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高考数学第一轮复习精品试题:复数(含全部习题答案)


高考数学第一轮复习精品试题:复数

选修 1-2 §3.1 复数的概念

第 3 章 数系的扩充与复数的引入

重难点:理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何 意义. 考纲要求:①理解复数的基本概念. ②理解复数相等的充要条件. ③了解复数的代数表示法及其几何意义. 经典例题: 若复数 z ? 1 ? i , 求实数 a , b 使 az ? 2bz ? (a ? 2 z) 。 (其中 z 为 z 的共轭复数) .
2

当堂练习: 1. a ? 0 是复数 a ? bi A.充分条件 2设

(a, b ? R) 为纯虚数的(
B.必要条件 C.充要条件

) D.非充分非必要条件 )

z1 ? 3 ? 4i , z2 ? ?2 ? 3i ,则 z1 ? z2 在复平面内对应的点位于(
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

1 ? 3i
2 3. ( 3 ? i )

?
( )

1 3 1 3 ? i ? ? i 4 B. 4 4 A. 4
4.复数 z 满足 A.2+i

1 3 1 3 ? i ? ? i 2 D. 2 2 C. 2
) D.1-2i

?1? 2i ? Z ? 4 ? 3i ,那么 Z =(
B.2-i

C.1+2i

2 ? bi 5.如果复数 1 ? 2i 的实部与虚部互为相反数,那么实数 b 等于( )
A. 2 2 2 B. C.2 D.- 3 3
n ?n

6.集合{Z︱Z= i ? i A{0,2,-2}

,n?Z } ,用列举法表示该集合,这个集合是(
B.{0,2}



C.{0,2,-2,2 i }
? ?

D.{0,2,-2,2 i ,-2 i }
?

OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i , ?3 ? 2i ,那么向量 BA 对应 7.设 O 是原点,向量
的复数是( )

A. ?5 ? 5i
8、复数 A.一 9.复数

B . ? 5? 5 i

C.

5? 5 i

D . 5 ? 5i
)象限。

z1 ? 3 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 z
B.二 C.三

? z1 ? z2 在复平面内的点位于第(
D .四

(a2 ? a ? 2) ? ( a ?1 ?1)i
B. a ? 2 C.
4

(a ? R)

不是纯虚数,则有(



A. a ? 0

a? 0 且a ? 2

D . a ? ?1

10.设 i 为虚数单位,则 (1 ? i) 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.4i D.-4i ;|z|= .

11.设 z ? C, 且(1 ? i) z ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z=

2 12.复数 1 ? i 的实部为

,虚部为



13.已知复数 z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 14.设

Z1 ? 1 ? i , Z 2 ? ?1 ? i ,复数 Z1 和 Z 2 在复平面内对应点分别为 A、B,O 为原点,则


?AOB 的面积为

15. 已知复数 z=(2+ i )

m2 ?

6m 1 ? i ? 2(1 ? i ).当实数 m 取什么值时,复数 z 是:

(1)零; (2)虚数; (3)纯虚数; (4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。

16、计算[(1 ? 2i ) ? i

100

?(

1? i 1? i

) ] ?(
5 2

1? i 2

)

20

m m 17. 设 z ? 4 ? 1 ? (2 ? 1)i, m ?R,若 z 对应的点在直线 x ? 3 y ? 0 上。求 m 的值。

?(2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i, ? x , y 的方程组 ?(2 x ? ay) ? (4 x ? y ? b)i ? 9 ? 8i 有实数,求 a ,b 的值。 18. 已知关于

选修 1-2

第 3 章 数系的扩充与复数的引入

§3.2-3 复数的四则运算及几何意义 重难点:会进行复数代数形式的四则运算;了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 考纲要求:①会进行复数代数形式的四则运算. ②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 经典例题:已知关于 x 的方程 x ? (k ? 2i) x ? 2 ? ki ? 0 有实根,求这个实根以及实数 k 的
2

值.

