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1.1


教学设计

§ 1.1 任意角和弧度制
设计教师 一、内容及其解析 (一)内容:任意角,弧度制 (二)解析: 本节内容是必修 4 第一章《三角函数》的第一节,本章在锐角三角函数的基础 上,利用单位圆进一步研究任意角的三角函数,并用集合与对应的语言来刻画。这样,在研 究三角函数之前,就由必要先将角的概念推广,并引入弧度制,从而建立角的集合与实数集 之间的对应关系。
利用集合直观有利于抽象概念的理解,教科书充分结合角和单位圆来引导学生了解任意角及弧度制概 念,同时,还利用直角坐标系建立象限角的概念,使得任意角的讨论有了一个统一的载体,教学中,要特 别注意利用单位圆,直角坐标系等工具,引导学生用数形结合的思想方法来认识问题。 《弧度制》 是选自人民教育出版社,普通高中课程标准实验教科书数学版必修 4,第一章,第一小节第二 课时内容,通过本节课的学习,学生将掌握角度的的另一种度量方式,为以后三角函数的引入做准备,因 此本节概念课起着承上启下的作用。

李生

二、目标及其解析 1.结合实例体验角的概念推广的必要性;从运动的观点出发,进行角的概念推广,理解 并掌握正角、负角、零角的定义; 2.能用集合和数学符号表示终边相同的角,即掌握所有与 α 角终边相同的角(包括 α 角)的表示方法; 3.能建立适当的坐标系来讨论任意角,理解象限角、坐标轴上的角的概念,并能用集合 和数学符号表示; 4. 在角的概念的推广的过程中, 树立运动变化观点,学会运用运动变化的观点认识事物; 5.通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比,培养学生的类比思维能力; 6.通过画图和判断角的象限,培养学生数形结合的思想方法; 7.理解 1 弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算.? 8.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式.培养运用弧度制解决具体的问题的意 识和能力
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三、问题诊断分析 1.学生在理解终边相同的角的表示方法上,会出现障碍,其原因是:刚刚将角的概念推广, 还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质; 2.学生在学习了教材例 1 后,做 P6 第 4 题,仍然感到困难,其原因是:当角为负角时,在 00~3600 范围内找出终边相同的角,不知怎样计算,教学时应给学生介绍计算方法; 3.学生在学习了象限角的概念后,怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角(如:第一 象限角),会出现障碍,其原因是:对第一象限角是有无数个区间构成,它们的终边是“周 而复始”的现象的刻画还不了解,教师要进一步的解释 k·3600 的运用特点。 4.本班级学生数学基础中等,学生平时学习需要在老师引导下才能较好的吸收新的知识 5.学生在学习本课以前,已经学习了角度的一种度量方式算,对角度有一定的认识 四、教学支持条件分析
?

借助信息技术工具(如:几何画板),制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教

师用书》后的光盘中数学 4 的资源】 1.角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会; 2.动态的表现角的终边旋转过程,有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系,从特 殊到一般,让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。 五、教学过程设计 (一)教学基本流程 创设 情境 探究 新知 巩固 新知 深入 探究 新知 应用 总结 归纳 小结 布置 作业

(二)教学情景 1.问题引入 问题 1:思考:你的手表慢了 5 分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了 1.25 小时, 你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? 设计意图:提出问题,引发学生的认识冲突,说明角的概念扩展的必要性
1.1 任意角和弧度制 第2页 共 11 页

师生活动:引导学生分析: (学生:针对上述问题,组织学生进行讨论。学生容易回答前面一个问题,但在回答后面一 个问题是会发现问题,从而引起认知冲突。 教师:[取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转,有 时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于 00~3600 之间,这正是我们这 节课要研究的主要内容——任意角. 2.探究新知,建立概念 (1) 任意角概念的引入 问题 2:过去我们是如何定义一个角的?角的范围是什么? 设计意图:回顾已有知识 师生活动:教师:提出问题 学生:回答问题

