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武昌区2014届高三元月调考理科(答案)


武昌区 2014 届高三年级元月调研考试 理科数学试题参考答案及评分细则
一、选择题: 1.C 2.B 二、填空题: 11.480 3.B 4.A 12. 5.D 6.D 7.A 8.C 9.B 10.B

17 1 (或 0.68) 13. (? ,1) 25 2 n?n ? 1? 14. (Ⅰ)16; (Ⅱ) 1 ? 15. (Ⅰ)120;(Ⅱ)

80 2
三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B ,所以 2 3 sin B cos B ? 2sin B .
2

因为 0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 0 ,从而 tan B ? 3 ,

π .…………………………………………………………………(6 分) 3 AC BC ? π (Ⅱ)因为 A ? , B ? ,根据正弦定理得 , ? sin B sin A 4 3 BC ? sin B 所以 AC ? ? 6. sin A
所以 B ? 因为 C ? ? ? A ? B ?

5? ? ? 6? 2 5? ? sin( ? ) ? ,所以 sin C ? sin . 12 4 6 4 12 1 3? 3 AC ? BC sin C ? .……… ………………(12 分) 2 2

所以△ ABC 的面积 S ? 17. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ) 因为 a1 ? 1 ,且 a1 , a 2 , a5 依次成等比数列, 所以 a 2 ? a1 ? a5 ,即 ?1 ? d ? ? 1 ? ?1 ? 4d ? ,
2
2

所以 d ? 2d ? 0 ,解得 d ? 2 ( d ? 0 不合要求,舍去).
2

所以 a n ? 1 ? 2?n ? 1? ? 2n ? 1 . 因为 bn ?1 ? 2bn ? 1 ,所以 bn ?1 ? 1 ? 2(bn ? 1). 所以 ?bn ? 1? 是首项为 b1 ? 1 ? 2,公比为 2 的等比数列. 所以 bn ? 1 ? 2 ? 2
n ?1

? 2n.

高三理科数学试题参考答案及评分标准(第 1 页 共 6 页)

所以 bn ? 2 ? 1. ……………………………………………………………(6 分)
n

(Ⅱ)?

2 2 1 1 ? ? ? . a n ?an ? 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 1? ? Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 1 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1
于是 S n ? (1 ?

1 1 1 1 1 2n ? 2 n ) ? 1? ?1? n ? n ? ? . bn 2n ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2n ? 1 (2n ? 1)(2 n ? 1)
n

所以,当 n ? 1, 2 时, 2n ? 2 , S n = 1 ?

1 ; bn

当 n ? 3 时, 2n ? 2 , S n < 1 ?
n

1 .………………………………………(12 分) bn

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)方法一:

? A1C ? AE ? ( A1 B ? BC ) ? AE ? BC ? AE ? BC ? ( AB ? BE ) ? 0 ,

? A1C ? AE ;
? A1C ? AF ? ( A1 D ? DC ) ? AF ? DC ? AF ? DC ? ( AD ? DF ) ? 0 ,

? A1C ? AF . ? A1C ? 平面 AEF .
方法二: …………………………(6 分) z

? BC ? 平面 ABB1 A1 , AE ? 平面 ABB1 A1 ,
∴ BC ? AE . 又∵ AE ? A1 B ,∴ AE ? 平面 A1 BC . ∵ A1C ? 平面 A1 BC ,∴ AE ? A1C . y 同理可证 AF ? A1C . ∵ AE ? AF ? A , ∴ A1C ? 平面 AEF . …………………………………(6 分)
高三理科数学试题参考答案及评分标准(第 2 页 共 6 页)

x

(Ⅱ)如图,以为 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 因 为 AB ? 4 , AD ? 3 , AA1 ? 5 , 得 到 下 列 坐 标 : A(0,0,0) , B(4,0,0) ,

C (4,3,0) , D(0,3,0) , A1 (0,0,5) , B1 (4,0,5) , C1 (4,3,5) D1 (0,3,5) .
由(Ⅰ)知, A1C ? (4,3,?5) 是平面 AEF 的一个法向量. 设平面 D1 B1 BD 的法向量为 a ? ? x, y ,0 ? ,则 a ? B1 D1 ? 0 .

