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2014河南省普通高中招生考试数学试卷


2014 年河南省普通高中招生考试数学试卷
b 4ac ? b 参考公式:y=ax2+bx+c(c≠0)图象的顶点坐标为() , 2a 4a
一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 下列各小题均有的四个答案, 其中只有一个是正确的将正确答案的代号字母填入题 后括号内。 1. (2014 河南省, 1, 3 分) 下列各数中, 最小的数是 【 】 (A)0

(B)
2

1 3

(C)-

1 3

(D)-3

【答案】D 2. (2014 河南省,2,3 分)据统计,2013 年河南省旅游业总收入达到约 3875.5 亿元. 若将 3875.5 亿用科学记数法表示为 3.8755 ?10n ,则 n 等于 (A)10 【答案】B 3. (2014 河南省, 3, 3 分) 如图, 直线 AB、 CD 相交于点 O, 射线 OM 平分∠ AOC, ON⊥ OM. 若 ∠ AOM=35° ,则∠ CON 的度数为 【 】 (A)35° (B)45° (C)55° (D)65° 【答案】C 4. (2014 河南省,4,3 分)下列各式计算正确的是 (A) a ? 2a ? 3a
3 2 6 (C) a ? a ? a 2





(B)11

(C)12

(D)13

【 】 (第 3 题)

(B) (?a ) ? a
3 2 2

6

(D) (a ? b) ? a ? b
2

2

【答案】B 5. (2014 河南省, 5, 3 分) 下列说法中, 正确的是 (A)“打开电视,正在播放河南新闻节目”是必然事件 (B)某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 (C)神州飞船发射前需要对零部件进行抽样检查 (D)了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查 【答案】D 【 】

6. (2014 河南省, 6, 3 分) 将两个长方体如图放置, 则所构成的几何体的左视图可能 【



【答案】C

7. (2014 河南省,7,3 分)如图,□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB⊥ AC.若 AB=4,AC=6,则 BD 的长是 【 】 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【答案】C (第 7 题) 8. (2014 河南省,8,3 分)如图,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? ,AC=1cm,BC=2cm,点 P 从点 A 出发,以 1cm/s 的速度沿折线 AC ? CB ? BA 运动,最终回到点 A.设点 P 的运 动时间为 x(s) ,线段 AP 的长度为 y(cm) ,则能够反映 y 与 x 之间函数关系的图象大 致是 【 】

【答案】A

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分)

9. (2014 河南省,9,3 分)计算: 3 27 - - 2 = 【答案】1

.

10. (2014 河南省,10,3 分)不等式组 ? í 【答案】-2

ì 3x + 6 ≥ 0, ? 的所有整数解的和为 ? 4 2 x > 0 ? ?

.

11. (2014 河南省,11,3 分)如图,在△ ABC 中,按以下步骤作图:① 分别以点 B、C 为

1 BC 的长为半径作弧,两弧相交于 M、N 两点;② 作直线 MN 交 AB 于点 D, 2 连接 CD. 若 CD=AC,∠ B=25° ,则∠ ACB 的度数为 .
圆心,以大于 【答案】105

2 12. (2014 河南省,12,3 分)已知抛物线 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )与 x 轴交于 A、B 两

(第 11 题)

点 , 若 点 A 的 坐 标 为 (? 2, 0), 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=2 , 则 线 段 AB 的 长 为 【答案】8 .

13. (2014 河南省,13,3 分)一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 2 个红球和 2 个白球. 两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回, 则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的 概率是 . 【答案】

1 3

14. (2014 河南省,14,3 分)如图,在菱形 ABCD 中,AB=1,∠ DAB=60° .把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30° 得到菱形 AB ?C ?D ? ,其中点 C 的运 动路径为 CC ? ,则图中阴影部分的面积为 【答案】 .

?
4

- 3?

3 2
(第 14 题)

15. (2014 河南省,15,3 分)如图,矩形 ABCD 中,AD=5,AB=7.点 E 为 DC 上一个动 点,把△ ADE 沿 AE 折叠,当点 D 的对应点 D? 落在 ?ABC 的角平分线上时,DE 的长为 .

