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必修五模块测试拓展卷


绝密★启用前

高中数学必修五模块测试基础卷
考试时间:120 分钟; 学校:___________姓名:___________班级:___________ 题号 得分 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(题型注释) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分)
1.若 a, b, c 为实数,

则下列命题正确的是( A.若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? ab ? b 2 )

1 1 ? a b b a D.若 a ? b ? 0 ,则 ? a b
C.若 a ? b ? 0 ,则 2.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( A. 90 0 3.若不等式 2kx A. (?3,0)
2

) D. 1500 )

B. 600

C. 1350

? kx ?

3 ? 0 的解集为空集,则实数 k 的取值范围是( 8
C.?? 3,0?

B.(??,?3)

D.(??,?3) ? (0,??) ).

4.等比数列{an}各项均为正数,且 a1,

a ? a4 1 a3,a2 成等差数列,则 3 =( a4 ? a5 2
C.

A. ?

5 ?1 2

B.

1- 5 2

5- 1 2

D. ?

5 ?1 5- 1 或 2 2

2 5.设各项均为正数的等差数列 {an }的前n 项和为 Sn , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ?0

S2m?1 ? 38, 则m 等于 (
A. 38 B. 20

) C. 10 D. 9

6.已知△ABC 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 cos B=

1 ,b=2,sin C=2sin 4

A,则△ABC 的面积为(
A.

). C.

15 6

B.

15 4

15 2

D. 15

试卷第 1 页,总 5 页

? x? y?0 ? 7.已知 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最 ? x?0 ?
大值是 4,则 ab 的最大值是( A.4 B. 2 2 C.1 D. )

2 2

8.若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2011 ? a2012 ? 0 , a2011 ? a2012 ? 0 ,则使 前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是( A.2011 B.2012 ) C.4022 D.4023

9 .已知一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x x ? , 或x ? 3} , 则 f (e x ) ? 0 的解集为 ( ) B、 {x ln 2 ? x ? ln 3} D、 {x ? ln 2 ? x ? ln 3}

1 2

A、 {x x ? ? ln 2, 或x ? ln 3} C、 {x x ? ln 3} }

10.不等式 x +2x<

2

a 16b + 对任意 a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数 x 的取值范围是 b a

( ) A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-4,2) D.(-∞,-4)∪(2,+∞) 11.一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西偏北 ? 方向上,行驶 a 千米后到达 B 处,此时测得此山顶在西偏北 ? 方向上,仰 角为 ? ,根据这些测量数据计算(其中 ? ? ? ),此山的高度是( )

A.

a sin ? sin ? sin(? ? ? )
a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? tan? sin(? ? ? )

C.

D.

a sin ? tan? sin(? ? ? )
1 1 , ak ? ,则该数列前 mk 项之和是 k m

12. 等差数列 ?an ?中有两项 ?am ? 和 ?ak ?满足 a m ? ( )

试卷第 2 页,总 5 页

A.

mk ? 1 2

B.

mk -1 2

C.

mk ? 3 2

D.

mk -3 2

试卷第 3 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(每题 5 分共 20 分) 13.在△ABC 中,已知 AB ? 5 , BC ? 2 , ?B ? 2?A ,则边 AC 的长为 .

14.当实数 x,y 满足 ________.

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? ? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? 1, ?

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是
a

15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =n +n,则数列 bn ?
2

n 1 ? 2 2 的前 5 项的和 an an?1

为 . 16.给出下列四个命题: ①若 x ? 0 ,且 x ? 1 则 lg x ?

1 ? 2; lg x

②设 x, y ? R ,命题“若 xy ? 0, 则x2 ? y 2 ? 0 ”的否命题是真命题; ③函数 y ? cos(2 x ?

5 π ) 的一条对称轴是直线 x ? ? ; 3 12

④ 若 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x) 是 奇 函 数 , 则 对 定 义 域 内 的 任 意

x 必有

f ( 2 x? 1) ? f ? ( 2 x ? 1) ?. 0
其中,所有正确命题的序号是 .