问题 3:你能举出不在

的角的实例,并加以说明吗

设计意图:结合具体的实例,感受角的概念推广的必要性 师生活动:教师:[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形. 学生:举例,再说明所举例的角为什么不在 00~3600。 教师:提供教材中的几个例子。 (2)概念讲解 1.角的概念的推广:? (1)定义:一条射线 OA 由原来的位置 OA,绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置 OB,就 形成了角 α 。其中射线 OA 叫角 α 的始边,射线 OB 叫角 α 的终边,O 叫角 α 的顶点。 2.正角、负角、零角概念 师:为了区别起见,我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,如图 2 中的角为正角,它 等于 300 与 7500;我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,那么同学们猜猜看,负角怎 么规定呢?零角呢? 生:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了
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一个零角。 师:如图 3,以 OA 为始边的角α =-1500,β =-6600。特别地,当一条射线没有作任何旋转时, 我们也认为这是形成了一个角,并把这个角称为零角。 师:好,角的概念经过这样的推广之后,就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说 明:为了简单起见,在不引起混淆的前提下, “角α ”或“∠α ”可简记为α . 3.象限角 师:在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为 此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习, 请一位同学回答什么叫:象限角? 生:角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重 合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说 这个角是第几象限角。 师:很好,从刚才这位同学的回答可以知道,她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面 请大家将书上象限角的定义划好,同时思考这么三个问题: 1.定义中说:角的始边与 x 轴的非负半轴重合,如果改为与 x 轴的正半轴重合行不行,为什 么? 2.定义中有个小括号,内容是:除端点外,请问课本为什么要加这四个字? 3.是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么? 处理:学生思考片刻后回答,教师适时予以纠正。 答:1.不行,始边包括端点(原点) ; 2.端点在原点上; 3.不是,一些特殊角终边可能落在坐标轴上;如果角的终边落在坐标轴上,就认为这个 角不属于任一象限。 师:同学们一定要学会看数学书,特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句,每个字 都要弄清楚,这样的预习才是有效果的。 师生讨论:好,按照象限角定义,图中的 300,3900,-3300 角,都是第一象限角;3000,-600 角,都是第四象限角;5850 角是第三象限角。 师:很好,不过老师还有几事不明,要请教大家: (1)锐角是第一象限角吗?第一象限角是 锐角吗?为什么? 生:锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角; 师: (2)锐角就是小于 900 的角吗? 生:小于 900 的角可能是零角或负角,故它不一定是锐角; 师: (3)锐角就是 00~900 的角吗? 生:锐角:{θ |00<θ <900};00~900 的角:{θ |00≤θ <900}. 4.终边相同的角的表示法 师:观察下列角你有什么发现? 390? ?330? 30? 1470? ?1770? 生:终边重合. 师:请同学们思考为什么?能否再举三个与 300 角同终边的角? 生:图中发现 3900,-3300 与 300 相差 3600 的整数倍,例如,3900=3600+300,-3300=-3600+300; 与 300 角同终边的角还有 7500,-6900 等。 师:好!这位同学发现了两个同终边角的特征,即:终边相同的角相差 3600 的整数倍。例如: 7500=2×3600+300;-6900=-2×3600+300。那么除了这些角之外,与 300 角终边相同的角还有: 3×3600+300 -3×3600+300 4×3600+300 -4×3600+300
1.1 任意角和弧度制 第4页 共 11 页

