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1.4.3含有一个量词的命题的否定-数学选修2-1


1.4.3

含有一个量词的命题的否定

探究
写出下列命题的否定: (1) 所有的矩形都是平行四边形; (2) 每一个素数都是奇数;

(3) ?x∈R, x? -2x+1≥0.
这些命题和它们的否定在形式

上有什么变化?

以上三个命题都是全称命题,即

具有形式 “?x∈M,p(x)”其中命题(1)的否定是“并非所有 的矩形都是平行四边形”, 也就是说,
存在一个矩形不是平行四边形;
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”, 也就是说,

存在一个素数不是奇数

命题(3)的否定是“并非所有的x∈ R, x? -2x+1≥0”, 也就是说,

?x0∈R, x0? -2x0+1<0 这三个全称命题的否定都变成了特称命题.

结论
一般地,对于含有一个量词 的全称命题的否定,有下面的结论:
全称命题p: ?x∈M ,p(x), 它的否定?p: ?x0∈M,?p(x0),

全称命题的否定是特称命题.
即:命题否定后,全称量词变为存在量词,“肯定” 变为“否定”

例题
例1 :写出下列全称命题的否定,并判 断其真假: (1)p:?x∈ R, x? -x+?≥0;

(2)q:所有的正方形都是矩形.
答:(1)?p: ?x∈R, x? -x+?<0;

假 假

(2) ?q:至少存在一个正方形不是矩形;

例题
例2 :写出下列全称命题的否定:
(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;

(2)p:每一个四边形的四个顶点共圆;
(3)p:对任意x0∈Z, x0? 的个位数字不等于3.

答:(1)?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数;
(2)?p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; (3)?p: ?x0∈Z, x0? 的个位数字等于3.

探究
写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;

(3) ?x0∈R, x0? +1<0.

这些命题和它们的否定在形式上

有什么变化?

以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “?x 0 ∈M, p(x0)”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说, 所有实数的绝对值都不是是正数
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱 形”,也就是说,

每一个平行四边形都不是菱形
命题(3)的否定是“不存在x∈R, x?+1<0”,也就是说,

?x∈R, x? +1≥0 这三个特称命题的否定都变成了全称命题.

结论 一般地,对于含有一个量词
的特称命题的否定,有下面的结论:
特称命题p: ?x0∈M ,p(x0), 它的否定?p: ? x∈M,?p(x),

特称命题的否定是全称命题
即:命题否定后,存在量词变为全称量词,“肯定” 变为“否定”

例题
例1:写出下列特称命题的否定: (1)p: ?x0∈R, x0? +2x0+2≤0;

(2)p:有的三角形是等边三角形;
(3)p:有一个素数含三个正因数. 答:(1)?p: ?x0∈R, x0? +2x0+2>0; (2)?p:所有的三角形都不是等边三角形; (3)?p:每一个素数都不含三个正因数.

例题
例4 :写出下列命题的否定,并判断其真假:

(1)q:至少有一个实数x,使x? +1=0
(2)r:任意两个等边三角形都是相似的;

(3)s:?x0∈R, x0? +2x0+2=0.
答:(1)?q: ?x∈R, x3+1≠0. (3)?s: ?x∈R, x? +2x+2≠0. 假 真

(2)?r: 存在两个等边三角形,它们不相似;假

练习
练习1 写出下列命题的否定:
( 1 )?n ? Z,n ? Q (2)任意素数都是奇数 (3)每个指数函数都是单 调函数
(4)有些三角形是直角三角形

(5)存在一个实数,它的 绝对值不是正数

练习
练习2 写出下列命题的否定,并判断其真假: (1) ?x∈R, x? +x=x+2;

(2) ?x∈R, 2x+4≥0.

小结

1.全称命题的否定 2.特称命题的否定 3.全称命题与特称命题的关系


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