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【优化方案】2014届高考数学3.3 等比数列 随堂检测(含答案解析)


已知各项均不为零的数列{an}中,首项 a1=1,且对于任意 n∈N*均有 6an+1-an+1an- 1 2an=0,bn= . an (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{an}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<2. 1 3 1 解:(1)由 6an+1-an+1an-2an=0 得 = - , an 2 an+1 1 1 1 1 则 - =3( - ), an 4 an+1 4 1 1 1 ∵bn= ,∴bn+1- =3(bn- ), an 4 4 1 1 3 又∵b1- =1- = , 4 4 4 1 3 所以数列{bn- }是以 3 为公比, 为首项的等比数列, 4 4 n n 3 +1 1 3 3 - ∴bn- = ×3n 1= ,bn= . 4 4 4 4 1 4 (2)证明:∵an= = n , bn 3 +1 4 4 4 4 ∴Tn= + +…+ n-1 + n 3+1 32+1 3 +1 3 +1 1 1 1 1 <4( + 2+…+ n-1+ n) 3 3 3 3 1 1 ?1- n? 3 3 1 =4× =2(1- n)<2. 1 3 1- 3


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