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合情推理与演绎推理


合情推理与演绎推理
一、推理: 1、推理的定义:从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理 2、推理的结构:推理的前提:所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么; 推理的结论:根据前提推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么。 3、推理的一般形式:推理可看作是用连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接。常用的连接有: “因为…所以…” 、 “如果…那么…” 、

“根据…可知…”等等形式。 下面是三个推理案例: ① 前提:当 n ? 0 时, n 2 ? n ? 11 ? 11 ② 前提:矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和 2 当 n ? 1时, n ? n ? 11 ? 11 结论:长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和 2 当 n ? 2 时, n ? n ? 11 ? 13 ③ 前提:所有的树都是植物,梧桐是树 2 当 n ? 3 时, n ? n ? 11 ? 17 结论:梧桐是植物 2 n ? n ? 11 ? 23 当 n ? 4 时, 当 n ? 5 时, n 2 ? n ? 11 ? 31 11,11,13,17 ,23,31 都是质数 结论:对于所有的自然数 n, n 2 ? n ? 11 的值都是质数 4、推理的分类:推理一般可分为“合情推理”和“演绎推理”两种类型。 二、合情推理:合情推理只有两种形式,那就是归纳推理和类比推理。 观察、比较、估算、联想是归纳和类比的方法;自觉、顿悟、灵感是产生合情推理的心理 活动形式;归纳推理是由特殊到一般的推理,类比推理是特殊到特殊的推理。合情推理过程概 括为:

可见,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归 纳、类比,然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理 1、归纳推理 (1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事 实概括出一般结论性的结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)。 (2)特点: ① 归纳推理是“由部分到整体,由个体到一般”的推理; ② 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,结论是尚属未知的一般现象; ③ 归纳推理具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验。因此,归纳推理 不能作为数学证明的工具; ④ 归纳推理是一种具有创造性的推理。基于观察和实验,通过归纳推理得到的猜想,可以作为 进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。 (3) 、归纳推理的一般步骤:

实验、观察

概括、推广

猜测一般性结论

(4)分类:根据归纳的对象是否完备,可以把归纳法分为“不完全归纳法”和“完全归纳法” ① 不完全归纳法是从一个或几个(但不是全部)特殊情况作出一般性结论的归纳推理。 不完全归纳法又叫做普通归纳法。
1

例如,求多边形内角和的公式时,先通过求四、五、六边形的内角和去寻找规律。从每个多边形 的一个顶点引出所有的对角线,这样,四边形被分成 2 个三角形,五边形被分成 3 个三角 形, 六边形被分成 4 个三角形。由此,可以发现所分得的三角形的个数总比它的边数少 2。 而每个三角形的内角和是 180°,因此,归纳出 n 边形的内角和为(n-2)×180°。 这种归纳法是以一定数量的事实作基础,进行分析研究,找出规律。但是,由于不完全归 纳法是以有限数量的事实作为基础而得出的一般性结论。 这样作出的结论有时可能不正确。 例如,在 y=x2+X+41 这个函数式中,当自变量 x 取 0,1,2,3,……,38,39 时,得出 y 的值 为 41,43,47,53,…,1601, 这些数都是质数,如果由此得出“无论 x 取任何非负整 数,y 都是质数”的结论,那么这个结论就不对了。 因为当 x=40 时,则 y=402+40+41=40×(40+1)+41=41×(40+1)=412,可以看出,y 的 值不是质数了,而是合数。 虽然不完全归纳法的结论有时可能不正确,但它仍是一种重要的推理方法。 ② 完全归纳法:通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察,从中概括出该类事物的一般 性结论的推理。 完全归纳法的特点:在归纳过程中,穷尽了全部归纳对象,如果归纳的前提是真的,那么归纳所 得的结论也一定是真的。因此,完全归纳法是一种必然性的推理,可用来作 为严格证明的工具。 注:在本书中,如无特殊说明,归纳法都是指不完全归纳法 (5)归纳推理的一般模式为: (6)运用归纳推理的一般步骤:

S 1 具有 P,
S 2 具有 P,
……

① 通过观察特例发现某些共性或一般规律; ② 把这种共性推广为一般命题(猜想) ; ③ 对所提出的一般性命题进行检验。
1

S n 具有 P(S

, S 2 , ?, S n 是A类事物的对象)