??, ??, 0 0 由此,我们可以用 S={β |β =k×360 +30 ,k∈Z}来表示所有与 300 角终边相同的角的集合。 师:那好,对于任意一个角α ,与它终边相同的角的集合应如何表示? 生:S={β |β =α +k×3600,k∈Z},即任一与角α 终边相同的角,都可以表示成角α 与整数 个周角的和。 3.巩固新知,归纳关系 问题 4:已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的非负半轴上,作出下列各角,并 指出它们是哪个象限的角? (1)4200; (2)-750; (3)8550; (4)-5100. 答: (1)第一象限角; (2)第四象限角; (3)第二象限角; (4)第三象限角 设计意图:通过练习,掌握象限角的判断、终边相同的角的表示方法。 师生活动:学生:回答,讨论交流,补充 教师:归纳总结,突出重点知, 解决学生的疑惑点。 4.例题讲评 例 1 设 E ? {小于90o 的角} F ? {锐角},G= , {第一象限的角} ,那么有( A. 例 2 用集合表示: (1)各象限的角组成的集合.
o o

D C.

) . ( ) D.

B.

(2)终边落在
o

轴右侧的角的集合.

解:(1) 第一象限角: {α|k360 π<α<k360 +90 ,k∈Z} o o o o 第二象限角: {α|k360 +90 <α<k360 +180 ,k∈Z} o o o o 第三象限角: {α|k360 +180 <α<k360 +270 ,k∈Z}

第四象限角:{α |k360o+270o<α <k360o+360o ,k∈Z} (2) 在 后,得 ~ 中, 轴右侧的角可记为 , . 说明:一个角按顺、逆时针旋转 内的角,按顺逆时针旋转 ( ( )后与原来角终边重合,同样一个“区间” ,故 , 同样把该范围 “旋转” 轴右侧角的集合为

)角后,所得“区间”仍与原区间重叠.

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例 3.写出终边直线在 y=x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-3600≤α ≤7200 的元素 β 写 出来. 设计意图:通过例题,进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。 师生活动:教师:分析、板书例 1。 学生:自学例 2。 教师:指出这两个集合求并集的关键是把 2700 改写成 900+1800,然后重新组合。 师生:共同完成例 3,注意 k 的正确取值是关键。 教师:归纳总结,突出重点知, 解决学生的疑惑点。 问题 5:度量角的制度是什么?1 度的角是怎么定义的?还有其它的度量角的制度吗? 设计意图:引导学生进入弧度制的研究. 师生活动:教师问:度量角的制度是什么? 学生答:角度制 教师问:1 度的角是怎么定义的? 能够准确回答这个问题的学生很少,通过教师的适当引导,学生有些恍然大悟。 教师问:还有其它的度量角的制度吗? 学生这时已经有些活跃起来,他们也急于了解这个课题。 问题 6:在圆心角一定的情况下,圆心角所对的圆弧长与所在圆的半径的比值是定值吗? 设计意图:为了使得弧度制的层层深入学习,我还是把问题一个个呈现出来,让学生逐步认 识弧度制。 师生活动:教师问:在不同半径的圆中,如果圆心角的大小相等,那么它们所对的圆弧长与 所在圆的半径之比是否相等?学生共同探究,发现问题,并共同解决问题。 教师总结:在圆心角一定的情况下,圆心角所对的圆弧长与所在圆的半径的比值 是定值。教师对于问题的总结要使得学生意识到:学习不能只是停留在简单的解决问题中要 善于深入挖掘问题,对于问题的认识更加深刻。 教师问:既然圆心角所对的圆弧长与所在圆的半径的比值是定值,那么可以用 这个比值来衡量角的大小吗?问题呈现到这个时候,大部分学生已经发现:可以用这个比值 衡量角的大小。 教师问:如何规定这个新制度下的“1”这个单位呢?问题的层层推进,思维活 跃的同学已经禁不住回答这个问题:比值为 1 的情况下,可以规定为“1”这个单位。 教师总结:给出 1 弧度和弧度制的严格定义。 这时,学生已经意识到:弧度制产生的本源以及弧度制度量角的合理性。 5. 新知应用与深化

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提出课题:弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是 rad 读作弧度 B r 1ra A o d o C l= 2r 2ra r A d 定义: 长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度 的角。 如 图:?AOB=1rad ?AOC=2rad 周角=2?rad 师生共同完成教材第 6 页表格,然后共同归纳总结: 1.正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0 l 2.角 ? 的弧度数的绝对值 ? ? ( l 为弧长, r 为半径) r 3.用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是 0) 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。 角度制与弧度制的换算 抓住:360?=2?rad ∴180?=? rad ? rad ? 0.01745 rad ∴ 1?= 180

? 180? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?
6.例题讲解: 例1 把 67? 30' 化成弧度

?

