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解三角形 第 1 章 解三角形 §1.1 正弦定理、余弦定理 重难点:理解正、余弦定理的证明,并能解决一些简单的三角形度量问题. 考纲要求:①掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 经典例题:半径为 R 的圆外接于△ABC,且 2R(sin A-sin C

)=( 3 a-b)sinB. (1)求角 C; (2)求△ABC 面积的最大值.
2 2

必修 5

当堂练习:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1.在△ABC 中,已知 a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( ) (A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或 15° 2 在△ABC 中,若 a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3.在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b-c)=3ab, 则∠C=( ) (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) (A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5.在△ABC 中,∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( (A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6.在平行四边形 ABCD 中,AC= 3 BD, 那么锐角 A 的最大值为 (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC 中,若 ( ) )

a A cos 2

=

b B cos 2

=

c C cos 2

,则△ABC 的形状是

(

)

(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9.在△ABC 中,若 a=50,b=25 6 , A=45°则 B= . 10.若平行四边形两条邻边的长度分别是 4 6 cm 和 4 3 cm,它们的夹角是 45°,则这个平行四边形的 两条对角线的长度分别为 . 11.在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的周长是 。 12.在△ABC 中,若∠B=30°, AB=2 3 , AC=2, 则△ABC 的面积是 . 2 13.在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足 2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积。

cosA b 4 14.在△ABC 中,已知边 c=10, 又知 = = ,求 a、b 及△ABC 的内切圆的半径。 cosB a 3

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15.已知在四边形 ABCD 中,BC=a,DC=2a,四个角 A、B、C、D 度数的比为 3∶7∶4∶10,求 AB 的长。

7 16.在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,边 c= ,且 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 , 2 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,求 a+b 的值。 2

第 1 章 解三角形 §1.2 正弦定理、余弦定理及其应用 考纲要求:①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 1. 有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长 ( ) A. 1 公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 2 2 2. 已知三角形的三边长分别为 x +x+1,x -1 和 2x+1(x>1),则最大角为 ( ) B. 120° C. 60° D. 75° 3.在△ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.在△ABC 中,一定成立的等式是 A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA
2 2

必修 5





(

)

5.在△ABC 中,A 为锐角,lgb+lg(

1 )=lgsinA=-lg 2 , 则△ABC 为 c





A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6.在△ABC 中, a ? 4 sin 10?, b ? 2 sin 50?, ?C ? 70? ,则△ABC 的面积为





1 1 B. 8 4 sin A cos B cos C ? ? 7.若 则△ABC 为 a b c
A.

C.

1 2

D. 1 ( )

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.有一个内角为 30°的直角三角形 D.有一个内角为 30°的等腰三角形 8.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的 ( A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 9.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( ) A.b = 10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B = 100° C.a = 7,b = 5,A = 80° D.a = 14,b = 16,A = 45° 10.在三角形 ABC 中,已知 A ? 60 ,b=1,其面积为 3 ,则
?



a?b?c 为 sin A ? sin B ? sin c

(

)

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A. 3 3 B.

2 39 3

C.

26 3 3

D.

39 2

11.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车 与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离 d1 与第二辆车与第三辆车的距离 d 2 之间的关系为 ( ) A. d1 ? d 2 B. d1 ? d 2 C. d1 ? d 2 D. 不能确定大小 12.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°,则塔高为( )

400 米 3 C. 200 3 米
A.

B.

400 3 米 3 20 3 ,则 A ? 3
. . . .

D. 200 米 . .

13. 在△ABC 中,若 c ? 10 2 , C ? 60? , a ?
0 0

14. 在△ABC 中,B=135 ,C=15 ,a=5,则此三角形的最大边长为 15. 在锐角△ABC 中,已知 A ? 2 B ,则的

a 取值范围是 b

7 ,那么 BC= 2 17. 已知锐角三角形的三边长分别为 2、3、 x ,则 x 的取值范围是
16. 在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边的中线 AD ? 18. 在△ABC 中,已知 tan A ?

1 1 , tan B ? ,则其最长边与最短边的比为 2 3

19.为了测量上海东方明珠的高度,某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5 ,前进 38.5m 后,到达 B 处测得 塔尖的仰角为 80.0 .试计算东方明珠塔的高度(精确到 1m).

20.在 ?ABC 中,已知 (a ? b ) sin(A ? B) ? (a ? b ) sin(A ? B) ,判定 ?ABC 的形状.
2 2 2 2

21.在△ABC 中,最大角 A 为最小角 C 的 2 倍 ,且三边 a、b、c 为三个连续整数,求 a、b、c 的值.