所以, A 类事物具有
实验、观察

P.
概括、推广 猜测一般性结论

归纳推理得出的结论不可靠还需要进一步作出判断。因为归纳推理的基础是对个别或部分对 象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有豁然性,只能称之为归纳猜想, 其正确与错误是需要严格论证的。 (7)、归纳推理的方法分类 ① 直观式归纳推理:例如:在周长定的情况下,通过直观很容易感知,S正三角形<S正方形<S正六边形, 进而归纳出S正 n 边形<S正 n+1 边形。 ② 递进式归纳推理:例如:由S正 n 边形<S正 n+1 边形,进而归纳出在周长为定值的情况下面积最 大的图形是圆。 ③ 观察式归纳推理:例如:观察下列等式:3
1

=3,3 =9,3 =27,3 =81,3 =243,3 =729,
7 8

2

3

4

5

6

3 =2187,3 =6561,…,…,
用你所发现的规律写出 32009 的末位数字是 。 ④ 实验式归纳推理:例如:在探索三角形的内角和时,让全班每一位学生都提前准备一个三角形 纸片, 分别剪出三角形的三个角进行拼凑, 从而归纳出三角形的内角 o 和是 180 。
2

⑤ 统计式归纳推理:例如:调查某厂生产的一批电灯泡的合格率,从中抽取 100 只电灯泡,经 检验, 其中有 95 只电灯泡合格, 从而归纳出这批电灯泡的合格率 95 ℅。 ⑥ 概率式归纳推理:例如:从某水库中随机抓取 100 条鱼,结果发现其中有 3 条是有标记的,从 面归纳出从该水库中抓出 1 条有标记的鱼的概率为 3℅。 例 1、前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论:所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 例 2、前提:三角形的内角和是 180 ,凸四边形的内角和是 360 ,凸五边形的内角和是 540 ,…… 结论:凸 n 边形的内角 和是(n—2)×180 。
b b+m 2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ? 3 (a, b, m均为正实数)。 ? , ? , ? ,? 由此我们猜想: ? a a+m 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3 a 例 4、已知数列{ an }的第 1 项 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? n (n=1,2,3,…) ,试归纳出这个数列的通项公式. 1 ? an 分析:数列的通项公式表示的是数列{ an }的第 n 项 an 与序号 n 之间的对应关系.
0 0 0 0

例 3、

为此,我们先根据已知的递推公式,算出数列的前几项.

1 1 1 1 ? ; 当 n =3 时, a3 ? 2 ? ; 解:当 n=1 时, a1 ? 1 ; 当 n =2 时, a2 ? 1 3 1?1 2 1? 2 1 1 当 n=4 时, a4 ? 3 ? .观察可得,数列的前 4 项都等于相应序号的倒数. 1 4 1? 3 1 由此猜想,这个数列的通项公式为 an ? . 注意:归纳推理的结果不一定成立! n 2、类比推理 (1)类比推理的定义:类比推理是由特殊到特殊的推理,由两个(两类)对象具有某些类似特征和其 中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) . (2)类比推理的特点:类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)类比推理的一般步骤:① 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ② 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想。

观察、比较

联想、类推

猜想新的结论

(4)类比推理的分类 ① 特殊与一般的类比:例如,类比分数的基本性质得出分式的基本性质。 ② 低维度与高维度的类比: 例如,类比在周长为定值的情况下面 积最大的图形是圆,得出在表面积为定值的情况下体积最大的几何体是球体。 ③ 数与形的类比 例如,类比以下图形得出 1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/2n=1。 ④ 有限与无限的类比

例如,类比(ab) =a b ,得出(a1a2a3…an) =a1 a2 a3 …an 。
3

m

m m

m

m

m

m

m

⑤ 平行类比 例如,类比相似三角形对应边上的高的比等于相似比,得出相似三角形对应边上的中 线的比等于相似比和相似三角形对应边上的角平分线的比等于相似比。 三、演绎推理 1、演绎推理的定义:根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) ,按照严格的逻辑 法则得到新结论的推理过程。即从从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推 理称为演绎推理. 2、演绎推理的特点:是由一般到特殊的推理; (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全 蕴涵于前提之中 (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系。只要前提是真实的,推理的形式是正确的, 那么结论也必定是正确的。因此,演绎推理是数学中严格证明的工具; (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少有创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证 作用,有助于科学的理论化和系统化。 3、演绎推理的一般模式: “三段论法” ,三段论式推理是演绎推理的主要形式,它包括: (1)大前提——第一个命题,已知的一个一般性的原理 (2)小前提——第二个命题,所研究的一个特殊对象(情况) (3)结论——前两个判断结合起来揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到的第三个命 题对特殊情况做出的判断.即三段论法:如果一个推理规则能用符号表示为“如果 b ? c, a ? b, 则a ? c ” 。那么这种推理规则叫做三段论推理 4、三段论的基本格式 M—P(M 是 P) (大前提) S—M(S 是 M) (小前提) S—P(S 是 P) (结 论) 5、三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的一个子集,那么 S 中所有元素也都具有性质 P. 四、合情推理与演绎推理的区别: (1)合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用; 演绎推理是按照严格的逻辑法则,得到新结论的推理过程。 (2)归纳推理:由部分到整体,由个体到一般; 类比推理:由“特殊”到“特殊” ; 演绎推理:由“一般”到“特殊” 。 (3)合情推理的结论不一定正确,有待于进一步的证明; 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。 (4)演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程; 合情推理可发现新的数学结论、证明思路等。 五、练习 1、把“函数 y ? x2 ? x ? 1 的图象是一条抛物线”写成三段论的形式。 解:二次函数的图象是一条抛物线 (大前提) 函数 y ? x2 ? x ? 1 是二次函数 (小前提) 2 所以, y ? x ? x ? 1 的图象是一条抛物线 (结 论) C 2、如图,在锐角三角形 ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E 是垂足, 求证:AB 的中点 M 到 D, E 的距离相等。 D E 证明: (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形——大前提 在△ABC 中,AD⊥BwC,即∠ADB=90° ——小前提 所以△ABD 是直角三角形。 ——结 论
A M B