5 5 【答案】 或 3 2
(第 15 题) 二、解答题(本大题共 8 个小题, 满分 75 分) 16. (2014 河南省,16,8 分)先化简,再求值:

x ? 1 ? (2 ? x ? 1) ,其中 x= x x ?x
2

2

2

2 -1.
2

(x ? 1)(x ? 1) 2 x ? x ? 1 【答案】解:原式= ?( ) x( x ? 1) x
=

(x ? 1)(x ? 1) x ? 2 x( x ? 1) ( x ?1)
1 x ?1

=

当 x= 2 -1 时,原式=

1 2 -1 ? 1

?

1 2

?

2 2

17. (2014 河南省,17,9 分)如图,CD 是⊙ O 的直径,且 CD=2cm,点 P 为 CD 的延 长线上一点,过点 P 作⊙ O 的切线 PA、PB,切点分别为点 A、B.

(1)连接 AC,若∠ APO=30° ,试证明△ ACP 是等腰三角形;

(2)填空: ① 当 DP= ② 当 DP=

cm 时, 四边形 AOBD 是菱形; cm 时,四边形 AOBP 是正方形.

【答案】解: (1)连接 OA. ∵PA 为 ⊙O 的切线,∴ OA⊥ PA. 在 Rt△ AOP 中,∠ AOP = 90 ? ? ∠ APO = 90? ? 30? ? 60? .

1 1 ∴?ACP ? ?AOP ? ? 60? ? 30? . 2 2
∴ ∠ ACP =∠ APO. (2)① 1; ② 2 ?1 . ∴AC ? AP . ∴ △ ACP 是等腰三角形.

18. (2014 河南省,18,9 分)某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况,随机抽 取本校 300 名男生进行了问卷调查,统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图.
课外体育锻炼情况 扇形统计图
“经常参加”课外体育锻炼的男生最喜欢的一种项目 条形统计图

经常参加 从不参加 15%

偶尔参加 45%

50 40 30 20 10 0

人数

27

33 20

乒乓球 羽毛球 篮球

其它

项目

请根据以上信息解答下列问题: (1) 课外体育锻炼情况扇形统计图中,“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ; (2) 请补全条形统计图; (3) 该校共有 1200 名男生,请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项 目是篮球的人数; ( 4 )小明认为 “ 全校所有男生中,课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为

1200 ?

27 ? 108 ”.请你判断这种说法是否正确,并说明理由. 300

【答案】解: (1)144; (2) (“篮球”选项的频数为 40,正确补全条形统计图) ; (3)全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为 40 1200 ? ? 160 (人); 300

(4)这种说法不正确. 理由如下: 小明得到的 108 人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人 数,而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的,因此应多于 108 人.

19. (2014 河南省,19,9 分)在中俄“海上联合—2014”反潜演习中,我军舰 A 测得潜艇 C 的俯角为 30° , 位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 测得潜艇 C 的俯角为 68° . 试根据 以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度 (结果保留整数 . . 参考数据: sin68°≈ 0.9, cos68°≈ 0.4,tan68°≈ 2.5, 3 ≈ 1.7) 【答案】解:过点 C 作 CD⊥ AB,交 BA 的延长线于点 D,则 AD 即 为潜艇 C 的下潜深度 . 根据题意得 ∠ ACD = 30 ? ,∠ BCD = 68 ? . 设 AD = x,则 BD = BA + AD = 1000 + x. 在 Rt△ ACD 中, CD ? 中, BD ? CD ? tan 68? . ∴1000 ? x ? 3x ? tan 68? . ∴x ?
1000 3 tan 68? ? 1 ≈ 1000 1.7 ? 2.5 ? 1 ≈308.

AD x ? ? 3x . tan ?ACD tan30 ?

在 Rt△ BCD

∴ 潜艇 C 离开海平面的下潜深度约为 308 米.

20. (2014 河南省,20,9 分)如图,在直角梯形 OABC 中,BC∥ AO,∠ AOC=90° ,点 A、 B 的坐标分别为 (5, 0) 、 (2, 6) ,点 D 为 AB 上一点,且 BD=2AD.双曲线 y ? D,交 BC 于点 E. (1)求双曲线的解析式; (2)求四边形 ODBE 的面积.

k ( x ? 0) 经过点 x

y
C E B

D

O

A

x

【答案】解: (1)过点 B、D 作 x 轴的垂线,垂足分别为点 M、N. ∵ A (5, 0) 、B (2, 6) ,∴ OM = BC = 2,BM = OC = 6,AM = 3. ∵DN ∥ BM,∴ △ ADN∽ △ ABM.



DN BM

?

AN AM

?

AD AB

?

1

3

.

