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【数学】1.2.1《常数函数与幂函数的导数》课件(新人教B版选修2-2)


1.2. 导 的 算 数 运

1.2.1 常数函数与幂函数的导数

们 道 数 几 意 是 线某 我 知 ,导 的 何 义 曲 在 点 的 线 斜 ,物 意 是 动 处 切 的 率 理 义 运 物 体 某 时 的 时 度那 , 对 函 在 一 刻 瞬 速. 么 于 数y = f ( x),如 求 的 数 ? 何 它 导 呢


根 函 的 义 函 y = f ( x)的 数 据 数 定 ,求 数 导 , ?y , 就 求 当 x趋 于 时 所 于 那 是 出 ? 近 趋 的 ?x 个 值 定 .

面 们 几 常 函的 数 下 我 求 个 用数 导 .

?y f ( x + ?x ) ? f ( x ) 因为 = ?x ?x O x c?c = = , ?x 图 . ? ?y 所以 y`= lim = lim = . ?x → ?x ?x → y`= 表示函数 y = c图象( . ? )上每一点处的 切线的斜率都为 .若y = c表示路程关于时间的 函数, 则 y`= 可以解释为某物体的瞬时速度始 终为 , 即一直处于静止状态.
y= c =

. 函数 y = f ( x ) = c 的导数

y

?y f ( x + ?x ) ? f ( x ) 因为 = ?x ?x x + ?x ? x = = , ?x ?y 所以 y`= lim = lim = . ?x → ?x ?x →

. 函数 y = f ( x ) = x 的导数

y

y= x =
O

x

图 . ?

y`= 表示函数 y = x图象( . ? )上每一点处的 切线的斜率都为 .若y = x表示路程关于时间的 函数, 则 y`= 可以解释为某物体做瞬时速度为 的匀速运动.

探究 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y = 2 x, y = 3x, y = 4 x的图解, 并根据导数定 义, 求它们的导数.

(1)从图象上看, 它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中, 哪一个增加得最快 ? 哪一 (3)函数 y = kx (k ≠ 0) 增 (减)的快慢与什么

个增加得最慢 ? 有关 ?

. 函数 y = f ( x ) = x 的导数 ?y f ( x + ?x ) ? f ( x ) 因为 = ?x ?x ( x + ?x ) ? x = ?x
x + x ? ?x + (?x ) ? x = ?x = x + ?x,

y

y= x2 =

O

x

图 . ?

?y 所以 y`= lim = lim ( x + ?x ) = x. ?x → ?x ?x →

y`= x 表示函数 y = x 图象( . ?

) 上点( x, y ) 处

切线的斜率为 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬 . 时变化率来看 y ' = x 表明:当x < 时, 随着x 的增 ,

加, y = x 减少得越来越慢当x > 时, 随着x的增加 ; , y = x 增加得越来越快 若y = x 表示路程关于时 .

间的函数, 则 y ' = x, 可以解释为某物体作变速运 动, 它在时刻x的瞬时速度为 x.

. 函数 y = f ( x ) = 的导数 x ( x + ?x ) ? f ( x ) x + ?x ? x ?y f 因为 = = ?x ?x ?x
x ? ( x + ?x ) = , =? x( x + ?x )?x x + x ? ?x

?y ? ? 所以 y`= lim = lim ? ? ?=? . ?x → ?x ?x → x ? x + x ? ?x ?
究 出 数 探 画 函 y = 的 象 据 象描 它 图 .根 图 , 述 的 x 变 情 ,并 出 线 点 , )处 切 方 . 化 况 求 曲 在 ( 的 线 程

?y f ( x + ?x ) ? f ( x ) 因为 = = ?x ?x

. 函数 y = f ( x ) = x 的导数
x + ?x ? x ?x

( =
=

x + ?x ? x x + ?x + x ?x x + ?x + x

(

)(

)

)

x + ?x + x

,

?y 所以 y`= lim = lim ?x → ?x ?x →

x + ?x + x

=

x

.


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