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三角函数图像性质高考题


历届高考中的“三角函数的图像与性质”试题精选
一、选择题: 1. ( 2008 安徽文)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(
C. x ?



?
6

B. x ? ?


?
12

?
6

D. x ?

?
12
)

2. (2004 全国Ⅰ卷文、理 )为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图象, 可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移 (A) y ? 1 ? 2 sin ?x
2

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移 ) (B) y ? sin ?x cos ?x (D) y ? sin (2?x ?

3. (2003 上海春招)下列函数中,周期为 1 的奇函数是 (

(C) y ? tg

?
2

x

?
3

)


4.(2008 广东文) 已知函数 f ( x) ? (1 ? cos2x) sin 2 x, x ? R ,则 f ( x) 是( A.最小正周期为 ? 的奇函数 B. 最小正周期为 ? 的偶函数 C. 最小正周期为

? 的奇函数 2

D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

5. ( 2007 江苏)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是( A. [ ?? , ?



5? ] 6

B. [?

5? ? ,? ] 6 6

C.[?

?
6

, 0]

D. [?

?
3

, 0]
)

6.( 2006 四川文、理)下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( ? (A) y ? sin( x ? ) (B) y ? cos(2 x ? ? ) 6 6 ? ? (C) y ? cos(4 x ? ) (D) y ? sin(2 x ? ) 3 6

7. ( 2005 浙江理)已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( (A) 1 (B) -1 (C) 2k+1 (D) -2k+1 8.(2007 海南、宁夏理)函数 y ? sin ? 2 x ?

)

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?



9. (2002 年广东、江苏、河南,全国文、理,全国新课程文、理,天津文、理) 在 (0,2? ) 内, 使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围是( ) ? ? 5? ? ? 5? ? 5? 3? ) ) , ) (A) ( , ) ? (? , (B) ( , ? ) (C) ( , (D) ( , ? ) ? ( 4 2 4 4 4 4 4 4 2
10. ( 2000 全国文、理,江西、天津文、理,广东)函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

二.填空题:

11. ( 2006 福建文)已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? 则 ? 的最小值是____。 12. ( 2004 全国Ⅲ卷理)函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 [0,

? ? ? ? 上的最小值是 , ?2 , ? 3 4? ?
] 上的最小值为
.

?
2

? ? ? ? 有最 ?? ? ?? ? ?? 13. (2008 辽宁理 )已知 f ( x) ? sin ? ? ? ? x ? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? 6 , 3? ? 3? ? ?6? ? 3? 小值,无最大值,则 ? =__________.
14. (2007 安徽文 )函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? 正确结论的编号).
③ 函数

?

3

) 的图象为 C, 如下结论中正确的是____ _____ (写出所有
②图象 C 关于点 ( 2? ,0) 对称; 3

f ( x)在区间 (?

? 5? )内是增函数; , 12 12

①图象 C 关于直线 x ? 11 ? 对称; 12 ④ 由

y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移

?

3

个单位长度可以得到图象 C.

三.解答题: ( 15、16 小题每题 12 分,其余各题每题 14 分,计 80 分) 15. ( 2006 广东)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值;

?
2

), x ? R .

(I)求 f ( x) 的最小正周期;

(III)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

16.(2007 陕西理 )设函数 f (x)= a ? b , 其中向量 a =(m,cos2x), b =(1+sin2x,1), x∈R, 且函数 y=f(x)的图象 ?? ? 经过点 ? ,2 ? 。 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. ?4 ?

17.(2008 陕西理 )已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?

18. ( 2008 安徽文、理)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

19.(2005 全国Ⅰ文 )设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ;

?
8

.

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。

20. (2003 江苏,辽宁,天津文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? )是R 上的偶函数, 3? 其图象关于点 M ( , 0) 对称,且在区间 ?0, ? ? 上是单调函数 求 ?和? 的值 ? 4 ? 2? ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

历届高考中的“三角函数的图像与性质”试题精选
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案
11.