∴ DN = 2,AN = 1. ∴ ON = 4. ∴ 点 D 的坐标为 (4, 2) . ∴2 ? 又∵ 双曲线 y ?

k ( x ? 0) 经过点 D, x

k ,即 k ? 8 . 4

8 . x (2)∵ 点 E 在 BC 上,∴ 点 E 的纵坐标为 6.
∴ 双曲线的解析式为 y ? 又∵ 点 E 在双曲线 y ?

8 上, x
∴ CE=

4 ∴ 点 E 的坐标为 ( , 6) . 3

4 . ∴S四边形ODBE ? S梯形OABC ? S?OCE ? S?AOD 3

1 1 1 = ? ( BC ? OA) ? OC ? ? OC ? CE ? ? OA ? DN 2 2 2 1 1 4 1 = ? (2 ? 5) ? 6 ? ? 6 ? ? ? 5 ? 2 2 2 3 2 =12. ∴ 四边形 ODBE 的面积为 12. 21. (2014 河南省,21,10 分)某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元, 销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利润为 3500 元. (1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润; (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台,其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电 脑的 2 倍.设购进 A 型电脑 x 台,这 100 台电脑的销售总利润为 y 元. ① 求 y 关于 x 的函数关系式; ② 该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台,才能使销售总利润最大? (3)实际进货时,厂家对 A 型电脑出厂价下调 m (0< m <100)元,且限定商店最多购 进 A 型电脑 70 台. 若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设 计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案. 【答案】解: (1)设每台 A 型电脑的销售利润为 a 元,每台 B 型电脑的销售利润为 b 元,则有
?10a ? 20b ? 4000, ?a ? 100, 解得 ? ? ?20a ? 10b ? 3500. ?b ? 150.

即每台 A 型电脑的销售利润为 100 元,每台 B 型电脑的销售利润为 150 元. …………………………………4 分 x ? 1 5 0 ( 1? 0x0 (2)① 根据题意得 y ? 1 0 0 ,即)y ? ?50 x ? 15000 . …………5 分 ② 根据题意得 . 3 ∵ y ? ?50 x ? 15000 中, ?50 ? 0 ,∴ y 随 x 的增大而减小. ∵ x 为正整数,∴ 当 x ? 34 时,y 取得最大值,此时 100 ? x ? 66 . 即商店购进 A 型电脑 34 台,B 型电脑 66 台,才能使销售总利润最大. …7 分 (3)根据题意得 y ? (100 ? m) x ? 150(100 ? x ) ,即 y ? (m ? 50) x ? 15000 .
100 ? x ≤ 2 x ,解得 x ≥ 33

1

1 33 ≤ x ≤70. 3 ① 当 0 ? m ? 50 时, m ? 50 ? 0 , y 随 x 的增大而减小.

∴ 当 x =34 时,y 取得最大值. 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑才能获得最大利润;………8 分 ② 当 m ? 50 时, m ? 50 ? 0 , y ? 15000 .

1 即商店购进 A 型电脑数量满足 33 ≤ x ≤ 70 的整数时,均获得最大利润; 3 ……………………………………………9 分 ③ 当 50 ? m ? 100 时, m ? 50 ? 0 , y 随 x 的增大而增大.
∴x ? 70 时,y 取得最大值. 即商店购进 70 台 A 型电脑和 30 台 B 型电脑才能获得最大利润. 22. (2014 河南省,22,10 分) (1)问题发现 如图 1,△ ACB 和△ DCE 均为等 边三角形,点 A、D、E 在同一直线上,连接 BE. 填空: ① ∠ AEB 的度数为 ; ② 线段 AD、BE 之间的数量关系为 . ……10 分

图1

(2)拓展探究 如图 2,△ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形,∠ ACB=∠ DCE=90° ,点 A、D、E 在同 一直线上,CM 为△ DCE 中 DE 边上的高,连接 BE.请判断∠ AEB 的度数及线段 CM、AE、 BE 之间的数量关系,并说明理由.

C E

(3)解决问题
D

M A 图2 B

如图 3,在正方形 ABCD 中,CD= 2 .若点 P 满足 PD =1,且∠ BPD=90° ,请直接写出 点 A 到 BP 的距离. ....