22.在△ABC 中,若 9a 2 ? 9b2 ? 19c 2 ? 0 ,试求

tan A tan B 的值. (tan A ? tan B) tan C

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23. 如图,已知 O 的半径为 1,点 C 在直径 AB 的延长线上,BC= 1,点 P 是 O 上半圆上的一个动点,以 PC 为边作正三角形 PCD,且 点D 与圆心分别在 PC 两侧. (1)若 ?POB ? ? ,试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 ? 的函数; (2)求四边形 OPDC 面积的最大值.

参考答案 第 1 章 解三角形 §1.1 正弦定理、余弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C a c b 2 2 ? sin 2 A ? ( ) 2 , sin 2 C ? ( ) 2 , sin B ? ∵ 2R(sin A-sin C)=( 3 a-b)sinB 2R 2R 2R a 2 c 2 b 2 2 2 ∴ 2R[( ) -( ) ]=( 3 a-b)· ∴ a -c = 3 ab-b 2R 2R 2R
经典例题:解:(1)∵ ∴

a 2 ? b2 ? c 2 3 3 ∴ cosC= ,∴ C=30° ? 2ab 2 2
1 1 absinC= ·2RsinA·2RsinB·sinC=R2sinAsinB 2 2

(2)∵ S=

=-

R2 R2 [cos(A+B)-cos(A-B)]= [cos(A-B)+cosC] 2 2
当 cos(A-B)=1 时,S 有最大值



R2 3 [cos(A-B)+ ] 2 2

R2 3 2? 3 2 , (1 ? )? R . 2 2 4

当堂练习: 1.D; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.A; 9. 60°或 120°; 10. 4 15 cm 和 4 3 cm; 11.50; 12. 2 3 或 3 ; 13、解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)= 3 , 2
2

∵△ABC 为锐角三角形

∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 , 2 2 2 2 a·b=2, ∴c =a +b -2a·bcosC=(a+b) -3ab=12-6=6, ∴c= 6 , 1 1 3 3 S△ABC= absinC= ×2× = 2 2 2 2 .

cosA b sinB b cosA sinB 14.解:由 = , = ,可得 = ,变形为 sinAcosA=sinBcosB cosB a sinA a cosB sinA ∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π -2B, ∴A+B=

? . ∴△ABC 为直角三角形. 2

b 4 a+b-c 6+8-10 2 2 2 由 a +b =10 和 = ,解得 a=6, b=8, ∴内切圆的半径为 r= = =2 a 3 2 2

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15、 解:设四个角 A、B、C、D 的度数分别为 3x、7x、4x、10x,根据四边形的内角和有 3x+7x+4x+10x=360°. 解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150° 连结 BD,得两个三角形△BCD 和△ABD 在△BCD 中,由余弦定理得 1 2 2 2 2 2 2 BD =BC +DC -2BC·DC·cosC=a +4a -2a·2a· =3a , 2 ∴BD= 3 a.这时 DC =BD +BC ,可得△BCD 是以 DC 为斜边的直角三角形.∴∠CDB=30°, 于是∠ADB=120°
2 2 2

在△ABD 中,由正弦定理有 AB=

BD ? sin ?ADB 3a sin ?120? = = sin A sin 45?

3a ?

3 2 = 3 2a 2 2 2

∴AB 的长为

3 2a 2
tan A ? tan B =- 3 ,即 tan(A+B)=- 3 1 ? tan A ? tan B

16、解:由 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 可得

∴tan(π -C)= - 3 , ∴-tanC=- 3 , ∴tanC= 3 ∵C∈(0, π ), ∴C=

? 3

3 3 1 3 3 1 3 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,∴ absinC= 即 ab× = , ∴ab=6 2 2 2 2 2 2 ? 7 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又由余弦定理可得 c =a +b -2abcosC∴( ) = a +b -2abcos ∴( ) = a +b -ab=(a+b) -3ab 2 2 3
2 121 ∴(a+b) = , ∵a+b>0, 4

11 ∴a+b= 2

? ?? ? 36m 2 ? 32(2m ? 1) ? 0, ? 10 3 ? 又 (? 3 m) 2 ? 2 ? 2m ? 1 ? 1 ,解之 m=2 或 m= ? . ?sin ? ? cos? ? ? m, 9 4 8 4 ? 2m ? 1 ? sin ? ? cos? ? ? 0, ? 8 ?
而 2 和?

10 不满足上式. 故这样的 m 不存在. 9
§1.2 正弦定理、余弦定理及其应用

1.A; 2.B; 3.D; 4.C; 5.D; 6.C; 7.B; 8.B; 9.D; 10.B; 11.C; 12.A; 13. 45 19.468m 22. 14. 5 2 15.

?

2, 3

?

16.9

17. ( 5,

13)

18. 5 : 3

20.等腰三角形或直角三角形

21.a=6,b=5,c=4

5 5 5 3 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23. (1) sin ? ? 3 cos ? ? (2)2+ 9 4 4 ===================================================================== 适用版本:

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