当堂练习: 1、对于
z ? ( 1?i )100 ? ( 1?i ) 200
2 2

,下列结论成立的是 C z 是正实数

(

)

A z 是零

B z 是纯虚数

D z 是负实数 ( )

2、已知 (3 ? 3i) ? z ? (?2 3i) ,那么复数 z 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

2 2 ( ) 3、设非零复数 x,y 满足 x ? xy ? y ? 0 ,则代数式 x ? y

x

1990

y 1990 ? ( x? ) y

的值是

( )

A2

?1989

B -1

C 1

D 0 ( )

4、若 | z ? 3 ? 4i |? 2 ,则|z|的最大值是 A3 B7 C9 D5

5、复数 z 在复平面内对应的点为 A,将点 A 绕坐标原点按逆时针方向旋转

? 2

,再向左平移

一个单位,向下平移一个单位,得到点 B,此时点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称,则复 数z为 ( A -1 ) B 1 C ( B. ? 2 ? i i ) C. 2 ? i D . 2 ? i ( ) D.i D-i

(1 ? i )(1 ? 2i ) ? 1? i 6、

A. ? 2 ? i

7、复数 z=i+i2+i3+i4 的值是 A.-1 B.0 C.1

8.设复平面内,向量 OA 的复数是 1+i,将向量 OA 向右平移一个单位后得到向量 O?A ,则向 量 O?A 与点 A′对应的复数分别是 c A.1+i 与 1+i C.1+i 与 2+i B.2+i 与 2+i D.2+i 与 1+i

9.若复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,则|z+i+1|的最小值是 a A.1 B. 2 C.2 D. 5

? 10.若集合 A={z||z-1|≤1,z∈C} ,B={z|argz≥ 6 ,z∈C} ,则集合 A∩B 在复平面内
所表示的图形的面积是 b

?
A. 6

?

3 4

5? 3 ? 4 B. 6

?
C. 3

?

3 4
3 2

5? 1 ? 4 D. 6
i)

5 4 3 2 f (1 ? 11.已知 f ( x) ? ? x ? 5x ? 10x ? 10x ? 5x ? 1 .求 2

的值

. .

12.已知复数

z0 ? 3 ? 2i, 复数z满足z ? z0 ? 3z ? z0 , 则复数z ?

13.复平面内点 A 对应的复数为 2+i,点 B 对应的复数为 3+3i,向量 AB 绕点 A 逆时针旋转

90°到 AC ,则点 C 对应的复数为_________.

? ?
14.设复数 z=cosθ+(2-sin2θ)i.当θ∈(- 2 2 )时,复数 z 在复平面内对应点的轨迹方程是 _________.

,

15. 已知

z?

a ?i 1?i

(a ? 0)

,且复数

? ? z( z ? i )

3 2 的虚部减去它的实部所得的差等于 ,

求复数 ? 的模.

16. 已知复数

z?

( ?1?3i )(1?i )?(1?3i ) ,? i

? z ? ai



|? |? 2 , z

求 a 的取值范围, ( a ? R )

17. 在复数范围内解方程

z ? ( z ? z )i ?

2

3?i 2 ? i (i 为虚数单位)

1 18. 复平面内点 A 对应的复数是 1,过点 A 作虚轴的平行线 l,设 l 上的点对应的复数为 z,求 z
所对应的点的轨迹.

选修 1-2

第 3 章 数系的扩充与复数的引入

§3.4 数系的扩充与复数的引入单元测试

?1? i ? ? ? 1、复数 ? 1 ? i ? 的值等于( )
2 (A) 2
(B) 2
2

9

(C) i

(D) ? i
2

2、已知集合 M={1, (m ? 3m ? 1) ? (m ? 5m ? 6)i } ,N={1,3} ,M∩N={1,3} ,则 实数 m 的值为( (A) 4 ) (B)-1 (C)4 或-1 (D)1 或 6

3、设复数 Z ? ?1, 则

Z ?1

Z ?1 是 Z ? 1 是纯虚数的( )
(B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

Z ? Z1 ? Z ? Z 2 4、复数 Z 与点 Z 对应, Z1 , Z 2 为两个给定的复数, Z1 ? Z 2 ,则 决定的
Z 的轨迹是( ) (B)线段 Z 1 Z 2 的中垂线 (D)以 Z 1 , Z 2 为端点的圆

(A)过 Z1 , Z 2 的直线 (C)双曲线的一支 5、设复数 z 满足条件 (A)3 (B)4

z ? 1,

那么

z?2 2 ?i

的最大值是(



(C) 1 ? 2 2

(D) 2 3

6、复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为 1 ? 2i,?2 ? i,?1 ? 2i, 那么第四 个顶点对应的复数是( (A) 1 ? 2i
n

) (C) 2 ? i (D) ? 1 ? 2i )

(B) 2 ? i
?n

7、集合{Z︱Z= i ? i

,n?Z } ,用列举法表示该集合,这个集合是(

A{0,2,-2} (B) {0,2} (C) {0,2,-2,2 i } (D) {0,2,-2,2 i ,-2 i }

Z ? Z 2 ? 2 2 , Z1 ? 8、 Z1 , Z 2 ? C, 1
(A) 2

3, Z 2 ? 2 ,



Z1 ? Z 2 ?

