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【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题选讲 第27讲 建构不等关系的应用性问题(含详解)


建构不等关系的应用性问题
题型预测 不等式应用题,多以函数面目出现,以最优化的形式展现,解答这一类问题,不仅需要 不等式的相关知识(不等式的性质、解不等式、均值不等式等) ,而且往往涉及函数、数列、 几何等多方面知识,综合性强,难度可大可小,是高考和各地模拟题的命题热点. 范例选讲 例 1. 某商场经过市场调查分析后得知, 2003 年从年初开始的前 n 个月内, 对某种商品 需 求 的 累 计 数

f (n) ( 万 件 ) 近 似 地 满 足 下 列 关 系 :

f ( n) ?

1 n(n ? 2)(18 ? n) , n ? 1 ,2 , 3 , ?, 12 90

(Ⅰ)问这一年内,哪几个月需求量超过 1.3 万件? (Ⅱ)若在全年销售中,将该产品都在每月初等量投放市场,为了保证该商品全年不脱 销,每月初至少要投放多少件商品?(精确到件) 讲解: (Ⅰ)首先,第 n 个月的月需求量= ? ∵ f ( n) ? ∴

? f ?1? , n ? 1 ? ? f ? n ? ? f ? n ? 1? , 2 ? n ? 12 ?

1 n(n ? 2)(18 ? n) , 90 17 f ?1? ? ? 1.3 . 30

当 n ? 2 时, f (n ? 1) ? ∴

1 (n ? 1)( n ? 1)(19 ? n) 90 1 f (n) ? f (n ? 1) ? (?3n 2 ? 35n ? 19) 90
2

令 f (n) ? f (n ? 1) ? 1.3 ,即 ? 3n ? 35n ? 19 ? 117 ,解得:

14 ? n ? 7, 3

∵ n∈N, ∴n = 5 ,6 即这一年的 5、6 两个月的需求量超过 1.3 万件. (Ⅱ)设每月初等量投放商品 a 万件,要使商品不脱销,对于第 n 个月来说,不仅有 本月投放市场的 a 万件商品, 还有前几个月未销售完的商品. 所以, 需且只需: ? f (n) ? 0 , na ∴ a ? f (n) ? (n ? 2)(18 ? n) n 90 又∵
(n ? 2)(18 ? n) 1 (n ? 2) ? (18 ? n) 2 10 ? [ ] ? 90 90 2 9

∴ a?

10 9

即每月初至少要投放 11112 件商品,才能保证全年不脱销. 点评:实际问题的解答要注意其实际意义.本题中 a 的最小值,不能用四舍五入的方法

1

得到,否则,不符合题意. 例 2.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三 种食物各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克) (Ⅰ)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (Ⅱ)确定 x,y,z 的值,使成本最低. 讲解: (Ⅰ)由题, c ? 11x ? 9 y ? 4 z ,又 x ? y ? z ? 100 ,所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y . 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

(Ⅱ)由 ?

?600 x ? 700 y ? 400 z ? 56000 ?4 x ? 6 y ? 320 , , 及z ? 100 ? x ? y 得, ? ?800 x ? 400 y ? 500 z ? 63000 ?3x ? y ? 130

所以, 7 x ? 5 y ? 450. 所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y ? 400 ? 450 ? 850,

当且仅当 ?

?4 x ? 6 y ? 320 ? x ? 50 时等号成立. , 即? ?3x ? y ? 130 ? y ? 20

所以,当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低,为 850 元. 点评:本题为线性规划问题,用解析几何的观 点看,问题的解实际上是由四条直线所围成的区域

y 3x-y=130

?x ? 0 ?y ? 0 ? 上 使 得 c ? 400 ? 7x ? 5y 最 大 的 ? ?4 x ? 6 y ? 320 ?3x ? y ? 130 ?
点.不难发现,应在点 M(50,20)处取得. 例 3.一根水平放置的长方体形枕木的安全负 荷与它的宽度 a 成正比,与它的厚度 d 的平方成正 比,与它的长度 l 的平方成反比. (Ⅰ)将此枕木翻转 90°(即宽度变为了厚度) ,枕木 的安全负荷变大吗?为什么? (Ⅱ)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为 R)的木 材,用它来截取成长方体形的枕木,木材长度即为枕木规定 的长度,问如何截取,可使安全负荷最大?

