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n直线分平面,n平面分空间,n圆分平面,n球面分空间


1.平面上有 n 条直线,最多可把平面分成几部分?

答:

n

2

? n? 2 2

分析:当增加一条直线时,把平面多分割出几部分来呢? 由第 n 条直线与前(n-1)条直线有(n-1)个交点, 从而把第 n 条直线分成 n 段, 而每一段把所 在部分一分为二,于是增加了 n 个部分。由此得 n 条直线把平面分割成的最多部分数为 1+(1+2+3+ … +n)=
n
2

? n? 2 2 n ? 5n ? 6
3

2.n 个平面将空间分成的部分数为:

答:

6

分析:若增加 1 个平面,可把空间多分割出几部分呢? 由于增加的第 n 个平面与前(n-1)个平面都相交,于是第 n 个平面上有(n-1)条交线, 因此增加的第 n 个平面被(n-1)条直线分成[(n-1)2+(n-1)+2]/2=(n2-n+2)/2 块, 而每一块把所在的部分空间一分为二,于是增加了(n2-n+2)/2 个部分。 因此,n 个平面将空间分成的部分数为:1+[1+2+4+7+11+…+(n2-n+2)/2]=
n ? 5n ? 6
3

6

3.平面上的 n 个圆,至多可把平面分成几部分?

答: a n ? n ? n ? 2
2

分析:推导方法是递推,先看多加一个圆后增加了多少个交点,在 K 个圆上再加一个圆至 多能增加 2K 个交点,又增加 n 个交点就多了 n 块区域,故在 K 个圆上再加一个圆至多能增 加 2K 块区域。所以一个圆最多分 2 部分,两个圆最多分 2+2=4 部分,三个圆最多分 4+4=8 部分,四个圆最多分 8+6=14 部分,五个圆最多分 14+8=22 部分,六个圆最多分 22+10=32 部分。推广到 n 个圆, 个圆最多将平面分成: 2+2(1+2+3+…+n-1)=2+n(n-1)= n ? n ? 2 n
2

部分。 方法 2:设 n 个圆最多可将平面分成 a n 个部分,现增加一个圆,它与前 n 个圆有 2n 个交点,这些交点将新增的第 n 个圆分成 2n 段互不相交的弧段,每一段把所在的平面区域 一分为二。得 a n ? 1 ? a n ? 2 n 计算得 a n ? n ? n ? 2
2

4.空间中 n 个球面,至多可把空间分成几部分?

答:

n ? 3n ? 8n
3 2

3

分析:推导方法是递推,先看多加一个球面后能增加多少个部分,在已有 N-1 个球面基础上 再加一个球面,这个球面至多能被这 N-1 个球面划分成(N-1)^2-(N-1)+2(参见 n 个圆最多 将平面分成几部分中的结论) 块区域, 其中每块区域都将其所在的原来那部分空间一分为二, 故在已有 N-1 个球面基础上再加一个球面, 这个球面至多增加(N-1)^2-(N-1)+2 块空间区域。 所以一个球面最多分 2 部分,两个球面最多分 2+2=4 部分,三个球面最多分 4+4=8 部分,四 个球面最多分 8+8=16 部分,五个球面最多分 16+14=30 部分,六个球面最多分 30+22=52 部 分。 推广到 N 个球面,N 个球面最多将空间分成 2+(1^2-1+2)+ (2^2-2+2)+…+ ((N-1)^2-(N-1)+2) =
n ? 3n ? 8n
3 2

3


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