(

)

1 (B) 2

(C)2

(D)2 2

9、 对于两个复数

? ?? ?

1 2

? 3 1 3 ?1 i ? ?? ? i ?? ? 1 ? 2 , 2 2 , 有下列四个结论: ① ; ② ;

? ?1 3 3 ? ③ ;④ ? ? ? ? 1,其中正确的结论的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 )

10、1, a ? bi , b ? ai 是某等比数列的连续三项,则 a , b 的值分别为(

(A)

a??

3 1 ,b ? ? 2 2 3 1 ,b ? 2 2

1 3 a ? ? ,b ? 2 2 (B) 1 3 a ? ? ,b ? ? 2 2 (D)

(C)

a??

1 3 10 1 ? i 6 (? ? i) ? ( ) 2 2 = 11、计算: 2
12、已知复数 z1=3+4i, z2=t+i,,且 z1〃 z 2 是实数,则实数 t 等于 13、如果复数 z 满足

z ?1? i ? 2

,则

z ?2?i

的最大值是

y 14、已知虚数 ( x ? 2) ? yi ( x, y ? R )的模为 3 ,则 x 的最大值是
最小值为 .
2 2

y ?1 , x ?1 的

15、设复数 Z ? lg(m ? 2m ? 2) ? (m ? 3m ? 2)i ,试求 m 取何值时

(1)Z 是实数;

(2)Z 是纯虚数;

(3)Z 对应的点位于复平面的第一象限

16、在复数范围内解方程

z ? ( z ? z )i ?

2

3?i 2 ? i (i 为虚数单位)

17、设 z ? C , 满足下列条件的复数 z 所对应的点 z 的集合表示什么图形

log 1
2

z ?1 ? 4 z ?1 ? 2

? ?1.

18、已知复数 Z1 , Z 2 满足 10Z1 ? 5Z 2 ? 2Z1 Z 2 ,且 Z1 ? 2Z 2 为纯虚数,求证:3Z1 ? Z 2
2 2

为实数

2 2 2 Z ? Z2 19、已知 Z1 ? x ? i x ? 1 , Z 2 ? ( x ? a)i 对于任意实数 x,都有 1 恒成立,试

求实数 a 的取值范围

20、设关于 x 的方程 x ? (tan? ? i) x ? (2 ? i) ? 0 ,若方程有实数根,求锐角 ? 和实数根
2

参考答案 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 §3.1 复数的概念 经典例题: 解析:由 z ? 1 ? i ,可知 z ? 1 ? i ,代入 az ? 2bz ? (a ? 2 z) 得:
2

a(1 ? i) ? 2b(1 ? i) ? ? a ? 2(1 ? i ) ? ,即 a ? 2b ? (a ? 2b)i ? ? a ? 2 ? ?4 ? 4(a ? 2)i
2 2

2 ? ?a ? 2b ? ? a ? 2 ? ? 4 ?a ? ?4 ?a ? ?2 ? ? ? b ? 2 或 ?b ? ?1 。 ?a ? 2b ? 4(a ? 2) 则? ,解得 ?

当堂练习: 1.B; 2.D; 3.B; 4.B; 5.D; 6.A; 7. B; 8.D; 9.C; 10.B; 11. ?1 ? i , 2 ; 12. 1, ?1 ;13. ? 2i ; 14. 1;

15、解:由于m ? R, 复数z可以表示为 z ? (2 ? i )m 2 ? 3m(1 ? i ) ? 2(1 ? i ) ? (2m 2 ? 3m ? 2) ? (m 2 ? 3m ? 2)i.
2 ? ?2m ? 3m ? 2 ? 0, (1)当? 2 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0,

即m ? 2时,z为零. (2)当m 2 ? 3m ? 2 ? 0, 即m ? 2且m ? 1时, z为虚数.
2 ? ?2m ? 3m ? 2 ? 0, (3)当? 2 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0, 1 即m ? ? 时, z为纯虚数. 2 2 (4)当2m ? 3m ? 2 ? ?(m 2 ? 3m ? 2),

即m ? 0或m ? 2时, z是为复平面内第二、 四象限角平分线上的点 对应的复数 .

