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2.5.2离散型随机变量的方差和标准差


一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn

则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为X的均值或数学 期望,记为E(X)或μ. 其中pi≥0,i=1,2,…,n;p1+p2+…+pn=1

注: 离散型随机变量X的均值也称为X的概率分布的均值.

引入:
甲、乙两个工人生产同一产品,在相同的条件下, 他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1,X2表 示, X1,X2的概率分布下: X1 pk 0 0.7 1 0.1 2 0.1 3 0.1 X2 pk 0 0.5 1 0.3 2 0.2 3 0

从均值看,E( X 1 ), E( X 2 ) 都是0.7,那么,

如何比较甲、乙两个工人的技术?

学习目标:
1 通过实例,理解取有限值的离散型随机变量方差、 标准差的概念和意义. 2 能计算简单离散型随机变量的方差和标准差,并 能解决一些实际问题.

自学指导:
1.怎样刻画离散型随机变量取值的波动程度呢? 2.离散型随机变量的方差、标准差的概念是什么?如

何表示?离散型随机变量的方差的计算公式有几个?
它们各有什么特点和用途?

3.随机变量的方差样本方差有何区别和联系? 自学检测:P70 练习 1

一般地,若随机变量 X的概率分布如下表所示 , 则( xi ? u ) 2 (u ? E ( X ))描述了 xi (i ? 1,2,..., n)相对 于均值 u的偏离程度,故 ( x1 ? u ) 2 p1 ? ( x2 ? u ) 2 p2 ? ... ? ( xn ? u ) 2 pn , (其中 pi ? 0,i ? 1,2,..., n, p1 ? p2 ? ... ? pn ? 1)刻画 了随机变量 X与均值 u的平均偏离程度,我们 将其 称为离散型随机变量 X的方差,记为 V ( X )或? 2
X P x1 p1 x2 p2
n

… …

xn pn

方差也可用公式 V ( X ) ? ? xi2 pi ? u 2计算。
i ?1

随机变量 X的方差也称为 X概率分布的方差, X 的方差 V ( X )的算术平方根称为 X的标准差,即

? ? V (X )
思考:随机变量的方差与样本方差有和区别和联系?

例1若随机变量 X的分布如表所示,求方 差V ( X ) 和标准差 V ( X )
X P 0 1-p 1 p

例2求第2.5.1节例1中超几何分布 H (5,10,30)的 方差和标准差。
解:第2.5.1节例1中的超几何分布表如下表所示:

x
P

0 1 2 3 4 5 2584 8075 8550 3800 700 42 23751 23751 23751 23751 23751 23751
8550 3800 2584 8075 V(X)=0× +1× +4× 23751 +9×23751 23751 23751 42 5 2 700 +16× 23751+25× 23751 - ( ) ≈0.9579 3

n 5 数学期望为 u ? ,由公式 V ( X ) ? ? xi2 pi ? u 2有 3 i ?1

故标准差 ? ? 0.9787

例3求第2.5.1节例2中二项分布 B(10,0.5)的方差 和标准差。
解p=0.05,分布列如下表

5 5 0 4 2 1 3 p k C10 p0 ?1 ? p?10 C10 p1?1? p?9 C10 p2 ?1 ? p?8 C10 p3 ?1 ? p?7 C10 p4 ?1 ? p?6 C10 p5 ?1 ? p?5

x

0

1

2

3

4

p k C p ?1 ? p?
6 10 6

x



4

1 0 2 3 8 9 9 10 7 C10 p 7 ?1 ? p ? C10 p8 ?1 ? p ? C10 p ?1 ? p ? C10 p10 ?1 ? p ?






n

10

数学期望为 u ? 0.5,由公式 V ( X ) ? ? xi2 pi ? u 2有

? ? 0 ? C 0.05 ? 0.95 ? ... ? 10 ? C10 0.0510 ? 0.95 0 ? 0.52 10
2 2 0 10 0 10 2

i ?1

故标准差 ? ? 0.6892

? 0.725 ? 0.25 ? 0.475

分层训练
必做题 P70 练习 2,P71 6(2)

选做题 P71 2

作业

P71 习题

4

补充性质:
1、随机变量X的方差与数学期望有如下关系:

V(X)=E(X2)-[E(X)]2
证明 V ( X ) ? E{[ X ? E ( X )]2 } ? E{ X 2 ? 2 XE ( X ) ? [ E ( X )]2 } ? E ( X 2 ) ? 2 E ( X ) E ( X ) ? [ E ( X )]2 ? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2

2、设C为常数,则 V (C ) ? 0; 证明 V (C ) ? E{[C ? E (C )]2 } ? 0

3、V (CX ) ? C 2V ( X ), C是常数; 证明 V (CX ) ? E{[CX ? E (CX )]2 } ? C 2 E{[ X ? E ( X )]2 }

4、V (aX ? b) ? a 2V ( X ) 5、若 E ( X 2 ) ? 0 ? E ( x) ? 0 且 V ( X ) ? 0 V ( X ) ? E ( X ? E ( X )) ? E ( X ) ? ( E ( X )) ? 0
2 2 2


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