? B1 D1 ? (?4,3,0) ,? ?4 x ? 3 y ? 0 .
令 x ? 3 , y ? 4 ,则 a ? ?3,4,0 ? . ∴ cos ? a, AC ??

a ? A1C | a | ? | A1C |

?

3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 0 ? (?5) 3 ? 4 ? 0 ? 4 ? 3 ? (?5)
2 2 2 2 2 2

?

12 2 . 25

∴ sin ? ? 1 ? (

12 2 2 337 ) ? . 25 25

∴平面 AEF 和平面 D1 B1 BD 所成的角的正弦值为 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)数学合格的概率约为

437 .………………(12 分) 25

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5 40 ? 29 ? 6 3 物理合格的概率约为 ? .…………………………………………(4 分) 100 4 (Ⅱ) (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 9,4.5,3,-1.5. 4 3 3 1 3 3 ; P? X ? 9? ? ? ? ; P? X ? 4.5? ? ? ? 5 4 5 5 4 20 4 1 1 1 1 1 . P? X ? 3? ? ? ? ; P? X ? ?1.5? ? ? ? 5 4 5 5 4 20 所以,随机变量 X 的分布列为: 9 4.5 3 ? 1.5 X 3 3 1 1 P 5 20 5 20 3 3 1 1 EX ? 9 ? ? 4.5 ? ? 3 ? ? (?1.5) ? ? 6.6 .…………………………(9 分) 5 20 5 20 (ⅱ)抽查 5 位同学物理分数,合格 n 人,则不合格有 5 ? n 人,
总学分为 5n ? (5 ? n) ? 6n ? 5 个. 依题意,得 5n ? (5 ? n) ? 14 ,解得 n ?

19 . 6

高三理科数学试题参考答案及评分标准(第 3 页 共 6 页)

所以 n ? 4 或 n ? 5 . 设“抽查 5 位同学物理分数所获得的学分不少于 14 分”为事件 A ,
4 则 P( A) ? C5 ( )4 ?

3 4

1 3 5 81 .……………………………………(12 分) ?( ) ? 4 4 128
c 2 ,知 a ? 2c . ? a 2

20. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 F (c,0) ,则

过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? c ,代入椭圆方程,有

( ?c ) 2 y 2 2 ? 2 ? 1 ,解得 y ? ? b. 2 2 a b
于是 2b ?

2 ,解得 b ? 1 .
2, c ? 1.

2 2 2 又 a ? c ? b ,从而 a ?

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………(4 分) 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .由题意可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 .

? y ? k x ? 2, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 并整理,得 ? 2k ? 1? x ? 8kx ? 6 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?2
2 由 ? ? (8k ) ? 24(2k ? 1) ? 0 ,得 k ?
2 2

3 . 2

8k 6 . , x1 x2 ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2 2 , AB ? ?1 ? k 2 ? ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? , ?点 O 到直线 AB 的距离为 d ? ? ? 1? k 2
由韦达定理,得 x1 ? x2 ? ?

? S ?AOB ?
2

1 8(2k 2 ? 3) | AB | d ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? . 2 (2k 2 ? 1) 2

设 t ? 2k ? 3 ,由 k ?
2

于是 S ?AOB ?

3 ,知 t ? 0 . 2 8t 8 ? . 2 16 (t ? 4) t ? ?8 t

由t ?

2 16 7 2 .当且仅当 t ? 4, k ? 时等号成立. ? 8 ,得 S ?AOB ? 2 t 2 2 .…………………………………………(8 分) 2

所以△ AO B 面积的最大值为

高三理科数学试题参考答案及评分标准(第 4 页 共 6 页)

(Ⅲ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQN 的垂心. 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 N (0,1) , F (1,0) ,所以 k NF ? ?1 . 由 NF ? PQ ,知 k PQ ? 1 .设直线 l 的方程为 y ? x ? m , 由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 ? x ? 2 y ? 2,
2

2m 2 ? 2 4m 由 ? ? 0 ,得 m ? 3 ,且 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? . 3 3
由题意,有 NP ? FQ ? 0 . 因为 NP ? ( x1 , y1 ? 1), FQ ? ( x 2 ? 1, y 2 ) , 所以 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,即 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 , 所以 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )( m ? 1) ? m ? m ? 0 .
2

于是 2 ?

