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竞赛辅导函数1


练习题

x-3y+4≥0 ? ? 5.已知约束条件?x+2y-1≥0 ? ?3x+y-8≤0
得最大值,则 a 的取值范围为 c 1 A.0<a< 3 1 C.a> 3

,若目标函数 z=x+ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取

1 B.a≥ 3 1 D.0<a< 2

/>
4.已知 a =1, b =2, a 与 b 的夹角为 120°, a + b + c =0,则 a 与 c 的夹角为 b A.150° B.90° C.60° D.30°

7 . 在 △ ABC 中 , P 是 B C 边 中 点 , 角 A 、 B 、 C的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c, 若 ,则△ ABC 的形状为 c c A C ? a P A ? b P B ? 0 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形. 12. 如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上 不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动

9 点,则 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是_ ? _______ 2

A

P
第 12 题图

O

B

4.已知三条不重合的直线 m、n、l 两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题 ①若 l / /? , m / / ? , 且? / / ? , 则l / / m ② 若l ? ? , m ? ? , 且l / / m, 则? / / ?

③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? , 则? / / ? ④若 ? ? ? , ?

? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ?
D. 1

其中真命题的个数是 c A.4 B.3 C.2 5.如图,在正三角形 ABC 中, D , E , F 分别为各边的 中点, G , J 分别为 AF , DE 的中点.将△ ABC 沿 DE , EF , DF 折成三棱锥以后, GJ 与 DE 所成 角的度数为 a A.90° B.60° C.45° D.0° 16. 已知函数 f ( x) ? 2 sin ?x ? cos?x ? 2b cos 轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
2

?x ? b (其中

b ? 0 ,? ? 0 )的最大值为 2,直线 x ? x1 、 x ? x2 是 y ? f ( x) 图象的任意两条对称

? . 2

⑴求 b , ? 的值; ⑵若 f (a ) ?

2 5? ? 4a) 的值. ,求 sin( 3 6

2 16.解:⑴ f ( x) ? sin 2?x ? b cos 2?x ? 1 ? b sin( 2?x ? ? ) ,

T ? 2? T ?

?
2

?? ,

2? ? ? ,所以 ? ? 1 , 2? ?

解 1 ? b2 ? 2 得 b ? ? 3 , 因为 b ? 0 ,所以 b ? ⑵ f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 由 f (a) ?

3。

?
3

),

2 ? 1 得 sin( 2? ? ) ? , 3 3 3 5? 3? ? ? sin( ? 4? ) ? sin[ ? 2(2? ? )] ? ? cos 2(2? ? ) 6 2 3 3 ? 7 ? 2 sin 2 (2? ? ) ? 1 ? ? . 9 3

12.如图,四边形 ABCD 中(图 1) , E 是 BC 的中点, DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 ,

AB ? AD ? 2. 将(图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A ? BD ? C 为 60 0 (如图 2)
(1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.

D

C
D

A C

A

E
E

B

B 图2

图1 13 . 如 图 , 多 面 体 EF ? ABCD 中 , A B 是 C 梯 D形 , AB // CD , ACFE 是 矩 形 , 面 A C F E ?

AD ? DC ? CB ? AE ? a , ?ACB ?

?

面 ABCD ,

2



F
⑴求证: BC ? 平面 ACFE ; ⑵ 若 M 是 棱 EF 上 一 点 , AM // 平 面 EM ; ⑶求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦

E B D F ,求
值.

D

C

A

B

12.如图取 BD 中点 M,连接 AM,ME。

2. ? AM ? BD 因 DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 2 2 2 满足: DB ? DC ? BC , 所以 ?BCD 是 BC 为斜边的直角三角形, BD ? DC , 1 因 E 是 BC 的中点,所以 ME 为 ?BCD 的中位线 ME // CD , 2 1 ? ME ? BD , ME ? 2 ? ?AME 是二面角 A ? BD ? C 的平面角? ?AME = 60 0 ? AM ? BD , ME ? BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线 ? BD ? 平面AEM ? AE ? 平面 AEM? BD ? AE 因 AB ? AD ? 2. , DB ? 2 1 ? ?ABD 为等腰直角三角形? AM ? BD ? 1, 2 1 1 3 3 AE 2 ? AM 2 ? ME 2 ? 2 AM ? ME ? cos?AME ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? cos60? ? ? AE ? 4 2 4 2 2 2 2 ? AE ? ME ? 1 ? AM ? AE ? ME ? BD ? ME, BD ? 面BDC, ME ? 面BDC ? AE ? 平面BDC
(2) ,(3)解法二: 取 AD 中点 N,连接 MN,则 MN 是 ?ABD 的中位线,MN//AB,又 ME//CD 所以直线 AB 与 CD 所成角为 ? 等于 MN 与 ME 所成的角,即 ?EMN 或其补角中较小之一。 AE ? 面BCD, DE ? 面BCD ? AE ? DE ,N 为在 Rt ?AED 斜边中点 所以有 NE=

因 AB ? AD ?

