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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(13)


高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
广东 许少华

一、选择题 1、归纳推理的表述不正确的一项是( ) (A)归纳推理是由部分到整体的推理 (B)归纳推理是由个别到一般的推理 (C)归纳推理是从研究对象的全体中抽取部分进行观察或试验,以取得的信息,从而 对整体作出判断的一种推理; (D)归纳推理是由一般到特殊的推理 答案: (D) 2、由直线与圆

相切时,圆心与切点连线与直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切 点连线与平面垂直,用的是( ) (A)归纳推理 (B)演绎推理 (C)类比推理 (D)特殊推理 答案: (C) 3、用演绎法证明函数 y ? x 3 是增函数时的大前提是( (A)增函数的定义 (C)若 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 答案: (A) 4、从 1 ? 1 、 1 ? 3 ? 2 、 1 ? 3 ? 5 ? 3 、 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 4 、?、得到 1 ? 3 ? ?
2



(B)函数 y ? x 3 满足增函数的定义 (D)若 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 )

2

2

2

? (2n ? 1) ? n 2 用的是(



(A)归纳推理 (B)演绎推理 (C)类比推理 (D)特殊推理 答案: (A) 5、类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是( ) (A)连续两项的和相等的数列叫等和数列 (B)从第二项起,以后每一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列 (C)从第二项起,以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列 (D)从第一项起,以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列 答案: (C)

1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 , , , , , , , , , ? ,则数 将出现在此数列的第( )项 2 1 3 2 1 4 3 2 1 6 (A) 21 (B) 22 (C) 23 (D) 24 1 2 1 2 3 答案: (C) ;提示将数列分段,第一段 1 ;第二段 , ;第三段 , , ;?可以看出 3 2 1 2 1 2 同一段中的任何一个分数的分子与分母之和相等且等于段数加 1 ; 那么 在第七段且在第七 6
6、观察数列 1,

中的第二个出现,故 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 2 ? 23 ; 二、填空题 7、将函数 y ? 2 x 为增函数的判断写成三段论的形式为 答案: (大前提)指数函数 y ? a x (a ? 1) 是增函数; (小前提) y ? 2 x 是底数大于 1 的 指数函数; (结论)所以 y ? 2 x 为增函数; 8、三角形的内角和为 (3 ? 2) ?1800 、四边形的内角和为 (4 ? 2) ?1800 、五边形的内 角和为 (5 ? 2) ?1800 ,据此,你推断 n 边形的内角和为 答案: (n ? 2) ?1800 9、从 n ? 1,2,3,4,5,6,7,?入手,你推测 2 与 n ? 1 的大小关系是
n n n 答案: n ? 1 时, 2 ? n ? 1 ; n ? 2 时, 2 ? n ? 1 ;

10、若数列 {an } 满足, a1 ? 1 且 an ? 2an?1 ? 1,则此数列的通项公式为 答案: an ? 2 n ? 1

11、由图(1)有面积关系:

S ?PA/ B / S ?APB

?

PA/ ? PB/ ,则由图(2) PA ? PB
图(1) 图(2)

有体积关系

VP ? A/ B / C / VP ? ABC

?
PA/ ? PB / ? PC / ; PA ? PB ? PC

答案为:

12 、 在 平 面 几 何 里 有 勾 股 定 理 : 设 ?A B C 的 两 边 AB, AC 互 相 垂 直 , 则 “

AB2 ? AC 2 ? BC 2 。 ”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与

底 面 面 积 之 间 的 关 系 , 可 以 得 出 的 正 确 结 论 是 : 设 三 棱 锥 A ? BCD 的 三 侧 面 “

ABC, ACD, ADB 两两垂直,则
2 2 2 2 答案: S ?BCD ? S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB

。 ”

如图作 AE ? CD 连 BE ,则 BE ? CD
2 S ?BCD ?

1 1 1 CD 2 ? BE 2 ? CD 2 ( AB 2 ? AE 2 ) ? ( AC 2 ? AD 2 ) AB 2 4 4 4

2 2 2 2 ? S ?ACD ? S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB

三、解答题 13、用三段论证明:通项为 an ? pn ? q ( p, q为常数) 的数列 ?an ? 是等差数列; 证明:因为数列 ?an ? 是等差数列,则 an ? an?1 ? d ,其中 d 为常数 由 an ? pn ? q ,得 an ? an?1 ? pn ? q ? [ p(n ? 1) ? q] ? p 为常数 所以,以 an ? pn ? q ( p, q为常数) 的数列是等差数列。 14、设有数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,?? (1)问 10 是该数列的第几项到第几项? (2)求第 100 项 (3)求前 100 项的和 解:将已知数列分组,第一组一个“1” ;第二组两个“2” ;第三组三个“3” ;第四组 四个“4” ??如此下去; (1)易知“10”皆出现在第十组,由于前九组中共有: 1 ? 2 ? ? ? 9 ? 45 项,因此 10 在该数列中从第 46 项到第 55 项 ( 2 ) 由 1 ? 2 ? ? ? n ? 100 即

1 ? 2 ? ? ? 13 ?

13(13 ? 1) ? 91 ,因此第 100 项为 14。 2

n( n ? 1) ? 100 成 立 的 最 大 自 然 数 为 13 , 又 2

(3)由②知前 100 项的和为: s100 ? 1?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 13?13 ? 9 ?14 ? 945 15、 ?an ? 是集合 {2 ? 2 | 0 ? s ? t , s, t ? Z } 中所有的数从小到大排列成的数列, 设 且
t s

即 a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 6, a4 ? 9, a5 ? 10, a6 ? 12,?? 将数列 ?an ? 各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:

3 5 9 ----10 --6 12 ---

----------(1)写出这个三角数表的第四行、第五行; (2)求 a100 解:用记号 ( s, t ) 表示 s, t 的取值,那么数列 ?an ? 中的项对应的 ( s, t ) 也构成一个三角表 (0,1) (0,2) (1,2) (0,3) (1,3) (2,3) 有没有发现规律呢?第一行右边的数是“1” ;第二行右边的数是“2” ;第三行右边的 数是“3” ;于是??第四行右边的数便是“4” ,第五行右边的数自然就是“5”了。而左边 的那个数总是从“0”开始逐个递增。因此
0 4 1 4 2 4 (1)第四行的数是: 2 ? 2 ? 15; 2 ? 2 ? 18 ; 2 ? 2 ? 20 ; 2 ? 2 ? 24 ;
3 4

第五行的数是: 2 ? 2 ? 33; 2 ? 2 ? 34 ; 2 ? 2 ? 38; 2 ? 2 ? 40;
0 5 1 5 2 5 3 5

2 4 ? 25 ? 48
(2)由 1 ? 2 ? ? ? 13 ?

13(13 ? 1) ? 91 知 a100 在第十四行中的第 9 个数,于是 a100 2

? 28 ? 214 ? 16640


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