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全国高中数学联赛模拟试题1


全国高中数学联赛模拟试题 1 第一试 一.填空题 1.等差数列前 n 项和记为 S n ,若 S 1313 ? 41 , S 41 ? 1313 ,则 S 1354 ? __________
a ?c
n n 1

2.定义“幂平均三角形”为:如果△ABC 的三边 a,b,c 满足等式:b ? (

) n , (n ?

Z ) 则

2

称△ABC 为 次幂平均三角形” “n 如果△ABC 为 次幂平均三角形” 则角 B 的最大值是_____ “n , 3.已知 f (x)=
x ? (b ?
2

则 4 ? a ) x ? 3 a ? b 是偶函数, f(x)函数图像与与 y 轴交点的纵坐
2

标的最大值是______ 4.四面体 A-BCD 中,AB 与 CD 成 60 度夹角,且 AB+CD=4,E 为 AC 中点,F 为 BD 中点, 则 EF 长度的最小值为_______ 5.已知椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,过椭圆的右焦点作一直线 l 交椭圆于点

4

3

P,Q,则三角形 F 1 PQ 内切圆面积的最大值是______ 6.设 1 ?
1 2 ? 1 3 ?? ? 1 99 ? 1 100 ? n m

, 其中

n m

是既约分数,则

n 被 5除的余数为

______

7. ? ( A ) 表 示 集 合 A 所 有 元 素 之 和 , 若 对 ? n ? 1500, n ? N ? , 存 在
S ? ?a1 , a 2 , ? a n ?( a1 ? a 2 ? ? a n , 且 a i ? Z ), 使得 ? ( S ) ? n ,则 a 10 的最小值为______

?i
8. 设 S ?
i ?1

n

2

, (n>1),则使 S 为完全平方数的最小 n 为______

n

二.解答题 9.已知 a , b , b ? 0 , 且 a ? b ? c ? 3, 求证:
1 ab ? 1 bc ? 1 ca ? a ?b ?c
2 2 2

10. 过抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 上一点 P ( x 0 , y 0 )作两条互相垂直的直线
分别于抛物线交于

l1 , l 2 ,

A , B 两点。过 P 作 PH ? AB ,垂足为 H , 求 H 的轨迹方程

11 .二次函数 f ( x ) ? ax 求 a ? b ? c 的最大值

2

? bx ? c 满足当 x ? k 时, f ( x ) ? t , ( 0 ? k ? 1, t ? 0 )

第二试 一.已知 D 是锐角△ABC 外接圆 ? 的弧 BAC 中点,I 是△ABC 的内心,内切圆⊙I 切 BC 于 E, DE 交圆 ? 于另一点 F,圆 I 切 AB,AC 分别于 S,T。P 是 AF 于 ST 交点。求证 AI // PE

k 二. 求 C 2012 中偶数的个数

( k ? 0 ,1, 2 ? 2012 )

三.
设实数 x , y , z 都不等于 1,满足 xyz ? 1 (1) 求证: x
2 2 2 2 2 2

( x ? 1)

?

y

( y ? 1)

?

z

( z ? 1)

?1 ( x , y , z ), x , y , z 都不等于 1,

( 2 ) 证明:存在无穷多组三

元有理数组

且 xyz ? 1,使得上述不等式成立

四.圆上给定 24 个点,每两个点组成一个点对(一个点只能在一个点对中) ,把每个点对中 的两个点连接起来。问: 使形成的 12 条线段不相交的方法有多少种?


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