2m 2 ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 3 3

解得 m ? ?

4 或 m ? 1. 3

经检验,当 m ? 1 时,△ PQN 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? .……………(13 分) 3 3 1 x ? a ?1 . ?1 ? ? x?a x?a

21. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 ?? a,?? ? , f ?( x) ? 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ? a ? ?a . 当 ? a ? x ? 1 ? a 时, f
/

?x ? ? 0 ;当 x ? 1 ? a 时, f / ?x ? ? 0 .

所以, f ( x) 在 x ? 1 ? a 处取得最大值. 由题意知 f ?1 ? a ? ? ?1 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 .…………………………………(4 分) (Ⅱ) (1)当 k ? 0 时,由 f (1) ? ln 2 ? 1 ? 0 ,知 k ? 0 不合题意. (2)当 k ? 0 时,设 g ?x ? ? f ?x ? ? kx ? ln( x ? 1) ? x ? kx .
2 2

高三理科数学试题参考答案及评分标准(第 5 页 共 6 页)

1 ? x(2kx ? 2k ? 1) . ? 1 ? 2kx ? x ?1 x ?1 2k ? 1 1 令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ? ? ?1 ? ? ?1 . 2k 2k 1 2k ? 1 ①当 k ? ? 时, x 2 ? ? ? 0 , g ?( x) ? 0 在 x ? (0,??) 上恒成立, 2 2k
则 g ?( x) ? 因此 g ( x) 在 [0,??) 上单调递增,从而总有 g ( x) ? g (0) ? 0 , 即 f ( x) ? kx 在 [0,??) 上恒成立.
2

1 2k ? 1 2k ? 1 ? k ? 0 时, x 2 ? ? ? 0 ,对于 x ? (0,? ) , g ?( x) ? 0 , 2 2k 2k 2k ? 1 因此 g ( x) 在 (0,? ) 上单调递减. 2k 2k ? 1 因此,当取 x0 ? (0,? ) 时, g ( x0 ) ? g (0) ? 0 , 2k 1 2 即 f ( x0 ) ? kx0 不成立.故 ? ? k ? 0 不合题意. 2 1 综上, k 的最大值为 ? . ……………………………………………………(8 分) 2 1 2 (Ⅲ)由(Ⅱ)得: ln( x ? 1) ? x ? ? x 对任意的 x ? [0,+?) 恒成立. 2 1 2 即 x ? ln( x ? 1) ? x 对任意的 x ? [0,+?) 恒成立. 2
②当 ? 取x ?

2 2 2 2 ? ln( ? 1) ? ( i ? 1,2,3,?, n) ,则 , 2i ? 1 2i ? 1 2i ? 1 (2i ? 1) 2



2 2 ? [ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? . 2i ? 1 (2i ? 1) 2

当 n ? 1时, 2 ? ln 3 ? 2 ,不等式成立; 当 n ? 2 时,

?[
i ?1

n

n 2 2 ? ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ? ? ln(2n ? 1) . 2i ? 1 i ?1 2i ? 1

因为

2 2 1 1 ? ? ? , 2 (2i ? 3)( 2i ? 1) 2i ? 3 2i ? 1 (2i ? 1)
n 2 1 1 1 ? ln( 2 n ? 1 ) ? 2 ? ln 3 ? ( ? ) ? 2 ? ln 3 ? 1 ? ? 2. ? ? 2i ? 1 2n ? 1 i ?1 2i ? 1 i ? 2 2i ? 3 n n

所以

综上,

? 2i ? 1 ? ln ?2n ? 1? ? 2 .
i ?1

2

………………………………………(14 分)

高三理科数学试题参考答案及评分标准(第 6 页 共 6 页)


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