1 ? i 5 2 1 ? i 20 [(1 ? 2i) ? i 100 ? ( ) ] ?( ) 1 ? i 2 16.解:
? ?1 ? i ? ? i10 ? 1 ? 2i
2

? [ ( 1? i2 ) ? 1 ? i? (5 2) ]? i1 0

17、解:因为复数z ? 4 m ? 1 ? (2m ? 1) i,

m ? R对应的点为(4 m ? 1,2m ?1 ),在直线 x ? 3y ? 0上,得4 m ? 1 ? 3(2m ? 1) ? 0,
即4 m ? 3 ? 2m ? 4 ? 0, 也就是(2m ? 4)(2m ? 1) ? 0, 解得m ? 2

i, ?(2x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y ) 18、解: ? i ? 9 ? 8i ?(2x ? ay ) ? (4x ? y ? b )

?2x ? 1 ? y , 由第一个等式得 ? ?1 ? ?(3 ? y ),
5 ? ?x ? , 解得? 2 ? ? y ? 4.

将上述结果代入第二个等式中得

5 ? 4a ? (10 ? 4 ? b)i ? 9 ? 8i. ?5 ? 4a ? 9, 由两复数相等得 ? ?10 ? 4 ? b ? 8, ?a ? 1, 解得? ?b ? 2.
§3.2-3 复数的四则运算及几何意义 经典例题:分析:本题考查两个复数相等的充要条件.方程的根必适合方程,设 x=m 为方程的

实根,代入、整理后得 a+bi 的形式,再由复数相等的充要条件得关于 k、m 的方程组,求 解便可. 解:设 x=m 是方程的实根,代入方程得 m2+(k+2i)m+2+ki=0,即(m2+km+2)+(2m+k)i=0.

?m 2 ? km ? 2 ? 0, ? 2m ? k ? 0. 由复数相等的充要条件得 ?
? ? ?m ? 2 , ?m ? ? 2 , ? ? ? k ? ?2 2 ? k ? 2 2. ? 解得 或?
∴方程的实根为 x= 2 或 x=- 2 ,相应 k 的值为-2 2 或 2 2 .

当堂练习: 1.C; 2.A; 3.B; 4.B; 5.B; 6.C; 7. B; 8.C; 9.A; 10.B; 11. z = i –1; 12. 1;13. 2i; 14. x2=y-1,x∈ (0,1 ] ; 15.解;
?i a ?i ? i a ?1 ? ? z ( z ? i) ? a ( ? i) ? a ? 1?i 1? i 1? i 1? i )( a ? i ) ai ?1) ? ( a ?1 ? ( a ?1)( ? ? 2i 2 a ?1 2

?

a ?a 2

i

? a ? 0,? a ? 2, ? ? 3 2 ? 3i,
2 ?| ? |? 即 a ?1 ? 3

? a 2? a ?
2

a ?1 2

?

3 2

3 2

5

z?

16.提示:

?| z

( ?1? 3i )(1?i ) ?(1? 3i ) i ? 1? i ? 1? i i | |? 2 , | ? |? |? ? 2 ?| ? |? z |z |

2

因 ? ? z ? ai ? (1 ? i ) ? ai ? 1 ? (a ? 1)i, ( a ? R )

? 12 ? (a ? 1) 2 ? 2 ? (a ? 1) 2 ? 3 ? ? 3 ? a ? 1 ? 3,1 ? 3 ? a ? 1 ? 3

故 a 的取值范围是 [1 ? 3,1 ? 3 ] , 设 z=x+yi(x、 y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,

17.原方程化简为

z ? ( z ? z )i ? 1 ? i

2

1 3 ∴x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=- 2 且 y=± 2 ,

1 3 ∴原方程的解是 z=- 2 ± 2 i.