三、简答题(共 70 分,请给出详细规范的解答过程) 17 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 △ ABC 中 , ?A C B为 钝 角 ,

AB ? 2, BC ? 2, A ?
B

π . D 为 AC 延长线上一点,且 CD ? 3 ? 1. 6

A

C

D

(Ⅰ)求 ?BCD 的大小; (Ⅱ)求 BD 的长及△ ABC 的面积. 18. (12 分) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 b ? c 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 x ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5) ,
2

a 3 cos A

?

c , sin C

(1)求 f ( x) 的解析式;

试卷第 4 页,总 5 页

(2)若对于任意 x ? [?1,1] ,不等式 f ( x) ? t ? 2 恒成立,求 t 的取值范围. 20 . ( 10 分 ) 知 正 数 x, y 满 足 : x ? y ?3 ? x y, 若 对 任 意 满 足 条 件 的 x, y :

( x ? y)2 ? a( x ? y)
?1 ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
21 . (本题满分 12 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1,当n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足:

2S n ? an (2S n ? 1) .
(Ⅰ)求证:数列 {

2

1 } 是等差数列,并用 n 表示 Sn ; Sn

(Ⅱ)令 bn ?

Sn ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 求使得 2Tn (2n ? 1) ? m(n 2 ? 3) 对所 2n ? 1

有 n ? N ? 都成立的实数 m 的取值范围. 22. (本小题满分 14 分)已知数列 {an } , {cn } 满足条件: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 ,

cn ?

1 . (2n ? 1)(2n ? 3)

(Ⅰ)求证数列 {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,并求使得 Tn ? 的最小值.

1 对任意 n ? N ? 都成立的正整数 m am

试卷第 5 页,总 5 页

参考答案 1.B 【解析】 试题分析:对于 A,当 c ? 0 时,不等式不成立,故 A 错;对于 C,因为 a ? b ? 0 ,两边同 时除以 ab ? 0 , 所以

1 1 1 1 a b ? ?? ?0, ? , 故 C 错; 对于 D, 因为 ? a ? ?b ? 0 , 所以 ? , b a a b b a

故 D 错,所以选 B. 考点:不等式性质. 2.B 【解析】此题考查余弦定理 思路分析: 因为 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 所以

(a ? b ? c)(b ? c ? a) b2 ? c 2 ? a 2 ? 3, ?1 bc bc

由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 又因为 A 为三角形内角,故 A ? 60?. 选 B. 2bc 2

点评:解答此题需知道余弦定理,注意整体代换. 3.C 【解析】
2 试题分析: ? 2kx ? kx ?

3 ? 0 的解集为空集,则当 k ? 0 时解集为空集;当 k ? 0 时, 8

3 ? ? k 2 ? 4 ? 2k ? (? ) ? k 2 ? 3k ? 0 恒成立,则 ?3 ? k ? 0 ;当 k ? 0 时,不合题意.综上 8

k ? ? ?3, 0?
考点:一元二次不等式的解法 4.C. 【解析】 试题分析:设等比数列{an}的公比为 q,因为

a3 ? a4 a ?a 1 1 ? 3 4 ? ,又 a1, a3,a2 成等 a4 ? a5 a3q ? a4q q 2 1? 5 ,所 2

差数列,所以有 a3 ? a1 ? a2 ,则 a1q 2 ? a1 ? a1q ,所以有 q2 ? 1 ? q ,解得 q ?



1 5 ?1 5- 1 ?? 或 ,又等比数列{an}各项均为正数,所以 q ? 2 2 q

5- 1 2 .

