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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.4 函数的奇偶性与周期性


§2.4

函数的奇偶性与周期性

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.函数的奇偶性 奇偶 性 定义 图象特点 y轴 关于_____ 对称

偶函 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x f(-x)=f(x) 那么函数f(x)是偶函数 数 都有___________, 奇函 数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
f(-x)=-f(x) 都有__________________, 那么函数f(x)是 奇函数

原点 关于_____
对称

2.函数的周期性 (1)周期的定义 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当x取 f(x+T)=f(x) ,则称函数 f(x) 定义域内的每一个值时,都有 ______________

为周期函数,非零常数T称为函数f(x)的周期.
(2)最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小 最小正周期 . 的正数,那么这个最小正数叫做f(x)的_____________

思考探究 1.奇、偶函数的定义域有什么特点? 提示:奇、偶函数的定义域在数轴上都关于原点对称. 2.存在既是奇函数又是偶函数的函数吗? 提示:存在,f(x)=0(x∈R).

课前热身 1.(教材改编)设f(x)=x3+2x,g(x)=2x4+3x2,则y=f(x)· g(x) 是( ) B.偶函数 D.非奇非偶函数

A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

答案:A

2.下列函数中 ① f(x)= x 2;


3

② f(x)= 2x+ x; ③ f(x)= x3+ 1 ; x )

④ f(x)= x- x2.具有奇偶性的有( A.①② C.③④ B.②③ D.①④

答案:A

2-x 3.函数 y= log2 的图象( 2+x A.关于原点对称 B.关于直线 y=- x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y= x 对称

)

答案:A

4.(2012· 高考上海卷)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若

g(x)=f(x)+2,则g(-1)=__________.
解析:∵y=f(x)+x2是奇函数,∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2], ∴f(x)+f(-x)+2x2=0.∴f(1)+f(-1)+2=0.∵f(1)=1,∴f(- 1)=-3.∵g(x)=f(x)+2, ∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.

答案:-1

5.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,

则f(3)=__________.
答案:0

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 函数奇偶性的判定

首先判定函数的定义域. 定义域关于原点对称是函数存在奇 偶性的必要条件,再判定函数 f(x)是否满足奇偶性的定义或 者图象特征,对于分段函数要逐段讨论.

例1 判断下列各函数的奇偶性: 1 2 (1)f(x)=lg x +lg 2; x 1 (2)f(x)= x+ ; x 2 ? ?x +x?x<0?, (3)f(x)=? 2 ? ?- x +x? x>0?; (4)f(x)=|x|(x2+1).

【思路分析】

可从定义域入手,在定义域关于原点对称情

况下,考查f(-x)与f(x)的关系.

【解】 (1)函数的定义域: (-∞, 0)∪ (0, +∞ )关于原点对称, 2 1 且 f(x)= lg(x ·2)=0(x≠0). x ∴ f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)此函数的定义域为 {x|x>0},由于定义域关于原点不对称, 故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)当 x<0 时,-x>0, 则 f(- x)=- (- x)2- x=-(x2+x)=-f(x); 当 x>0 时,-x<0, 则 f(- x)= (-x)2- x= x2-x=-f(x). 综上,对 x∈ (-∞,0)∪ (0,+∞), 都有 f(-x)=- f(x). ∴ f(x)为奇函数.

(4)易知f(x)的定义域为R. ∵f(-x)=|-x|[(-x)2+1]=|x|(x2+1)=f(x), ∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数. 【误区警示】 对于(1)只代入-x而得出偶函数结论,对于(2)

易丢掉定义域,对于(3)只判断一部分.

考点2

函数的周期性

函数的周期性是指函数的重复性变化,是对于定义域内的所 有自变量x来说的,不是指某几个特定的自变量,若T是它的 一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是该函数的一个周期. 例2 设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f(x+2)=-f(x), (1)求f(0)的值,f(2)的值.

(2)证明f(x)是周期函数,并求最小正周期.
【思路分析】 (1)x=0→f(0)→f(2); (2)f(x+4)→f(x+2)→T.

【解】

(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 又∵f(x+2)=-f(x), 当x=0时,f(2)=-f(0)=0. (2)证明:由f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是最小正周期为4的周期函数.

【领悟归纳】

关于函数的周期有规律.

(1)函数 f(x)满足- f(x)= f(a+x), 则 f(x)是周期为 2a 的周期函数; 1 (2)若 f(x+a)= (a≠ 0)恒成立,则周期 T=2a; f? x? 1 (3)若 f(x+a)=- (a≠ 0)恒成立,则周期 T= 2a. f? x?

跟踪训练 1.(2012· 高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x), 当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( A.335 C.1678 ) B.338 D.2012

解析:选B.由f(x+6)=f(x)可知,函数f(x)的周期为6,

所以f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,
f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2, 所以在一个周期内有f(1)+f(2)+…+f(6)=1+2-1+0-1+0

=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2
+335=338,故选B.

