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定点、定值与存在性问题


定点、定值与存在性问题
(推荐时间:60 分钟) →→ 1. 过抛物线 x2=4y 上不同两点 A,B 分别作抛物线的切线相交于点 P(x0,y0),PA· PB=0. (1)求 y0; (2)求证:直线 AB 恒过定点; → → → (3)设(2)中直线 AB 恒过的定点为 F,若FA· FB+λFP2=0 恒成立,求 λ 的值. x1? x2? ? (1)解 设 A? ?x1, 4 ?,B?x2, 4 ?(x1≠x2). x x1 x2 由 x2=4y 得,y′= ,所以 kPA= ,kPB= , 2 2 2 →→ → → 因为PA· PB=0,所以PA⊥PB, x1 x2 所以 kPA· kPB= · =-1, 2 2 即 x1x2=-4.
2 x1 x1 直线 PA 的方程为 y- = (x-x1), 4 2 2 2

x1x x2 1 即 y= - , 2 4 x2x x2 2 同理直线 PB 的方程为 y= - , 2 4 x1x2 由①②消去 x 得 y0= =-1(x1,x2∈R). 4 (2)证明 设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 代入抛物线方程 x2=4y,得 x2-4kx-4b=0,由根与系数的关系得 x1x2=-4b, 由(1)知 x1x2=-4,所以 b=1, 所以直线 AB 的方程为 y=kx+1, 不论 k 取何值,该直线恒过点(0,1). (3)解 x2 1 → x1, -1?, 由(1)得:FA=? 4 ? ?

① ②

x2 x1+x2 2 → ? x2, -1?,P? FB=? 4 ? ? ? 2 ,-1?, x1+x2 → ? FP=? ? 2 ,-2?,x1x2=-4.
2 x2 x2 x2 1 2 1+x2 →→ -1?? -1?=-2- FA· FB=x1x2+? , ? 4 ?? 4 ? 4

2 2 x2 1+x2 → ?x1+x2? FP2= +4= +2. 4 4

→ → →2 所以FA· FB+FP =0. 故 λ=1. x1 y1? x2 y2? y2 x2 2. 设 A(x1, y1), B(x2, y2)是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)上两点. 已知 m=? n=? ? b , a ?, ? b , a ?, a b 若 m· n=0 且椭圆的离心率 e= (1)求椭圆的方程; (2)试问△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 解 a2-b2 c 3 (1)∵2b=2,∴b=1,∴e= = = . a a 2 3 ,短轴长为 2,O 为坐标原点. 2

∴a=2,c= 3. y2 椭圆的方程为 +x2=1. 4 (2)①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1=x2, y2 1 2 2 y1=-y2,由 m· n=0 得 x2 1- =0?y1=4x1. 4 又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 x2 1+ ∴|x1|= 2 ,|y1|= 2, 2 4x2 1 =1, 4

1 1 S= |x1||y1-y2|= |x1|· 2|y1|=1. 2 2 ②当直线 AB 斜率存在时, 设 AB 的方程为 y=kx+b(其中 b≠0), y2 代入 +x2=1,得: 4 (k2+4)x2+2kbx+b2-4=0. 有 Δ=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)=16(k2-b2+4) -2kb b2-4 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k +4 k +4 y1y2 由已知 m· n=0 得 x1x2+ =0 4 ?kx1+b??kx2+b? ?x1x2+ =0, 4 代入整理得 2b2-k2=4, 代入 Δ 中可得 b2>0 满足题意,

1 |b| 1 ∴S= · |AB|= |b| ?x1+x2?2-4x1x2 2 1+k2 2 = |b| 4k2-4b2+16 4b2 = =1. 2|b| k2+4

所以△ABC 的面积为定值 1. x2 y2 3. 如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离 a b 1 心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 2 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q. 试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求 出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 解 (1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,

即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以 4a=8,a=2. 1 c 1 又因为 e= ,即 = ,所以 c=1, 2 a 2 所以 b= a2-c2= 3. x2 y2 故椭圆 E 的方程是 + =1. 4 3 y=kx+m, ? ?2 2 (2)由?x y 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. ? 4 + 3 =1 ? 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0), 所以 m≠0 且 Δ=0,即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.① -4km 4k 3 此时 x0= 2 =- ,y0=kx0+m= , m m 4k +3 4k 3 - , ?. 所以 P? ? m m?
? ?x=4, 由? 得 Q(4,4k+m). ?y=kx+m, ?