18. 解:如下图.因为点 A 对应的复数为 1,直线 l 过点 A 且平行于虚轴,所以可设直线 l 上的点 对应的复数为 z=1+bi(b∈R).

y

l

O

x A ( 1 , 0 )

1 1 1 ? 1? bi ? 1 ? b i 1 b ? ? 2 2 2 2 2 1 ? b 1 ? b 1 ? b 因此 z 1 ? bi .设 z =x+yi(x、y∈R),于是 x+yi= 1 ? b 1 ? b i.根
1 ? x? , ? ? 1 ? b2 ? ?y ? ? b . ? 1 ? b 2 消去 b, 据复数相等的条件,有 ?
1 b 2 1 b2 1 ? b2 1 ? ( ? ) ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 ? b ) 1 ? b (1 ? b ) = (1 ? b ) 1 ? b 2 =x. 所 以 x2+y2= = (1 ? b )



1 1 1 1 1 2 4 z 2 x2+y2=x(x≠0),即(x- )2+y2= (x≠0).所以 所对应的点的集合是以( ,0)为圆心, 2 为半径
的圆,但不包括原点 O(0,0).

§3.4 数系的扩充与复数的引入单元测试

?
1.D; 2.B; 3.C; 4.B; 5.B; 6.C; 7. A; 8.A; 9.B; 10.C; 11.

3 1 3?2 ? i 2 2 ; 12. 4 ;13.

13 ? 2 ;

14.

3,

3 ? 21 6 ;

15、解:
2 ? ?m ? 2 m ? 2 ? 0 (1)? 2 解得m ? ?2或- 1。即m ? ?2或- 1时,Z是实数 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0 2 ? ?m ? 2m ? 2=1 (2)? 2 解得m ? 3。即m ? 3时,Z是纯虚数 ? m ? 3 m ? 2 ? 0 ? 2 ? ?m ? 2m ? 2 ? 1 (3)? 2 解得m ? 3或m ? -2。即m ?? 3或m ? -2时, ? m ? 3 m ? 2 ? 0 ?

Z 对应的点位于复平面的第一象限

16、

解:设Z=x ? yi, 代入方程得x 2 ? y 2 ? ( x ? yi ? x ? yi)i ? ? x 2 ? y 2 ? 2 xi ? 5 35 ?Z ? ? ? i 6 6
17、

(3 ? i )(2 ? i ) (2 ? i )(2 ? i )

5 5 5 5 5 35 ? i ? x 2 ? y 2 ? ,2 x ? ? , 解得:x ? ? , y ? ? 3 3 3 3 6 6

解:由log 1
2

z ?1 ? 4 z ?1 ? 2

? ?1可得

| Z ? 1 | ?4 | Z ? 1 | ?8 ? 2, 化简得: ?0 | Z ? 1 | ?2 | Z ? 1 | ?2

?| Z ? 1 | ?8 ? 0 ?| Z ? 1 | ?8 ? 0 可得: 或? ? ?| Z ? 1 | ?2 ? 0 ?| Z ? 1 | ?2 ? 0 所以 | Z ? 1 |? 2或 | Z ? 1 |? 8 所以Z表示以点( 1, 0)为圆心, 2为半径的圆的内部或以 ( 1, 0)为圆心 以8为半径的圆的外部。
18、
2 解:由题意可设 Z1 ? 2Z 2 ? Ki ( K为实数)则Z1 ? Ki ? 2Z 2 , 代入10Z12 ? 5Z 2 ? 2Z1 Z 2 2 2 得: 10 (Ki ? 2Z 2 ) 2 ? 5 z 2 ? 2( Ki ? 2Z 2 ) Z 2 , 化简可得: 49Z 2 ? 42KiZ 2 ? 10K 2 i 2

解得:Z 2 ?

42Ki ? 14K 14Ki ? 28K , Z1 ? ? 3Z1 ? Z 2 ? ? K ? 3Z1 ? Z 2为实数。 98 98
4 2 4 2 2 2

| Z 1 |? x 4 ? x 2 ? 1, | Z 2 |? x 4 ? a 2 , | Z 1 |?| Z 2 |?| Z 1 | 2 ?| Z 2 | 2
19、解: ? x ? x ? 1 ? x ? a ? x ? 1 ? a ? ?1 ? a ? 1

x ? x tan? ? 2 ? ( x ? 1)i ? 0 20、解: 原方程可化为
2

? x 2 ? x tan ? ? 2 ? 0 ? 解得 x ? ?1, ? ? k? ? ? 4 ?x ? 1 ? 0


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