考点:等比数列的通项公式,等差中项,解一元二次方程. 5.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 {a n } 为 等 差 数 列 , ?am?1 ? am?1 ? 2am , 则 由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 即
2
2 am ? 2am ,? am ? 2

答案第 1 页,总 9 页

S2m?1 ? a1 ? a2 ? ??? ? a2m?1 ? (2m ? 1)am ? 4m ? 2 ? 38 ,? m ? 10 .
故选 C. 考点:等差数列的性质. 6.B 【解析】由正弦定理
2 2

a c = ,得 c=2a① sinA sinC
2 2 2

由余弦定理 b =a +c -2accos B,得 4=a +c -2ac×

1 ② 4 1 15 . 所 以 S △ ABC = acsin B = 2 4

由 ① ② 得 : a = 1 , c = 2 , 又 sin B = 1 ? cos2 B =

1 15 15 ×1×2× = 2 4 4
7.C 【解析】 8.C 【解析】 试 题 分 析 : ∵ a2011 ? a2012 ? 0 , a2011 ? a2012 ? 0 , ∴ a2011 和 a2012 异 号 , 且 而 a2 | a2011 |?| a2012 | , ? a 0 1 1 2 0 1 2 而 S4023 ?
1

?a 4 ?a 0 2 2

, ∵ Sn ?

n(a1 ? an ) 4022(a1 ? a ) 4 0 2 2 , ∴ S4022 ? ? 0, 2 2

4023(a1 ? a4023 ) 4023 ? 2a2012 ? ? 0 ,所以选 C. 2 2

考点:等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式. 9.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 一 元 二 次 不 等 式 所 对 应 的 二 次 函 数 开 口 向 下 , 则 f (e x ) ? 0 会 有

1 ? e x ? 3 ,解得 2 ? ln 2 ? x ? ln 3 ,故选 D.
考点:1.一元二次不等式与二次函数的关系;2.不等式的求解. 10.C 【 解 析 】 不 等 式 x + 2x<
2

a 16b 2 + 对 任 意 a , b ∈ (0 , + ∞) 恒 成 立 , 等 价 于 x + b a

2x< ?
2

a 16b a 16b ? a 16b ? =8(a=4b 时等号成立), ? ? ? min,由于 b + a ≥2 b a a ? ?b

∴x +2x<8,解得-4<x<2. 11.D 【解析】
答案第 2 页,总 9 页

试 题 分 析 : 设 此 山 高

h ( m ) , 则 AC=

h , 在 △ ABC 中 , tan?

?B ? ?

? ? ,

C ?
,

根据正弦定理得 ? ? ,? ? A B (a ? k ) m

AC AB = sinB sinC



h sin(? ? ? ) ? tan ? t

?

a sin( ? ? ? ) a s n i

,





h?

a ?s

?? i? ? n ? a (? ? ? ? ) ? s ?? i? n ( ? ?? )

s n (

i

n )

t

a

考点:解三角形的实际应用 12.A 【解析】 试题分析:设 等 差 数 列 ?an ?的 首 项 为 a1 ,公 差 为 d ,由 等 差 数 列 的 性 质 以 及 已 知 条 件得 d ?

∴ amk

ak ? am 1 1 1 1 ? ? , ∵ a1 ? ?m ?1?d ? am , ∴ a1 ? ? ?m ? 1? , k ?m mk k mk mk 1 ?1 1 1 1? m k ? ? ?mk ? 1? ? 1 , ∴ sm k ? m k ? m k ? . mk mk 2 2

考点:等差数列的性质. 13. 14 【解析】
b ? s iB n 试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 得 : a ?b?4 c o As A s i n , 由 余 弦 定 理 得

? b2 ? ? 4 b2 ? 1 ? b ? 4? 2 5 4 b? 10b
考点:正余弦定理 14. 1 ? a ? 【解析】

1 4 .

3 2

答案第 3 页,总 9 页

试题分析:作出不等式组表示的区域如下图所示的阴影部分区域,

由图可知:不等式 1 ? ax ? y ? 4 在阴影部分区域恒成立,令 z ? ax ? y 可知 a ? 0 ,因为当

a ? 0 ,且当 x ? 1, y ? 0 时, z ? ax ? y ? a ? 0 ? a ? 0 不能使得 1 ? ax ? y ? 4 恒成立;由

a ? 0 得 z ? ax ? y 在点 ?1, 0? 处取得最小值,即 zmin ? ax ? y ? a ,在点 ? 2,1? 处取得最大
值,即 zmax ? ax ? y ? 2a ? 1 ,所以有 考点:简单线性规划;

?

a ?1 2 a ?1? 4

解得 1 ? a ?

