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2014数学高考综合能力题选讲16立体几何综合问题


2014 数学高考综合能力题选讲 16 立体几何综合问题 题型预测 立体几何是高中数学的重要内容, 是考察各种能力的重要载体, 考察的方法常常是将计 算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。 范例选讲 AD ? BC 例 1. 如图, 已知 PA ? 面 ABC , 于 D, BC ? CD ? AD ? 1。 (1)令 PD ? x , ?BP

C ? ? ,试把 tan ? 表示为 x 的函数,并求其最大值; (2)在直线 PA 上是否存在一点 Q,使 P 得 ?BQC ? ?BAC ? 讲解 ( 1 )为寻求 tan ? 与 x 的关系, B 首先可以将 ? 转化为 ?PCD ? ?PBD 。 C ∵ PA ? 面 ABC , AD ? BC 于 D, ∴ PD ? BD 。 PD PD x ? x, tan ?PBD ? ? 。 ∴ tan ?PCD ? DC BD 2 x x? 2 ? x 。 ∴ tan ? ? tan??PCD ? ?PBD? ? x x2 ? 2 1? x ? 2 ∵ AD 为 PD 在面 ABD 上的射影。 ∴ PD ? AD ? 1 ,即 x ? 1 。 ∴ tan ? ? x ? x ?2 2 A D 1 x? 2 x ? 1 2 2 ? 2 。 4 即 tan ? 的最大值为 2 ,等号当且仅当 x ? 2 时取得。 4 (2)由正切函数的单调性可知:点 Q 的存在性等价于:是否存在点 Q 使得 tan ?BQC ? tan?BAC 。 tan ?BAC ? tan ??ACD ? ?ABD ? ? 1 。 3 x 1 ? ,解得: 1 ? x ? 2 ,与 x ? 1 交集非空。 x ?2 3 ∴ 满足条件的点 Q 存在。 令 tan ? ? 2 点评 本题将立体几何与代数融为一体,不仅要求学生有一定的空间想象 力,而且,作好问题的转化是解决此题的关键。 例 2. 如图所示:正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的 6 正切值为 。 2 P (1) 求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (2)若 E 是 PB 中点,求异面 直线 PD 与 AE 所成角的正切值; ( 3 )在侧面 PAD 上寻找一点 F,使得 EF ? 侧面 PBC。试确定点 F 的位置,并加以证明。 E D C A B 讲解: (1)连 AC, BD 交于点 O ,连 PO,则 PO⊥面 ABCD, ∴ ∠PAO 就是 PA 与底面 ABCD 所成的角, ∴ tan∠PAO= 6 。 2 3 。 2 设 AB=1,则 PO=AO? tan∠PAO = 设 F 为 AD 中点,连 FO、PO,则 OF⊥AD,所以,PF⊥AD,所以, ?PFO 就是 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角。 PO ? 3, 在 Rt ?PFO 中, tan ?PFO ? FO ? ? ∴ ?PFO ? 。即面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 3 3 1 EO // PD 。 (2) 由 (1) 的作法可知: O 为 BD 中点, 又因为 E 为 PD 中点, 所以, ? 2 ∴ ?EOD 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角。 在 Rt ?PDO 中, PD ? OD 2 ? PO 2 ? 5 。 4 5 。 2 ∴ EO ? 由 AO ? BD , AO ? PO 可知: AO ? 面 P

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