (1)
y 2 ? y0 y ? 1 ? ?1 x2 ? 2 x1 ? 1 y2 ? y0 y1 ? ? ?1 ? y2 ? m ? 2 ? y1 ? m ? 1

由 NQ ? PF 得,

,即

, (2)

2 由(1) (2)式化简得, (? ? 1) y1 y2 ? ? (m ? 1)( y1 ? y2 ) ? (m ? 1)(m ? 2) ? 0 , (3)



y1 ? y2 ? ?

m2 ? 2 2? m y1 y2 ? 2 ?2 ? 2 , ? ? 2 代入(3)式得,

(? 2 ? 1)(m2 ? 2) 2? 2 m(m ? 1) ? ? (m ? 1)(m ? 2) ? 0 ?2 ? 2 ?2 ? 2 ,
2 2 化简得, m? ? ?(3m ? 6m ? 2) (显然 m ? 0 ) ,

?0 ? m ? 2 ?? 2 ? m ? 0 ? ? 3 ?3 ? 2 ? 2 ?m?0 2 ?3m ? 6m ? 2 ? 0 ,或 ?3m ? 6m ? 2 ? 0 ,解得 3 ? 由 ? ? 0 得, ? .
[ 3 ?3 , 0) 3 .

∴ m 的取值范围

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