1 1 2 1 2 AD ? ,MN= AB ? ,ME= , 2 2 2 2 2
MN 2 ? ME 2 ? NE 2 2 MN ? ME

? cos ? ? cos ?EMN ?

2 1 2 ? ? 2 = 4 4 4 ? 4 2 1 2? ? 2 2 (3)记点 B 到平面 ACD 的距离 d, 1 则三棱锥 B-ACD 的体积 V B ? ACD ? d ? S ?ACD , 3
又由(1)知 AE 是 A-BCD 的高、 BD ? CD ?VB ? ACD ? V A? BCD ?

1 AE ? S ?BCD 3 1 3 ?1 3 ? ? ? ? ? ? 2 ?1? ? 3 2 ?2 ? 6

E 为 BC 中点,AE ? BC? AC ? AB ?
2

2 又, DC ? 1, AD ? 2 , ?ACD为等腰?,

S ?ACD

1 1 ?1 ? ? ? CD ? AD 2 ? ? CD ? ? ? 1 ? 2 2 ?2 ?

? 2?

2

7 ?1? ?? ? ? 4 ?2?

2

? B 到平面 ACD 的距离 d ?

3VB ? ACD ? S ?ACD

3?

3 6 ? 2 21 7 7 4

13.证明与求解: ⑴ 面 ACFE ? ABCD ? AC ,

2 ,从而 BC ? AC 。 又因为 BC ? 面 ABCD ,面 ACFE ? 面 ABCD ,所以 BC ? 平面 ACFE 。 ⑵ 连接 BD , 记 AC ? BD ? O , 在梯形 ABCD 中, 因为 AD ? DC ? CB ? a ,AB // CD , 所以 ?ACD ? ?CAB ? ?DAC ,

?ACB ?

?

? ? ?ABC ? ?BCD ? ?DAB ? ?ACD ? ?ACB ? 3?DAC ?
?CBO ?

?

2,

?DAC ?

?
6, 从而

?

6 ,又因为 2 , CB ? a ,所以 连接 FO ,由 AM // 平面 BDF 得 AM // FO ,
因为 ACFE 是矩形,所以

?ACB ?

?

CO ?

3 a 3 。

EM ? CO ?

3 a 3 。

17.有三个新兴城镇,分别位于 A,B,C 三点处,且 AB=AC=13km,BC=10km.今计划合建一 个中心医院,为同时方便三镇,准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处, (建立坐标系如 图) (1)若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小,点 P 应位于何处? (2)若希望点 P 到三镇的最远距离为最小,点 P 应位于何处? y

A P
B ? ?5,0?

O

C ?5,0?

x

17.解: (1)设 P 的坐标为(0, y ) ,则 P 至三镇距离的平方和为:

f ( y) ? 2(25 ? y 2 ) ? (12 ? y) 2 ? 3( y ? 4) 2 ? 146.
所以,当 y ? 4 时,函数 f ( y ) 取得最小值. 答:点 P 的坐标是 (0,4). (2)解法一:P 至三镇的最远距离为
2 2 ? ? 25 ? y , 当 25 ? y ?| 12 ? y |, g ( x) ? ? 2 ? ?| 12 ? y |, 当 25 ? y ?| 12 ? y | .
2 由 25 ? y ?| 12 ? y | 解得 y ?

119 119 , 记 y* ? , 于是 24 24

2 * ? ? 25 ? y , 当y ? y , g ( x) ? ? * ? ?| 12 ? y |, 当y ? y .
* * 因为 25 ? y 2 在 [ y ,??) 上是增函数,而 | 12 ? y | 在(-?, y ] 上是减函数 . 所以

y ? y * 时,函数 g ( y ) 取得最小值. 答:点 P 的坐标是 (0,
解 法 二 : 因 为 在 △

119 ). 24


ABC



AB=AC=13





AC 2 ? OC 2 ? 12 ? 5 ? OC , ?ACB ?

?
4

, 如图(b).

所以△ABC 的外心 M 在线段 AO 上,其坐标为 (0,

119 ), 24

AM=BM=CM. 当 P 在射线 MA 上,记 P 为 P1; 当 P 在射线 MA 的反向延长线上,记 P 为 P2, 这时 P 到 A、B、C 三点的最远距离为 P1C 和 P2A, 且 P1C≥MC,P2A≥MA,所以点 P 与外心 M 重合时, P 到三镇的最远距离最小.
答:点 P 的坐标是 (0,

y A

P1? ?M
B ? ?5,0?

119 ). 24

O P2?

C ?5,0?

x

图 (b )


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