3 。 2

62
15.

5 24

【解析】

试题分析:由 S n =n +n 得:

2

an =2n ,

bn ?

1 1 1 1 ? 2n ? ( ? ) ? 2n 4n(n ? 1) 4 n n ?1 ,所以其前

1 1 1 1 1 1 2(1 ? 25 ) 1 1 5 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ? (1 ? ) ? 62 ? 62 . 2 2 3 5 6 1? 2 4 6 24 5 项的和为 4
考点:裂项相消求和 16.②④ 【解析】

lg x ? 试题分析: 当 x ? 0.1 ? 0 时,

1 ? ?2 , 所以①不成立.原命题的否命题为 “若 xy ? 0 , lg x
π ) 对称轴为 的 3 5 k ? Z 由此不存在对称轴是直线 x ? ? , 所以③ 12

2 2 则 x ? y ? 0 ” . 显 然 成 立 . 即 ② 正 确 . 由 于 函 数 y ? c o s (x2?

2x ?

?
3

? k? k ? Z .所以 x ?

?
6

?

k? 2

不正确.由题意可得 f (2 x ? 1) ? f (?2 x ? 1) ? 0 可化为 f (2 x ? 1) ? f (2x ? 1) .显然成立.所
答案第 4 页,总 9 页

以④正确填④. 考点:1.不等式的性质.2.三角函数的性质.3.函数的性质. 17. (Ⅰ) ?BCD ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先, 利用正弦定理求出 sin ?ACB 的正弦函数值, 再根据 ?ACB 为钝角, 所以 ?ACB ?

π 3 ?1 ; (Ⅱ) 4 2

3π ,然后求出即可求出角 ?BCD 的大小; (Ⅱ)在△BCD 中,利用余弦定理 4

可求 BD 的长,然后继续由余弦定理求出 AC 的长,即可求解△ABC 的面积. 试题解析: (Ⅰ)在△ ABC 中,

π , BC ? 2 , 6 AB BC ? 由正弦定理可得 , sin ?ACB sin A
因为 AB ? 2, A ? 即

2 2 2 ? ? ?2 2, 1 sin ?ACB sin π 6 2

所以 sin ?ACB ?

2 . 2
3π . 4
6分

因为 ?ACB 为钝角,所以 ?ACB ? 所以 ?BCD ?

π . 4

2 2 2 (Ⅱ)在△ BCD 中,由余弦定理可知 BD ? CB ? DC ? 2CB ? DC ? cos ?BCD ,

2 2 2 即 BD ? ( 2) ? ( 3 ? 1) ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) ? cos

π , 4

整理得 BD ? 2 .
2 2 2 在△ ABC 中,由余弦定理可知 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A ,

2 2 2 即 ( 2) ? 2 ? AC ? 2 ? 2 ? AC ? cos

π , 6

整理得 AC ? 2 3AC ? 2 ? 0 .解得 AC ? 3 ? 1 .
2

因为 ?ACB 为钝角,所以 AC ? AB ? 2 .所以 AC ? 3 ? 1. 所以△ ABC 的面积 S ?

1 1 1 3 ?1 AC ? AB ? sin A ? ? 2 ? ( 3 ? 1) ? ? 2 2 2 2

13 分.

考点:1.余弦定理的应用;2.解三角形.

答案第 5 页,总 9 页

18. (Ⅰ) A ?

?
3

; (Ⅱ) (6,12] .

【解析】 试题分析:(Ⅰ) 利用正弦定理、结合角的范围来求;(Ⅱ)利用余弦定理、边角互换,然后 利用基本不等式来求解. 试题解析: (Ⅰ)由条件结合正弦定理得, 从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?
a 3 cos A ? c a ? sin C sin A

?
3
?