A

D

B 图3

C

【答案】解: (1)① 60;② AD = BE. (2)∠ AEB=90° ;AE = 2CM + BE. 理由:∵ △ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形,∠ ACB =∠ DCE = 90° , ∴ AC = BC,CD = CE,∠ ACB ? ∠ DCB =∠ DCE ? ∠ DCB,即∠ ACD = ∠ BCE. ∴ △ ACD≌ △ BCE. ∴ AD = BE, ?BEC ? ?ADC ? 135? . ∴ ∠ AEB=∠ BEC-∠ AEC= 135? ? 45 ? = 90 ? . 在等腰直角三角形 DCE 中, CM 为斜边 DE 上的高, ∴ CM = DM = ME. ∴ DE = 2CM. ∴ AE = DE + AD = 2CM + BE. (3)
3 ?1 2



3 ?1 2

.

【提示】∵ PD =1,∠ BPD=90° , ∴ BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 ⊙D 的切线,点 P 为切点. 第一种情况:如图① ,过点 A 作 AP 的垂线,交 BP 于点 P? ,

? ,PD = P?B =1. 可证△ APD≌ △A PB
1 1 3 ?1 ∵ CD= 2 ,∴ BD=2,BP= 3 . ∴ AM= PP ? ? ( PB ? BP ?) ? . 2 2 2

第二种情况:如图② ,可得 AM ?

1 1 3 ?1 PP? ? ( PB ? BP?) ? . 2 2 2

23. (2014 河南省,23,11 分)如图,抛物线 y ? ? x ? bx ? c 与 x 轴交于 A (-1,0),
2

3 B (5,0)两点,直线 y ? ? x ? 3 与 y 轴交于点 C ,与 x 轴交于点 D .点 P 是 x 轴上方的抛物 4

线上一动点,过点 P 作 PF ⊥x 轴于点 F ,交直线 CD 于点 E .设点 P 的横坐标为 m . (1)求抛物线的解析式; (2)若 PE ? 5 EF ,求 m 的值; (3)若点 E ? 是点 E 关于直线 PC 的对称点,是否存在点 P ,使点 E ? 落在 y 轴上?若存在, 请直接写出 相应的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. ....
y

P

C

E A O F D B

x

【答案】解:解: (1)∵ 抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A (?1,0) , B (5,0)两点,

?0 ? ?(?1) ∴?

? b ? c, ? 2 ? ?0 ? ?5 ? 5b ? c.
2



?b ? 4, ? ?c ? 5.

∴ 抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? 4x ? 5 . (2)∵ 点 P 的横坐标为 m,则 P(m, - m + 4m + 5) ,
2

E ( m, -

3 4

m + 3) , F ( m, 0) .

∵ 点 P 在 x 轴上方,要使 PE = 5 EF ,点 P 应在 y 轴右侧,∴ 0< m <5.
2 ∴ PE = - m + 4m + 5 - (-

3 4

m + 3)

=.

- m +

2

19 4

m+ 2

分两种情况讨论: ① 当点 E 在点 F 上方时,EF =. ∵PE = 5 EF ,∴ - m +
2

3 4

m+ 3

19 4

m + 2=. 5(13 2

3 4

m + 3)
(舍去) ;

2 即 2m - 17m + 26 = 0 ,解得 m1 = 2, m2 =

② 当点 E 在点 F 下方时, EF =.
2 ∵PE = 5 EF ,∴- m +

3 4

m- 3

19

3 m + 2 = 5( m - 3) . 4 4
m3 = 1+ 2 69 , m4 = 12 69

即 m - m - 17 = 0 ,解得

2

(舍去) ;

∴ m 为 2 或.

1+ 2

69

(3)点 P 的坐标为 P 1 (-

1 11 , ), P2 (4, 5), P3 (3 2 4

11, 2 11 - 3)

【提示】∵ E 和 E? 关于直线 PC 对称,∴?E ?CP ? ?ECP . 又∵ PE∥ y 轴,∴?EPC ? ?E ?CP ? ?PCE . ∴PE = EC . 又∵ CE=CE′, ∴ 四边形 PECE ? 为菱形. 过点 E 作EM⊥ y轴于点 M, ∴ △CME ∽ △COD . ∴CE =
2 2 ∵PE = CE ,∴ - m + 4 m + 2 = 4 m 或. - m + 1 解得 m1 = - , m2 = 4, m3 = 3 - 11, m4 = 3 + 11 2 1 11 , ), P2 (4, 5), P3 (3 1 (可求得点 P 的坐标为. P 2 4

5 4

m .

19

5

19 4

m+ 2= -

5 4

m

(舍去).

11, 2 11 - 3)


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