M 4x+6y=320 x

l

d a

2

讲解: (Ⅰ)由题可设安全负荷 y1 ? k ?

ad 2 ,则翻转 90? 后,安全负荷 (k 为正常数) l2

y2 ? k ?

da 2 . l2

因为

y1 d ? ,所以,当 0 ? d ? a 时, y1 ? y2 .安全负荷变大; y2 a

当 0 ? a ? d 时, y1 ? y2 ,安全负荷变小. (2)如图,设截取的枕木宽为 a,高为 d,则 ?
2

?a? 2 2 2 2 2 ? ? d ? R ,即 a ? 4d ? 4R . ? 2?

2

∵ 枕木长度不变,∴u=ad 最大时,安全负荷最大 ∴ u?d
2

a 2 ? d 2 4R2 ? 4d 2 ? 2 d 4 ? R 2 ? d 2 ?
3

? d2 d2 ? + + ? R2 ? d 2 ? ? 2 2 ? d d 2 ?4 ? ? ? R2 ? d 2 ? ? 4 ? 2 ? 2 2 3 ? ? ? ? ? ? 4 3R 3 ? 9
当且仅当 负荷最大.

d2 6 , 2 3 时,u 最大, 即安全 ? R 2 ? d 2 ,即取 d ? R a ? 2 R2 ? d 2 ? R 2 3 3

例 4.现有流量均为 300 m / s 的两条河流 A、B 会合于某处后,不断混合,它们的含沙 量分别为 2 kg / m 和 0.2 kg / m .假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水流 在流经相邻两个观测点的过程中,其混合效果相当于两股水流在 1 秒钟内交换 100 m 的水 量,即从 A 股流入 B 股 100 m 水,经混合后,又从 B 股流入 A 股 100 m 水并混合.问:从 第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于 0.01 kg / m (不考虑泥沙沉淀)? 讲解:本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于 0.01 kg / m ” .但直接建构这 样的不等关系较为困难. 为表达方便, 我们分别用 an , bn 来表示河水在流经第 n 个观测点时, A 水流和 B 水流的含沙量. 则 a1 =2 kg / m , b1 =0.2 kg / m ,且
3 3 3 3
3 3 3

2

3

3

3

bn?1 ?

100an ? 300bn 1 100bn?1 ? 200an 1 3 2 (*) ? an ? bn , an?1 ? = bn?1 ? an . 4 3 ?100 ? 300? 4 ?100 ? 200? 3

由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差,所以,我们不妨直接考虑数列

?an ? bn ? .
由(*)可得:

2 ? 2 2? 3 ?? 1 ?1 ?1 an?1 ? bn?1 ? ? bn?1 ? an ? ? bn?1 ? ? an ? bn?1 ? ? ?an ? ? an ? bn ?? ? ? an ? bn ? 3 ? 3 3? 4 ?? 2 ?3 ?4
所以,数列 ?an ? bn ? 是以 a1 ? b1 ? 1.8 为首项,以 所以, an ? bn ? 1.8 ? ? ?

1 为公比的等比数列. 2

?1? ? 2?

n ?1


n?1

?1? 由题,令 an ? bn < 0.01,得 ? ? ? 2?
7 8

?

lg180 1 .所以, n ? 1 ? ? log 2 180 . lg 2 180

由 2 ? 180 ? 2 得 7 ? log2 180 ? 8 ,所以, n ? 8 . 即从第 9 个观测点开始,两股水流的含沙量之差小于 0.01 kg / m3 . 点评:本题为数列、不等式型综合应用问题,难点在于对题意的理解.

4


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