4

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提 因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提 1 所以 DM= AB ——结 论 2 1 同理 EM= AB,所以 DM=EM。 2 由此可见,应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁, 如果大前提是显然的,则可以省略.再来看一个例子. 3、证明函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x 在 (??,1) 内是增函数. 分析:证明本例所依据的大前提是:在某个区间(a, b)内,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在 这个区间内单调递增。 2 小前提是: f ( x) ? ? x ? 2 x 的导数在区间 (??,1) 内满足 f ' ( x) ? 0 ,这是证明本例的关键. 证明: f ' ( x) ? ?2 x ? 2 . 当 x ? (??,1) 时,有 1 ? x ? 0 , 所以 f ' ( x) ? ?2x ? 2 ? 2(1 ? x) ? 0 。 于是,根据 “三段论”得, f ( x) ? ? x2 ? 2 x 在 (??,1) 内 是增函数. 注:在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的. 4、用归纳推理的思想填空: 已知 2 ?

a a 2 2 3 3 4 4 , (a, b 均为实数) ?2 , 3? ? 3 , 4? ?4 , ?若 6 ? ? 6 , b b 3 3 8 8 15 15

b ? _______ . 请推测 a ? _______,
5、根据给出的算式: 12 ? 3 ? 4,1122 ? 33 ? 34,111222 ? 333? 334, …,归纳猜想出一般性结论. 解:数列: 12,1122,111222,…的通项公式应为: an ? 11???122 ??? 2 ,每一项都是两个连续自
n个 n个

(33 ??? 3 ? 1 ). 然数的积,猜想 an ? 11???122 ??? 2 ? 33 ??? 3?
n个 n个 n个 n个
2 2

6、长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为 ? , ? ,则 cos ? ? cos ? =1, 将长方形与长方体进行类比,可猜测的结论为:长方体的一条体对角线与长方体过同一个顶点的 三个面所成的角分别为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2. ; 7.演绎推理是以( C )为前提,推出某个特殊情况下的结论的推理方法。 A.一般性的原理 B.特定的命题 C.一般性的真命题 D.定理、公式

8.设{an}是集合 ?2t ? 2s ? 0 ? s ? t , 且s、t ? Z 中的所有数从小到大排成的数列, 即 a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 6, a4 ? 9, a5 ? 10, a6 ? 12 ,将各项按照上小下大,左小右大的 原则写成如下三角形数列表: (1)写出这个三角形数表的第四、第五行各数; (2)求 a100 3 5 6 9 10 12 — — — — 解:结合数列进行分析归纳。 (1)第四行:17,18,20,24, 第五行:33,34,36,40,48 (2)设 n 为 an 的下标,观察每行第一个元素下标,三角形数表第一行第一个元素下标是 1, 第二行第一个元素下标为 2=2(2-1)/2+1,第三行第一个元素下标为 4=3(3-1)/2+1 ……………
5

?

第 t 行第一个元素下标为 因此

a100

14 ? ?14 ? 1? 15 ? ?15 ? 1? ? 100 ? ,所以 a100 是第 14 行的第 9 个元素. 2 2 ? 214 ? 29?1 ? 16640 .

t ? t ? 1? ? 1,该元素为 2t ? 2t ?1 ,由此判断 a100 所在行。 2

点评:归纳离不开观察、分析,对于数列中的归纳问题,要从数值特征、式子结构特点,从已知与 未知的必然联系等方面进行归纳,要注意联想已学过的等差、等比数列基本知识,若能寻求出 递推关系,则易于求解。
9、证明: 证明

f ( x) ? ? x2 ? 2 x 在 (??,1] 上是增函数。 :任取 x1 , x2 ? ? ??,1?, x1 ? x2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ?? x2 ? x1 ? 2?
x1 , x2 ? 1,? x1 ? x2 ? 2 ? 0 。? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,于是,根据“三段论” ,
可知,

f ? x ? ? ?x2 ? 2x 在 ? ??,1

?