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. → → 设 M(x1,0),则MP· MQ=0 对满足①式的 m,k 恒成立.

4k 3? → → 因为MP=? ?- m -x1,m?,MQ=(4-x1,4k+m), -16k 4kx1 12k → → 由MP· MQ=0,得 + -4x1+x2 +3=0, 1+ m m m k 整理,得(4x1-4) +x2 -4x1+3=0.② m 1 由于②式对满足①式的 m,k 恒成立,
?4x1-4=0, ? 所以? 2 解得 x1=1. ? ?x1-4x1+3=0,

故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. x2 4. 如图,抛物线 C1:y2=4x 的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆 C2: 2 a y2 + 2=1(a>b>0)的长半轴相等,设椭圆的右顶点为 A,C1、C2 在第一 b 2 6 象限的交点为 B,O 为坐标原点,且△OAB 的面积为 . 3 (1)求椭圆 C2 的标准方程; (2)过 A 点作直线 l 交 C1 于 C、D 两点,射线 OC、OD 分别交 C2 于 E、F 两点. ①求证:O 点在以 EF 为直径的圆的内部; ②记△OEF,△OCD 的面积分别为 S1,S2,问是否存在直线 l,使得 S2=3S1?请说明 理由. 解 (1)因为 y2=4x,所以焦准距 p=2,

由抛物线 C1 与椭圆 C2 的长半轴相等知 a=2. 1 2 6 因为 S△OAB= ×|OA|×yB= , 2 3 2 6 2 2 6? 所以 yB= ,代入抛物线方程求得 B? , , 3 ?3 3 ? 又 B 点在椭圆上,代入椭圆方程解得 b2=3. x2 y2 故椭圆 C2 的标准方程是: + =1. 4 3 (2)①因为直线 l 不垂直于 y 轴, 故设直线 l 的方程为 x=my+2,
?x=my+2, ? 由? 2 得:y2-4my-8=0. ? y = 4 x ?

设 C(x1,y1),D(x2,y2),故 y1+y2=4m,y1y2=-8, y2 y2 1 2 故 x1x2= × =4. 4 4 → → 故OC· OD=x1x2+y1y2=4-8=-4<0,故∠COD>90° ,

又∠EOF=∠COD,故∠EOF>90° , 所以 O 点在以 EF 为直径的圆的内部. 1 |OC||OD|sin∠COD S1 2 |OC||OD| ② = = S2 1 |OE||OF| |OE||OF|sin∠EOF 2 = |y1| |y2| × . |yE| |yF|

y1 4 y1y 直线 OC 的斜率为 = ,故直线 OC 的方程为:x= , x1 y1 4

?x= 4 , 由? x y ? 4 + 3 =1
2 2

y1y

64×3 64×3 得 y2 ,同理 y2 . E= 2 F= 2 3y1+64 3y2+64

所以 =

2 y2 EyF=

642×32 2 ?3y2 1+64??3y2+64?

642×32 64×32 = , 2 2 2 2 9y2 121+48m2 1y2+64×3?y1+y2?+64
2 2 2

121+48m 1y2 ?S2?2= y2 = . ?S1? yEy2 32 F 121+48m2 112 S2 11 因为 m∈R,故 ≥ 2 ,所以 ≥ >3. 32 3 S1 3 故不存在直线 l 使得 S2=3S1.


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