5分

(Ⅱ)法一:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b2 ? c2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立)
3 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4 3

∴( (b ? c)2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 , 12 分

∴ 6 ? b ? c ? 12 ,从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] 法二:由正弦定理得:
b c 6 ? ? ?4 3 sin B sin C sin ? 3

∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C ,
2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B)? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? ?? 3 1 ? ? 4 3? B? ? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ? 12 ? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ? 12sin ? 6? ? ? ? ? ?



?
6

? B?

?
6

?

?? 5? ? ,∴ 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 , 6? 6 ?
?
3

即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 B ?

时,等号成立) 从而 b ? c 的取值范围是 (6,12]

12 分

考点:正弦定理、余弦定理以及基本不等式,考查分析问题、解决问题的能力
2 19. (1) f ( x) ? 2 x ? 10x ; (2) t ? ?10 。

【解析】 试题分析: (1)根据“三个二次”之间的关系:一元二次不等式解集的端点值就是相应的一 元二次方程的两个根,可知 0 和 5 是方程的两个根,然后根据韦达定理可得 ?
2

b c ? 5, ? 0 , 2 2

2 (2)原不等式可化为 2 x ? 10x ? t ? 2 ? 0 ,构造函数 g ( x) ? 2x ? 10x ? t ? 2 ,由题意知

只需保证 g ( x) 在 x ?[?1,1] 上的最大值小于或等于零即可。 试题解析: (1) f ( x) ? 2 x ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5) ,
2

答案第 6 页,总 9 页

所以 2 x 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 (0,5) ,所以 0 和 5 是方程 2 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根, 由韦达定理知, ?

b c ? 5, ? 0,? b ? ?10, c ? 0, f ( x) ? 2 x 2 ? 10 x . 2 2

5分

(2) f ( x) ? t ? 2 恒成立等价于 2 x 2 ? 10x ? t ? 2 ? 0 恒成立, 所以 2 x 2 ? 10x ? t ? 2 的最大值小于或等于 0.设 2 x 2 ? 10x ? t ? 2 ? 0 , 则由二次函数的图象可知 g ( x) ? 2 x ? 10x ? t ? 2 在区间 [ ?1,1] 为减函数,
2

所以 g ( x)max ? g (?1) ? 10 ? t ,所以 t ? ?10 .

12 分

考点: (1)一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的两个根; (2)二次函数 给定区间上的最值问题。 20. a ?

37 6

【解析】 试题分析: (1)利用基本不等式求最值必须满足一正,二定,三相等三个条件,并且和为定 值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值 (2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能, 常常用于比较数的大小或证明不等式, 解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点, 选择 好利用基本不等式的切入点. 试题解析: 由 x ? y ? 3 ? xy ?

( x ? y)2 ? ( x ? y)2 ? 4( x ? y) ? 12 ? 0 ? x ? y ?[6, ??) 令 4

1 t ? x ? y ? t 2 ? at ? 1 ? 0 在 [6, ??) 恒成立,即 a ? t ? 在 [6, ??) 恒成立,又因 t 1 37 37 f (t ) ? t ? 在 [6, ??) 单调递增. ? f (t ) min ? f (6) ? ?a ? . t 6 6
考点:基本不等式的应用. 21. (Ⅰ) S n ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求证:数列 {
2

1 4 ; (Ⅱ)实数 m 的取值范围为 m ? . 2n ? 1 7

1 1 1 等于一个与 n 无关的常 } 是等差数列,只需证明 ? Sn Sn Sn?1

数 , 由 已 知 , 2S n ? an (2S n ? 1) , 只 需 将 式 子 中 的 an 换 成 Sn ? Sn?1 得 ,

S n?1 ? S n ? 2S n S n?1 (n ? 2) ,两边同除以 Sn Sn?1 即可,用 n 表示 Sn ,因为数列 {

1 } 是以1 Sn

为首项, 2 为公差的等差数列,可写出数列 {

1 } 的通项公式,从而可得数列 {Sn } 的通项公 Sn

答案第 7 页,总 9 页

式; (Ⅱ)求使得 2Tn (2n ? 1) ? m(n 2 ? 3) 对所有 n ? N ? 都成立的实数 m 的取值范围, 将式子整理为

2Tn (2n ? 1) 2T (2n ? 1) ? m ,只需求出 n 2 的最大值,须求出 Tn 的解析式,首先 2 n ?3 n ?3

求出数列 {bn } 的通项公式,由 bn ?

