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数学竞赛自主招生与高考


竞赛对思维的促进作用
数学是思维的体操、启迪智慧的钥匙,而奥林 匹克数学则是这种体操的闪光点。在奥林匹克数学 训练中,认识和实践的数学化引起了人们思维能力 的变化。这主要是因为奥林匹克数学所涉及的问题, 大多是用已有的知识很难进行直接推导证明的,必 须经过试探,探索和选择策略,甚至通过突破性的 创造性思维才能获得问题的解答。而且,这些竞赛 题涉及的专业知识很少,而主要

是考查一种思维, 体现一种想法,这无疑会对学生的思维训练起到促 进作用。

竞赛的烦恼
由于有关竞赛的导向机制不够完善, 又由于命题者的观点、编题的难度、竟 争下的拔高和一些功利性思想的影响, 使奥林匹克数学远离一般学生的智力水 平,与课堂教学脱节,也冲击了基础教 育的正常进行.

专家说竞赛
竞赛教育是一种基础教育、一种素质教育、 一种业余教育、一种普及教育,把握这种教育性 质,数学竞赛活动将对我国的教育事业产生健康 的影响,并做出积极的贡献;偏离这些教育性质, 竞赛活动就会被引向歧途,并给学生带来过重的 负担,给正常教学带来有害的干扰。

-罗增儒

我看竞赛—想说爱你不容易
向所有带竞赛的老师们致敬! 向所有参加竞赛的同学们祝福! 向还未接触过竞赛的同仁们发出 盛情邀请!

2.高考试题中的竞赛背景(1)

数列中的特征根思想

2.高考试题中的竞赛背景(2)
(2007年湖北高考试题)

数论思想

2.高考试题中的竞赛背景(3)

凸函数与琴森不等式

2.高考试题中的竞赛背景(4)

高斯函数

4. 竞赛策略优化高考解题
高考数学试题的命题遵循考试大纲和教学大纲, 体现“基础知识全面考,主干内容重点考,热点知识 反复考,冷点知识有时考”的命题原则.从解答策略 上来说,高考一般淡化解题中的特殊技巧,比较注重 在解题的通性通法上精心设计.但是认真分析近几年 的高考试题,尤其是压轴题,我们又不难发现,有很 多问题又很难用“通性通法”顺利解决.因此,在平 时学习中,对于学有余力的同学来说,有必要适当掌 握一些“竞赛”的方法或技巧,只有这样,才能真正 在高考中做到处变不惊,游刃有余.

(1)巧用不动点原理

类型一 : an?1 ? can ? d (c ? 1, d ? 0, c, d为常数)
a ? an ? b 类型二 : an ?1 ? (c ? 0且ad ? bc ? 0) c ? an ? d

(2)借助重要不等式
(2001年高考)

(2)借助重要不等式
(2005年河南高考)

(3)构造递推关系式
(2005年浙江省高考压轴题)

(4)运用错位排列公式

(1993年全国高考试题)将数字1,2,3, 4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每 格填1个数字,则每个方格的标号与所填数字 均不相同的填法有多少种?
1 1 1 1 4!(1 ? ? ? ? ) ? 9 1! 2! 3! 4!

(5)利用平面几何结论

“三角形顶点到垂心的距离等于外心到该顶 点所对边距离的两倍”

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? OH ? OA ? AH ? OA ? 2OD ? OA ? OB ? OC

A

H

O

B

D

C

高考命题遵循的一大原则是:凡涉及学 科基本知识的掌握程度及相关内容的测试, 一定要遵循教学大纲;就能力要求而言的则 可以“不拘泥于教学大纲”. 因此,要顺 利解答高考能力题,“通性通法”有时就无 用武之地了,“纯”竞赛或“纯”高等的方 法当然也不合时宜,只有界于两者之间的方 法(临界方法)才会屡考不厌,举足轻重.

竞赛与自主招生辅助高考
自主招生试题特点

1.基础知识和基本技能仍是考查的重点 2.考查知识点的覆盖面广,但侧重点有所不同
清华、北大、复旦、交大等高校近几年自主招生的试题,知识点的 覆盖面还是很广的,基本上涉及到高中数学大纲的所有内容.例如,函 数,集合,数列,复数,三角,排列,组合,概率统计,向量,立体 几何,解析几何等. 但毕竟高校自主招生试题命题是由大学数学教授完成的,更多会 考虑到高等数学与初等数学的衔接,所以提请大家注意一下几个方面:
函数和方程问题,复数,组合数学,数论,平面几何等

3.注重数学知识和其它科目的整合,考查学生应用知识解决问题的能力

此问题与计算机中的“二进制”有关,前两问是排列组合计数问题,尤其是 第三问有一定的挑战性 .

4.突出对思维能力和解题技巧的考查 近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相 当高的层次,有时甚至达到相当数学竞赛一试难度. 2007年交大冬令营自主招生试题中有这样一个问题

( 2009北大)有333人考试,一共作对了1000道题,做对不多于3道 为不及格,做对不少于6道为优秀,不是所有人答对的题的数量的奇 偶性都相同,问不及格的多还是优秀的多.

几点感悟

学之道在于“悟”, 教之道在于“度”
熟练只能培养 解决已知问题的能 力, 而不是解决新问题能力. 培养解 决新问题能力, 最好的办法就是自己 感悟.

要帮助学生生成知识迁移方法
如果知识和方法不具有 生成力, 迁

移力,始终停留在最初的层面,那么思
维层次就只能停留在较低的水平上,达 不到提高能力的作用.


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