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高二文科数学(B卷)试卷


广丰一中 2012-2013 学年度上学期第一阶段考试
高二文科数学试题卷(B 卷)
内容:必修 3, 选修 1-2
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

人,经计算的 ? =20.87,根据这一数据分析,认为打鼾与患心脏病之间( ) A.有 95%的把握认为两者有关 B.约有 95%的打鼾者患心脏病 C.有 99%的把握认为两者有关 D.约有 99%的打鼾者患心脏病 6. 按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x ? 3 ,则输出的 x 的值是( )
2

输入 x

计算 x ?

x ( x ? 1) 2

的值

x ? 100 ?



输出结果 x

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?



?

n

xi yi ? n x y ,a ? y ? bx x ? nx
2 i
2

A. 6 B. 21 7. 用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

C. 156

D. 231

i ?1 n

?

2

? ① ② ③

i ?1

样本数据 x1,x2,?,xn 的标准差 s ?

1 n

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2

,其中 x 是平均值

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 复数
5 i?2

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( A. 6 n ? 2 B. 8 n ? 2 C. 6 n ? 2

) D. 8 n ? 2
80 81

8. 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为 ) 的命中率是( A.
1 3

,则此射手

的共轭复数是 (

) B.
2 3

A.i +2 B.i -2 C.-i -2 D.2 - i 2. 商家要生产一种产品,需要先进行市场调研,计划对北京、上海、广州三地市场进 行市场调研,待调研结束后决定生产的产品数量,有如下两种方案: 方案 1: 方案 2:

C.

1 4

D.

2 5

在当前市场竞争激烈的情况下应选 ( ) A.方案 1 B.方案 2 C.都一样 D.不确定 3. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别 ( ) 1 2 4 A.23 与 26 2 0 3 5 6 B.31 与 26 3 0 1 1 C.24 与 30 4 1 2 D.26 与 30 4. 用演绎法证明函数 y ? x 3 是增函数时的小前提是 ( ) A.增函数的定义 B.函数 y ? x 3 满足增函数的定义 C.若 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) D.若 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 5. 在独立性检验中,统计量 ? 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 ? >3.841 时,有 95% 的把握说明两个事件有关,当 ? >6.635 时,有 99%的把握说明两个事件有关,当 ? ? 3.841 时,认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 2000
2 2 2 2

9. 为了在运行下面的程序之后输出的 y 值为 16,则输入 x 的值应该是( ) INPUT x IF x<0 THEN y =( x+1)( x+1) ELSE y =( x-1)( x-1) END IF PRINT y END A.3 或-3 B.-5 C.-5 或 5 D.5 或-3 2 10. 已知函数 f(x)=-x +ax-b.若 a、b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则 f(1)>0 成立的概率是( ) 9 1 31 23 A. B. C.32 D. 32 32 32

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图, 0 1 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________;
8 9 0 3 5

12. 有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽

取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________; 13. 若连续掷两次骰子,第一次掷得的点数为 m,第二次掷得的点数为 n,则点 P ( m , n ) 落在圆 x2+y2=16 内的概率是_______________ ; 14. 在等比数列 ? a n ? 中, a 9 ? 1 , 若 则有 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a17 ? n ( n ? 17 , n ? N ? ) 成立, 且 类比上述性质,在等差数列 ? bn ? 中,若 b7
? 0 ,则有

18.(本小题满分12分)设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a n ? 2 ? S n (1)求 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 的值并写出其通项公式 a n ; (2)证明数列 ? a n ? 是等比数列.

(n ? N )

?



; 19.(本小题满分 12 分)若 m , n ? R , m ? 0 , n ? 0 , 且 m ? n ? 2 . 求证:
1? m n 和 1? n m 中至少有一个小于 2.

15. 如图,它满足①第 n 行首尾两数均为 n,②表中的递推关系类似杨辉三角,则第 n 行 ( n ? 2 ) 第 2 个数是 . 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知复数 z (1) 求 z ;
?

20.(本小题满分 13 分)某高校在 2012 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的 笔试成绩。按成绩分组:第 1 组[75,80), 第 2 组[80,85), 第 3 组[85,90), 第 4 组[90,95), 第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮 面试,求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试, 求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率.

?1 ? i ?

2

? 3 ?1 ? i ?

2?i

,若 z 2

? az ? b ? 1 ? i

.

(2)求实数 a , b 的值.

17. (本小题满分 12 分)某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润额资料如 下表: 商店名称 销售额 x(千万元) 利润额 y(百万元) A 3 2 B 5 3 C 6 3 D 7 4 E 9 E 59

(1)画出散点图.观察散点图,说明两个变量有怎样的相关性; (2)用最小二乘法计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程; (3)当销售额为 4(千万元)时,估计利润额的大小.
y( 百 万 元 )

21. (本小题满分 14 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球, 球的编号分别为 1, 2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)从袋中随机抽取一个球,将其编号记为 a ,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取 一个球, 将其编号记为 b . 求使关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2 ax ? b 2 ? 0 有实根的概率; (3)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一 个球, 该球的编号为 n. 若以 ( m , n ) 作为点 P 的坐标, 求点 P 落在区域 ?
?x ? y ? 0 ?x ? y ? 5 ? 0



1

的概率.
O 2 x(千 万 元 )

广丰一中 2012-2013 学年度上学期第一阶段考试
高二文科数学答题卷(B 卷)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 14.
考室 线

座位号 18.(本小题满分 12 分)



12.



