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北京市第八十中学2010-2011学年度第一学期期中考试高一数学(必修一)A卷


北京市第八十中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试 高一数学(必修一)A 卷
考试时间:100 分钟 试卷满分:100 分 班级: 姓名: 成绩: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 A = { x | x( x ? 1) = 0} ,那么
A. 0 ∈ A B. 1 ? A C. ?1 ∈ A 2. 下列函数中,与函数 y = x( x ≥ 0) 有相同图象的一个是
A. y = x 2 B. y = D. 0 ? A D. y =

( x)

2

C. y = 3 x 3
x

x2 x

?1? 3. 在同一坐标系中,函数 y = 2 与 y = ? ? 的图象之间的关系是 ?2?
x

A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 4. 下列函数中,在区间 (0 ,+ ∞) 上是减函数的是 A. y = x 2 ? 1 B. y = x3 C. y = ?3x + 2
e x ? e? x e x + e? x

D.关于直线 y = x 对称 D. y = log 2 x

5. 下列函数为偶函数的是 A. f ( x ) = x2 + 1 x

B. f ( x) = ln

1+ x 1? x

C. f ( x ) =

D. f ( x) =| x |

6. 已知函数 f ( x + 1) = log 2 (2 x + 1) ,那么 f ( x) 的定义域是

1? ? A. ? x | x > ? ? 2? ?

1? ? B. ? x | x > ? 2? ?

2? ? C. ? x | x > ? ? 3? ?

D. { x | x > 0}

7. 若 P = log 2 3 ? log 3 4 , Q = lg 2 + lg 5 , M = e0 , N = ln1 ,则正确的是 A. P = Q B. Q = M
? 1

C. M = N

D. N = P

? 10 ? 2 8. P = log 2 3 , Q = log 4 5 , R = ? ? 的大小关系是 ?9? B. Q > P > R C. R > Q > P D. P > R > Q A. P > Q > R 9. 将一次函数 y = kx + b 的图象向左平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,所得的图象对应 的解析式仍然是 y = kx + b ,则 k 的值为 A. 3 2 B. 2 3 C. ? 2 3 D. ? 3 2

10.已知实数 x , y 满足 x 2 + y 2 + 4 y = 0 ,则 s = x 2 + 2 y 2 ? 4 y 的最小值为 A.48 B.20 C .0 D. ?16

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,将答案填在题中的横线上. 11.若全集 U = R ,集合 A = { x | x > 1} , B = { x | x > 2} ,则集合 A I ( ?U B ) = ___________.
12.若幂函数 f ( x) 的图象经过点 (2 ,4) ,则 f ( x) 的解析式是_____________.

13.若函数 f ( x) = x 2 ? 2ax + 1 在区间 [1,+ ∞ ) 上单调递增,则 a 的取值范围是_____________. 14.已知 f ( x) 是定义在 [ ?2 ,0 ) U ( 0 ,2] 上的奇函数,当 x > 0 时, f ( x) 的图象如

右图所示,那么 f ( x) 的值域是_________________.
?2 x , x < 1 15.函数 f ( x) = ? ,若方程 f ( x) = a 有两个不相等的实数解,则 a 的取 ?2 x ? 1 ,x ≥ 1 值范围是________. 16.若 x1 ,x2 ∈ R ,x1 ≠ x2 ,则下列性质对函数 f ( x) = 2 x 成立的是_____________.
(把满足条件的序号全部写在横线上) ① f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③ [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? ( x1 ? x2 ) > 0 ② f ( x1 ? x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 )

? x + x2 ? ④ f ( x1 ) + f ( x2 ) > 2 f ? 1 ? ? 2 ?

三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (本小题满分 8 分) 17.
已知非空集合 A = { x | x 2 ? ax + b = 0} , B = { x | x 2 ? 8 x + 15 = 0} ,且 A ? B . ⑴ 写出集合 B 所有的子集; ⑵ 求 a + b 的值.

18. (本小题满分 8 分)
1 . x ⑴ 求 f ( x) 的定义域;
已知函数 f ( x) = x ? ⑵ 用单调性定义证明函数 f ( x) = x ?

1 在 (0 ,+ ∞ ) 上单调递增. x

19. (本小题满分 10 分)
已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x > 0 时, f ( x) = x 2 ? x . ⑴ 计算 f (0) , f (?1) ; ⑵ 当 x < 0 时,求 f ( x) 的解析式.

20. (本小题满分 10 分)
已知函数 f ( x) = log 2 (4 x + 1) ? ax .

⑴ 若函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,求实数 a 的值; ⑵ 若 a = 4 ,求函数 f ( x) 的零点.

高一数学期中考试 A 卷答案
一、选择题 1.A 2.B 二、填空题
11. { x |1 < x ≤ 2}

3.A

4.C

5.D

6.B

7.B

8.A

9.D

10.C

12. f ( x) = x 2 15. 1 ≤ a < 2

13. a ≤ 1 16.①③④

14. [ ?3 ,? 2 ) U ( 2 ,3]

三、解答题
17.解: B = {3 ,5} B 的所有子集为: φ , {3} , {5} , {3 ,5}
因为 A 是非空集合, 所以

?3 + 3 = a 当 A = {3} 时, ? ?3 × 3 = b ?5 + 5 = a 当 A = {5} 时, ? ?5 × 5 = b

?a = 6 故? , a + b = 15 ?b = 9 ? a = 10 故? , a + b = 35 ?b = 25 ?a = 8 故? , a + b = 23 ?b = 15

?3 + 5 = a 当 A = {3 ,5} 时, ? ?3 × 5 = b

综上所述, a + b 的值为 15 或 35 或 23.

18.解:⑴ f ( x) 的定义域为 { x | x ≠ 0}
⑵在 (0 ,+ ∞ ) 内任取 x1 , x2 ,令 x1 < x2 ,

? 1? ? 1? f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ? ? ? 1 ? = ( x1 ? x2 ) ?1 + ? x1 x2 ? ?

∵ x1 < x2 ,∴ x1 ? x2 > 0

∵ x1 , x2 ∈ (0 ,+ ∞) ,∴ x1 x2 > 0
∴1 +

1 >0 x1 x2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ∴ f ( x) = x1 ?

1 在 (0 ,+ ∞ ) 上单调递增. x1

19.解:∵ f ( x) 是 R 上的奇函数 ∴ f (?0) = ? f (0) ,∴ f (0) = 0

f (?1) = ? f (1) = ?(12 ? 1) = 0
当 x < 0 时, ? x > 0
f ( ? x ) = ( ? x) 2 ? ( ? x) = x 2 + x

又∵ f (? x) = f ( x) ∴ f ( x) = ? x 2 ? x ∴当 x < 0 时, f ( x) = ? x 2 ? x
20.解:∵ f ( x) 是 R 上的偶函数 ∴ f (? x) = f ( x) 即 f (? x) ? f ( x) = 0

∴ [log 2 (4? x + 1) ? a( ? x)] ? [log 2 (44 + 1) ? ax] = 0
4? x + 1 + 2ax = 0 4x + 1 1 log 2 x + 2ax = 0 4 ?2 x + 2ax = 0 log 2
即a =1 若 a = 4 , f ( x) = log 2 (4 x + 1) ? 4 x 令 f ( x) = 0 ,
log 2 (4 x + 1) = 4 x
4 x + 1 = 24 x

(4 x ) 2 ? 4 x ? 1 = 0 4x = 1+ 5 1+ 5 或 (舍) 2 2 1+ 5 2

∴ x = log 4


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