考点3

函数性质的综合应用

有关函数问题,要充分考虑到它的所有性质:定义域、值域、 最值、奇偶性、单调性、周期性、并结合图象综合运用. 例3 函数 f(x)的定义域为 D= {x|x≠ 0},且满足对于任意 x1、 x2∈ D,有 f(x1· x2)= f(x1)+f(x2),且关于 x= 1 对称. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)的周期性;
1 3 (4)若 f( )= 1,求 f(3)+ f( )的值. 2 2

【思路分析】

(1)x1=x2=1→f(1);

(2)令x1=-1,x2=x→f(-x)=f(x);

(3)关于x=1对称→f(x)=f(2-x)→f(x)=f(2+x).
【解】 (1)令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1), 解得f(1)=0.

(2)令x1=x2=-1,
有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1). 解得f(-1)=0.

令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.

(3)∵f(x)关于 x= 1 对称, ∴ f(x)= f(2-x),将 x 换为-x 得 f(-x)=f(2+x) ∵ f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴ f(x)= f(2+x),∴f(x)为周期函数. 最小正周期为 T= 2. (4)f(3)= f(2+ 1)= f(1)=0, 3 1 1 1 f( )= f(2- )=f(- )=f( )=1. 2 2 2 2 3 ∴ f(3)+ f( )=1. 2 【思维总结】 对于抽象函数奇偶性的判定通过赋值寻找f(x)

与f(-x)的关系.

跟踪训练 2.(2011· 高考陕西卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x), f(x+2)=f(x),则y=f(x)的图象可能是( )

解析:选B.由于f(-x)=f(x),所以函数y=f(x)是偶函数,图象

关于y轴对称,所以A、C错误;
由于f(x+2)=f(x),所以 T= 2是函数 y= f(x) 的一个周期, D错

误.所以选B.

方法感悟
方法技巧

1.奇、偶函数的性质
(1)设函数f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们公共 定义域上有:当f(x),g(x)均为奇函数时,f(x)+g(x)是奇函数,

f(x)· g(x)是偶函数;当f(x),g(x)均为偶函数时,f(x)+g(x)是偶
函数,f(x)· g(x)是偶函数;奇函数的反函数也是奇函数. (2)若f(x)是偶函数?f(x)=f(|x|);若奇函数f(x)的定义域内含有

数0,则必有f(0)=0.

(3)若函数f(x)为奇函数,在[a,b]上为增函数,则f(x)在[-b,
-a]上为增函数. 若函数f(x)为偶函数,在[a,b]上为增函数,则f(x)在[-b,

-a]上为减函数.
(4)函数奇偶性的判定方法 ①利用定义

f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0.
f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0. ②利用图象的对称性 f(x)是奇函数?f(x)的图象关于原点对称. f(x)是偶函数?f(x)的图象关于y轴对称.

2.函数的“周期性 ”与 “对称性 ”的伙伴关系 (1)设 a 为非零常数,若对于 f(x)的定义域内的任意 x,恒有下 列条件之一成立. 1 ① f(x+a)=- f(x);②f(x+ a)= . f? x? f? x?+ 1 1 ③ f(x+a)=- ;④ f(x+ a)= . f? x? f? x?- 1 1- f?x? ⑤ f(x+a)= ;⑥f(x+ a)=f(x-a), 1+ f?x? 则 f(x)是周期函数, 2a 是它的一个周期.

(2)若f(x)同时关于x=a与x=b对称(a<b),则f(x)的一个周期为
2(b-a).

(3)若f(x)关于x=a对称,同时关于点(b,0)对称(b≠a),则f(x)的
一个周期为4(b-a). (4)若f(x)关于(a,0)对称,同时关于(b,0)对称,则f(x)的一个周 期为2(b-a).

失误防范

1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原
点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必 要条件. 2.判断分段函数奇偶性时,要以整体的观点进行判断,不可 以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在 整个定义域上的奇偶性.

3.奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解决函数

图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问题.单
调性是函数的局部性质,要注意区分对于偶函数y=f(x),

f(a)<f(b)?f(|a|)<f(|b|).
4.并不是所有的周期函数都有最小正周期.

考向瞭望把脉高考
命题预测
函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点.从这两年的高考试 题来看,主要是奇偶性与单调性的小综合,周期性的考查常以 利用周期性求函数值,以选择题、填空题的形式出现,这部分 知识对学生要求不高,属中低、档题. 2012 年的高考中,福建卷考查了符号函数的奇偶性,上海卷考 查了有关奇函数的组合函数的函数值. 预测 2014 年的高考中,对这一知识点的考查难度不大,以客 观题型为主,考查函数的奇偶性、周期性.特别提出抽象函数 的赋值法和周期函数的两个性质 f(x)=- f(x+a), 1 f(x)=- 值得关注. f? x+ a?

典例透析 例
4x+1 函数 f(x)= x 的图象( 2 )

A.关于原点对称 B.关于直线 y= x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称
【解析】 4x+1 ∵f(x)= x =2x+2- x, 2

∴f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.

【答案】

D

【名师点评】

本题的技巧就是指数的恒等变形,

f(x)=2x+2-x,至此结论显而易见.若本题直接写 f(-x)是比 较麻烦的,作为选择题此解法是不好的.当然本题可逐个排

除A、B、C.此题易错选为A,其原因是化简出错.
本题外观上看是考查图象对称性,其实质是函数奇偶性的定 义和对称性,出题别致,属于中、低档题.

知能演练轻松闯关

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