? 1? 解: 67? 30' ? ? 67 ? ? 2?
例2

?

∴ 67 ? 30' ?

?
180

rad ? 67

1 3 ? ?rad 2 8

3 把 ?rad 化成度 5 3 3 解: ?rad ? ? 180 ? ? 108 ? 5 5

设计意图:让学生初步学会角度制和弧度制相互转化 师生互动:1、学生说,教师板书,带领学生思考问题,充分调动学生积极性

1.1 任意角和弧度制

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2、常用角的角度制和弧度制的换算 角度 弧度 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210°

角度 弧度

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

3、注意几点:a.度数与弧度数的换算也可借助“计算器” 《中学数学用表》进行; b.今后在具体运算时, “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 示 3rad sin? 表示 ?rad 角的正弦 如:3 表

c.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在 角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 正 角 零 角 任意角的集合 负 角 例3 利用弧度制证明扇形面积公式 S ? 证: o R S 正 实 数 零 负 实 数 实数集 R

1 lR 其中 l 是扇形弧长, R 是圆的半径。 2 1 如图:圆心角为 1rad 的扇形面积为: ?R 2 2? l 弧长为 l 的扇形圆心角为 rad R l l 1 1 ? ?R 2 ? lR ∴S ? ? R 2? 2

比较这与扇形面积公式 S 扇 ? 例4

n?R 2 要简单 360

直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长
4? 40? ? 10 ? (cm ) 3 3 ? 11? ? 165 (rad ) ? rad ⑵: 165 ? ? 180 12 如图,已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形



4? 3



165?

解: r ? 10cm ⑴: l ? ? ? r ?

∴l ? A

11? 55? ? 10 ? (cm ) 12 6

例5

的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 解:设扇形的半径为 r,弧长为 l ,则有

B o

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r ? l ? 6 ?r ? 2 ? ?2 l ?? ? ?1 ?l ? 2 ? ?r ? 例 6 计算 sin 4
解:∵

∴ 扇形的面积 S ?
tan 1.5

1 rl ? 2(cm ) 2 2

?
4

? 45 ?

∴ sin

?
4

? sin 45? ?

2 2

1.5rad? 57.30? ? 1.5 ? 85.95? ? 85? 57'

∴ tan1.5 ? tan85? 57' ? 14.12 例7 将下列各角化成 0 到 2? 的角加上 2k? (k ? Z ) 的形式 ⑴ 解:
19 ? 3



? 315?

19 ? ? ? ? 6? 3 3 ? 315 ? ? 45 ? ? 360 ? ?

例8

? 2? 4 求图中公路弯道处弧 AB 的长 l (精确到 1m)

?

图中长度单位为:m ? 解: ∵ 60 ? ? 3 ? ∴ l ? ? ? R ? ? 45 ? 3.14 ? 15 ? 47 (m) 3

6 0 R=45

设计意图: 加深学生对弧度制的理解,逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题 , 特别是弧长公式,扇形面积计算公式的理解和使用 师生互动:为了让学生体会引进弧度制表示角的必要,采用了比较对照的方法,初步认识到 弧度制表示角的简洁性。 教师问:角度制下扇形的弧长公式和面积公式是什么? 学生答:(为角度制下圆心角的角度数) 教师问:那么弧度制下扇形的弧长公式和面积公式又是什么呢?学生自行推导, 遇到困难和问题,相互讨论。 学生总结:(为弧度制下圆心角的弧度数) 教师问:比较一下这两种制度下的公式,你们有什么体会? 学生马上议论开来:弧度制下的公式简单,好记忆!“