1 D
12.

2 B
1 ;

3 B

4 D
13.

5 C
14 ; 3

6 B

7 A

8 A

9 C

10 D

二.填空题: (每小题 5 分,计 20 分)

3 ; 2

14. ①②③ _

三.解答题: ( 15、16 小题每题 12 分,其余各题每题 14 分,计 80 分) 15. 解: f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?

2? ? 2? ; 1 (Ⅱ) f ( x) 的最大值为 2 和最小值 ? 2 ;
(Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ?

2

) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?

4

)

(Ⅲ)因为 f (? ) ?

3 3 7 7 ,即 sin ? ? cos ? ? ? ? ? ① ? 2 sin ? cos ? ? ? , 即 sin 2? ? ? 4 4 16 16

16.解: (Ⅰ)f (x)= a ? b ? m(1 ? sin 2x) ? cos2x ,

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? π? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ? π? ? ?当 sin ? 2 x ? ? ? ?1时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ? ? 3π ? π? ? 由 sin ? 2 x ? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . 8 4? ? ? ? x x x x ? x π? 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 4 2 2 ?2 3? 2π ? f ( x) 的最小正周期 T ? ? 4π . 1 2 x π ? ? ? x π? 当 sin ? ? ? ? ?1 时, f ( x ) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ? x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?
由已知 f ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2? ?函数 g ( x) 是偶函数. ? ? ? 18. 解: ( 1) f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 ? ? sin(2 x ? ) 6 2? ?? , 所以,函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 ? 对称轴方程为 x ? ? k? , k ? Z 3 ? ? ? ? 5? ] ( 2) x ? [? , ],? 2 x ? ? [? , 12 2 6 3 6 ? ? ? ? ? 因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) 在区间 [? , ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 6 12 3 3 2 ? 所以,当 x ? 时, f ( x ) 取最大值 1 3

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 12 2 2 2 2 ? ? 3 所以 函数 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的值域为 [ ? ,1] 12 2 2 ? ? 19.解: (Ⅰ)? x ? 是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? ? ? ) ? ?1, 8 8 ? ? 3? ? ? ? ? k? ? , k ? Z . 又 ? ? ? ? ? 0 ,解得 ? ? ? . 4 2 4 3? 3? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ? ,因此 y ? sin( 2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z . 2 4 2 3? ? 5? 所以函数 y ? sin( 2 x ? )的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 4 8 8 3? (Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ? )知 4 ? 3? 5? 7? ? x 0 8 8 8 8


f (?

?

)??

y

?

2 2

-1

0

1

0

?

2 2

故函数 y ? f ( x)在区间 [0, ? ]上图像是 20.解:由 f ( x) 是偶函数,得 f (? x) ? f ( x) ,即 sin(??x ? ? ) ? sin(?x ? ? ) , 所以 ? cos? sin ?x ? cos? sin ?x 对任意 x 都成立,且? ? 0 ,所以得 cos? ? 0 , 依题设 0 ? ? ? ? ,所以解得 ? ?

?
2

.

3? 3? ? x) ? ? f ( ? x) , 4 4 3? 3? 3? 取 x ? 0, 得 f ( ) ? ? f ( ), 所以 f ( ) ? 0, 4 4 4 3? 3?? ? 3?? ? f ( ) ? sin( ? ) ? cos , 4 4 2 4 3?? 3?? ? ? cos ? 0, 又? ? 0, 得 ? ? k? , k ? 0,1,2 …, 4 4 2 2 ? ? ? (2k ? 1), k ? 0,1,2, …. 3 2 2 ? ? 当 k=0 时, ? ? , f ( x) ? sin( x ? )在[0, ] 上是减函数; 3 3 2 2
由 f ( x) 的图象关于点 M 对称,得 f ( 当 k=1 时, ? ? 2, f ( x) ? sin( 2 x ? 当 k ? 2 时, ? ?

?

10 ? ? , f ( x) ? sin(?x ? )在[0, ] 上不是单调函数. 3 2 2 2 所以,综合得 ? ? 或? ? 2 . 3

)在[0, ] 上是减函数; 2 2

?


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