是增函数。

点评: “三段论”中,第一个判断称为大前提,它提供了一个一般原理,第二判断叫小前提,文章指 出了一个特殊情况,这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生 了第三个判断结论,演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系,因 而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必然是真实的,但错误的前提可导致 错误的结论。

? P ? A? B ? C ? s??????? ??? ? ??? ? 10.由图(1)有面积关系 。则由图(2)有体积关系: 等于多少? ? P ? ABC s? ???? ?? ? ??
B B' P A' (1)

B B' C'
A

C

P

A' (2)

A

分析:

VP ? A?B?C ? VP ? ABC

1 1 1 ? s?PA/ C ? h1 ? PA? ? PC ? ? sin ?CPA ? h1 PA? ? PB? ? PC ? 3 3 2 ? ? ? . 1 1 1 PA ? PB ? PC s?PAC ? h2 ? PA ? PC ? sin ?CPA ? h2 3 3 2

点评:类比推理步骤,首先,找出两类对象之间可以准确表述的相似特征;然后,由一类对象的已 知特殊去推测另一类对象的特征,从而做出一个猜想,最后检验这个猜想。 底? 高 11.已知扇形的弧长为 l ,半径为 r,类比三角形的面积公式: s ? ,可知扇形面积公式( C ) 2 lr r2 l2 c. B. A. D.不可类比 2 2 2 12.若点 E、F、G、H 顺次是空间四边形 ABCD 四条边 AB、BC、CD、DA 的中点,EG=3,FG=4,则 AC 2 ? BD2 的值是( B ) A.25 B. 50 C.100 D.200 分 析 : EFGH 是 平 行 四 边 形 , 由 于 平 行 四 边 形 两 条 对 角 线 的 平 方 和 等 于 四 边 平 方 和 得 :
6

? AC 2 ? BD 2 ? 2 ? EG 2 ? FH 2 ? ? 2 ? 32 ? 42 ? ? 50.

2 2 ?? 1 ? ?1 ? ? 1 EG ? FH ? 2 ? EH ? EF ? ? 2 ?? BD ? ? ? AC ? ? ? ? AC 2 ? BD 2 ? , ? ?2 ? ? ?? 2 ? 2 ? 2 2 2 2

点评:本题主要运用平行四边形的性质进行演绎推理。 13.等差数列 {an } 中, an ? 0 ,公差 d>0,则有 a4 ? a6 ? a3 ? a7 ,类比上述性质,在等比数列 {bn } 中, 若 bn ? 0 ,q>0,写出 b5 , b7 , b4 , b8 的一个不等关系 。 答案: b4 ? b8 ? b5 ? b7 .
分析:b2 , b7 , b4 , b8,为b4 q, b4 q 2 , bq 3 , bq 4 ? b 4 ? q ? 1? ? q 3 ? 1? ? 0. 所以 ? b4 ? b8 ? ? ? b5 ? b7 ? ? b4 ?1 ? q 4 ? ? b4 ? q ? q 3 ?

14.在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ?

2an , n ? N * ,猜想这一数列的通项公式。 2 ? an 2 2 2 2 . 解法一: ?an ?中,a1 ? 1, a2 ? , a3 ? , a4 ? , , 猜想的通论公式为 an ? 3 4 5 n ?1 2an 解法二: a1 ? 1, an ?1 ? , 2 ? an
2 ? an 1 1 1 ? ? ? , an ?1 2 an an 2

?

2 . n ?1 点评:解法一运用归纳推理得出结论,简单明了,但运用合情推理需要观察、分析、归纳、猜想; 解法二运用演绎推理,推理严谨。 15.若四面体各棱的长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积是多少? 11 ? 11 14 ? 或 或 (只需写出一个可能的值) 答案: ? ? 6 ? 12 12 ? ? ? 分析:本题是一道很好的开放题,解题的开窍点是:每个面的三条棱是怎样构造的,依据“三角形 ? an ?
中两边之和大于第三边” ,就可否定 ?1,1,2? , 从而得出

?1,1,1?,?1,2,2?,?2,2,2? 三种形态,再

由这三类面构成满足提设条件的四面体,最后计算出这三个四面体的体积分别为

11 11 14 11 11 14 , , , 故应该填 , , 中的一个即可。 6 12 12 6 12 12

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