Sn 1 ? ,可用拆项相消法求得 Tn 的解 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

析式,进而可得实数 m 的取值范围. 试题解析: (Ⅰ)当 n ? 2 时, 2S n ? an (2S n ? 1) ? (S n ? S n?1 )(2S n ? 1)
2

?S ? ?

n?1

? S n ? 2S n S n?1 (n ? 2)

1 1 1 1 1 ? ? 2(n ? 2) ,即数列 { } 是等差数列,首项 ? ? 1 ,公差 d ? 2 S n S n ?1 Sn S1 a1

1 1 ? ? (n ? 1)d ? 2n ? 1(n ? 1) S n S1

?S

n

?

1 2n ? 1

(Ⅱ) bn ?

Sn 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?T

n

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

由题 2Tn (2n ? 1) ? m(n 2 ? 3) 即 m ?

2n ? n ?3
2

2 n? 3 n

对于所有 n ? N 都成立 设 cn ?

?

2 3 n? n

? 由题 m ? (c

n

) max

? 满足题意的实数 m 的取值范围为 m ? 4 .
7
22. (Ⅰ) an ? 2 n ? 1 ; (Ⅱ)5 【解析】

3 在 (0, 3 ] 上是减函数,在 [ 3,??) 上是增函数 x 1 4 故数列 {cn } 从第二项起递减,而 c1 ? , c 2 ? 2 7
函数 y ? x ?

考点:等差数列的判断,求数列的通项公式.

试题分析: (Ⅰ)由数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 1,通过构造即可得到数列 {an ? 1} 为等比数
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列,并求出数列 {an ? 1} 的通项,由此得到数列 {an } 的通项公式. (Ⅱ)由数列 {cn } 满足 c n ?

1 .由裂项求和法即可得到数列 {cn } 的前 n 项和 (2n ? 1)(2n ? 3)

Tn .又由 Tn ?

1 对任意 n ? N ? 都成立,所以要求出 Tn 的最小值,通过对数列通项的研究 am
1 1 ? m 即可求出 15 2 ? 1

即可得数列 Tn 是一个递增的数列,由此可得 Tn 的最小值为 T1 .再根据 结论. 试题解析: (Ⅰ)∵ an?1 ? 2an ? 1 ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,∵ a1 ? 1 , a1 ? 1 ? 2 ? 0 ∴数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 . ∴ an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ∴ an ? 2 n ? 1 (Ⅱ)∵ c n ? ∴ Tn ? 2分

5分

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

7分

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3
9分

?

1 1 1 n n ( ? )? ? . 2 3 2n ? 3 3 ? (2n ? 3) 6n ? 9



Tn?1 n ? 1 6n ? 9 6n2 ? 15n ? 9 9 ? ? ? ? 1? 2 ? 1 ,又 Tn ? 0 , 2 Tn 6n ? 15 n 6n ? 15n 6n ? 15n
*

∴ Tn ? Tn?1 , n ?N ,即数列 {Tn } 是递增数列. ∴当 n ? 1 时, Tn 取得最小值 要使得 Tn ?

1 . 15

11 分

1 1 1 * ? m 对任意 n ?N 都成立, 结合 (Ⅰ) 的结果, 只需 , 由此得 m ? 4 . ∴ 15 2 ? 1 am

正整数 m 的最小值是 5. 13 分 考点:1.等比数列的性质.2.裂项法求和.3.数列与不等式的关系.

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