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高三数学第一轮复习《等比数列》课件


高三第一轮复习
等比数列

1.定义与定义式 从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 的数列称作等比数列. an?1 ? q(q为不等于零的常数 ) an n ?1 2.通项公式 an ? a1q ,推广形式: an ? am q n?m ,

? na1 (q ? 1) ? n 3.前n项和 S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 0且q ? 1) ? 1? q 1? q ?
4.等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项, 且 b ? ? ac

5.在等比数列 ?an ? 中有如下性质: ? (1)若 m ? n ? p ? q, m, n, p, q ? N 则am ? an ? a p ? aq (2)下标成等差数列的项构成等比数列 (3)连续若干项的和也构成等比数列. 6.证明数列为等比数列的方法: an?1 (1)定义法:若 ? q(n ? N ? ) ? 数列?an ?为等比数列
an

(2)等比中项法:若a ? an ? an?2 (n ? N 且an an?1an?2 ? 0) ? 数列?an ? 为等比数列
2 n?1

?

(3)通项法:若 an ? cqn (c, q均是不为 的常数,n ? N ? ) 0
(4)前n项和法:若 Sn ? Aq ? A( A, q为常数, 且q ? 0, q ? 1)
n

? 列数比等为 na?列数 ?
? 数列?an ? 为等比数列

7.解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想 ①运用等比数列的求和公式时,需要对 q ? 1和q ? 1 讨论 ②当 a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1时,
a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1时,

? 为递减数列 等比数列 an ?
? 为递增数列 等比数列 an ?

1.关于基本量的计算 例1.数列?an ?为等比数列,求下列各值,
1 (1)已知 a3 ? a6 ? 36 a 4 ? a7 ? 18 a n ? , 求n. 2

(2) 已知a2 a8 ? 36 a3 ? a7 ? 15, 求公比q. (3) 已知q ? ? 2,S8 ? 15(1? 2 ),求a1.

例2..设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为 q(q>0),其前n项和为80,而其中最大的一项为54, 又其前2n项和是6560,求a和q.

练习:设等比数列 ?an ?的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求 数列的公比q

2.关于等比数列的证明 例3.已知数列 ?an ? ,Sn是它的前n项和, S n?1 ? 4an ? 2(n ? N ? ), a1 ? 1 且
bn ? an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,求证 ?bn ?是等比数列 (1)设

an (2)设 cn ? 2 n ,求证?cn ?是等差数列

练习:数列的前n项和 S n

? 3 ? b(b为常数)
n

那么数列是等比数列吗?为什么?

例4.数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式分别是

它们公共项由小到大排列的数列是?cn ? , ①写出 ?cn ?的前5项; ②证明 ?cn ?是等比数列.并求通项公式。

an ? 2 , bn ? 3n ? 2,
n

3.数学应用题----数列建模 例5.一个球从100米高外自由下落,每次着地后又 跳回到原高度的一半落下,当它第10次着地时,共 经过了多少米? 练习 :一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将 来上大学的费用,从孩子一出生就在每年生日, 到银行储蓄a元一年定期,若年利润率为r,保持 不变,且每年到期时,存款(含利息)自动转为 新的一年定期,当孩子18岁上大学时,将所有存 款(含利息)全部取回,则取回总钱数为多少?

备用题:(01年全国高考)从社会效益和经济 效益出发,某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 1 800万元,以后每年投入将比上年减少 5 ,本年 度当地旅游收入估计为400万元,由于该项建 设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收 1 入每年会比上年增加 4 (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an 万元,旅游业收入为bn 万元,写出an 、bn 的表 达式。 (2)至少经过多少年旅游业总收入才能超过 总投入?

三、课堂小结 1.等比数列的定义、通项、中项、求和; 2.方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想; 3.适当注意等比数列性质的应用,以减少运算量 而提高解题速度。

四、课后作业


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