13. ; 15.

; .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)



17.(本小题满分 12 分)
y( 百 万 元 )

19.(本小题满分 12 分)

姓名



1 O 2

x(千 万 元 )

班级

20.(本小题满分 13 分)

21.(本小题满分 14 分)

广丰一中 2012-2013 学年度上学期第一阶段考试
高二文科数学(B 卷)参考答案
一、选择题: B B B B C D C B C C 12. 0.72 13.
2 9
n
2

二、填空题:11. 6.8

14. b1 ? b2 ? … ? bn ? b1 ? b2 ? … ? b13 ? n ( n ? 13 ,且 n ? N ? ) 三、解答题:16. 解: (1) z ?
? 2 i ? 3 ? 3i 2?i ? 3?i 2?i
2

15.

?n? 2 2

?1? i

????? 4 分

(2)把 Z=1+i 代入 z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,即 ?1 ? i ? ? a ?1 ? i ? ? b ? 1 ? i 得 a ? b ? ?2 ? a?i ? 1 ? i 所以 ?
?a ? b ? 1 ?2 ? a ? ?1

?????????? 8 分 解得 a ? ? 3; b ? 4 ????? 12 分 ????? 3 分

?? 10 分

17. 解: (1)图略 ???? 2 分 两个变量符合线性相关 ? (2)设回归直线的方程是: y ? bx ? a ,
y ? 3 .4 , x ? 6;
n

?
∴b ?

(2)第3组的人数为 0.3?100=30人, 第4组的人数为 0.2?100=20人, 第5组的人数为 0.1?100=10人, 因为第3,4,5 组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人 数分别为:3,2,1. ??????????? 5分 (3)设第3组的3位学生为A1, A2, A3,第4组的2位学生为B1, B2,第5组的1位学生为C1, 则从六位学生中抽两位学生有15种可能如下:(A1, A2),( A1, A3),( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, C1),( A2, A3),( A2, B1),( A2, B2),( A2, C1), ( A3, B1),( A3, B2),( A3, C1),( B1, B2),( B1, C1),( B2, C1), ????????? 11分 其中第4组的2位学生为B1, B2至少有一位学生入选的有: ( A1, B1),( A1, B2), ( A2, B1),( A2, B2), ( A3, B1),( A3, B2), ( B1, B2),( B1, C1),( B2, C1),共9种. 9 3 所以其中第 4 组的 2 位学生B1, B2至少有一位学生入选的概率为 = ?? 13 分 15 5 21. 解: (1)从袋中随机取两个球, 其一切可能的结果组成的基本事件有: 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 1 和 4,3 和 4,共 6 个. 从袋中取出的两个球的编号之和不大于 4 的事件有:1 和 2,1 和 3,共 2 个.因此所求事件的概率 2 1 为 P= = . ????????? 3 分 6 3 (2) 基本事件共 12 个: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , ????????? 6 分 2 2 设事件 A 为“方程 a ? 2 ax ? b ? 0 有实根” .当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x 2 ? 2 ax ? b 2 ? 0 有实 根的条件为 a ≥ b .其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 6 个 基本事件: (2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3) , , , , , , 因此事件 A 发生的概率为 P ( A ) ?
6 12 ? 1 2

xi yi ? n x y
?

i ?1

1 2

?

n

????????? 8 分

xi ? n x

2

2

i ?1

????????? 8 分

∴ a ? 0 . 4 ∴y 对销售额 x 的回归直线方程为: y ? 0 . 5 x ? 0 . 4 ????? 10 分 (3)当销售额为 4(千万元)时,利润额估计为: ? ???????? 12 分 y ? 0 . 5 ? 4 ? 0 . 4 =2.4(百万元) 18. 解: (1)由 a n ? 2 ? S n ,得 a1 ? 1 ; a 2 ? 猜想 a n ? ( )
2 1
n ?1

(3)先从袋中随机取一个球,放回后再从袋中随机取一个球,点 P(m,n)的所有可能有: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1) , , , , , , , , , , , , , (4,2)(4,3)(4,4) , , ,共 16 个, ????????? 12 分 落在区域 ?
?x ? y ? 0 ?x ? y ? 5 ? 0

1 2

; a3 ?

1 4

; a4 ?

1 8

, ??????? 4分

内的有(1,1)(2,1)(2,2)(3,1)共 4 个, , , , 内的概率为
1 4

(n ? N ) .

?

??????????? 6 分

所以点 P 落在区域 ?

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 5 ? 0



????????? 14 分

(2) ? a n ? 2 ? S n ? a n ?1 ? 2 ? S n ?1 ( n ? 2 , n ? N )
*

??????????? 9 分 所以上式减下式得: a n ? a n ?1 ? ? ( S n ? S n ?1 ) ? ? a n
an a n ?1 1 2



?

(n ? 2, n ? N )
*

所以数列 ? a n ? 是等比数列. ??? 12 分
1? m n ? 2, 1? n m ? 2

19. 证明:假设它们都不小于 2,则有 则 1 ? m ? 2 n ,1 ? n ? 2 m

???? 4 分

??????????? 8 分

两式相加得: 2 ? m ? n 与已知矛盾,故原命题成立. ???? 12 分 20. 解: (1)由题可知,第 3 组的频率为 0.06?5=0.3 第4组的频率为 0.04?5=0.2 第5组的频率为 0.02?5=0.1 ??????????? 2分


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