6. 总结归纳设计 本课题的展开是“类比”导入,以“提问题”的形式,使得学生赋予想象力,增强学生
1.1 任意角和弧度制 第9页 共 11 页

学习的兴趣,提供学习新知的源动力。在这个学习过程中,学生充满疑问和好奇进入了本课 题的探究。可见,恰当的“导入”为创造性学习迈出了第一步,也是学生思维品质提升的源 泉,加强对学生创新思维品质的培养,从而促进学生创新能力的形成与发展。 本课题的探究中,主要以“问题链”的形式,引发学生的思考,运用 “运动”的观点 思考问题,使得学生的学习不要僵化、一成不变。我在“问题链”的设计中,注意到:问题 之间的有机衔接,问题的层层深入,以及教师提问学生的方式和时机。巧妙地设计问题,使 得学生的思维赋予层次性、深刻性、创造性,从而锻炼了学生的数学思维能力,培养了学生 数学地思考问题,有利于提升学生的数学思维品质。概念课的教学不同于习题课,如何把新 概念引入课堂,如何让学生自然而然接受新概念,如何理解概念的本质和外延,以及如何运 用概念。这些都需要教师根据新概念的特点、学生的现状、学习的环境,准确、适当而有力 的把握,因为这对于学生以后的学习、思考有着较大的影响。在本课题的探究过程中,基于 圆心角的研究,让学生发现弧度制的来源,使得学生明白:新知不是凭空而降,新知来源于 旧知,只有把已有的知识充分掌握的情况下,才有可能发现新的知识和内容,这也是创造的 源泉。另外,一个新的概念出现之后,不能只停留在表面,需要深入思考,掌握其内容,理 解其本质,知道其外延。当然,学生对新概念的再思考,来源于教师的引导,引导取决于教 师本身对概念的理解和把握,也需要教师精心设计一些问题引发学生对新概念的再思考、再 加工。所以,我认为:学生思维品质的培养和提升,取决于教师独具匠心的“问”和学生积 极主动的“思”。对于本课题中问题的设计,我也注意到:问题要能够引发学生的思考,并 且能够让学生再思考。比如:弧度制完备性的讨论中,一些问题的设计,使得学生对弧度制 度量任意角深入思考,从而培养了学生思考问题的严密性和严谨性,同时也为数学思维品质 的提升打下了良好的基础。 . 7.课堂练习,布置作业 教材第 9 页:练习 习题 1.1

注:教师根据本班学生情况及其课堂教学灵活安排。 8、目标检测 1、下列角中终边与 330°相同的角是( B ) A.30° B.-30° C.630° D.-630° 2、-1120°角所在象限是 ( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、把-1485°转化为α +k·360°(0°≤α <360°, k∈Z)的形式是 ( D ) A.45°-4×360°B.-45°-4×360°C.-45°-5×360°D.315°-5×360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为: A. {α ∣90°<α <180°} B. {α ∣90°+k·180°<α <180°+k·180°,k∈Z} C. {α ∣-270°+k·180°<α <-180°+k·180°,k∈Z}
1.1 任意角和弧度制 第 10 页 共 11 页

(D



D. {α ∣-270°+k·360°<α <-180°+k·360°,k∈Z} 5、下列命题是真命题的是( D ) Α .三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 C.不相等的角终边一定不同 D. ? | ? ? k ? 360? ? 90? , k ? Z = ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z 6、已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是( A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C
) 7.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限的角是(C A.① B.①② C.①②③ D.①②③④

?

??

?

B



8.某扇形的面积为 1 cm2 ,它的周长为 4 cm ,那么该扇形圆心角的度数为 A.2° B.2 C.4° D.4 (

( B )

9.中心角为 60°的扇形,它的弧长为 2 ? ,则它的内切圆半径为 A.2 B. 3 C.1 D.
3 2

A)

1.1 任意角和弧度制

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