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2006年高考第一轮复习数学:2.8--对数与对数函数


2.8 对数与对数函数 ●知识梳理 1.对数 (1)对数的定义: 如果 ab=N(a>0,a≠1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b. (2)指数式与对数式的关系: ab=NlogaN=b(a>0,a≠1,N>0). 两个式子表示的 a、b、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质: ①loga(MN)=logaM+logaN. ②loga=logaM-logaN. ③logaMn=nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a≠1) ④对数换底公式:logbN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0). 2.对数函数 (1)对数函数的定义 函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称. (3)对数函数的性质: ①定义域: (0,+∞). ②值域:R. ③过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0. ④当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数. ●点击双基 1.(2005 年春季北京,2)函数 f(x)=|log2x|的图象是 解析:f(x)= 答案:A 2.(2004 年春季北京)若 f -1(x)为函数 f(x)=lg(x+1)的反函数,则 f -1(x)的值 域为___________________. 解析:f -1(x)的值域为 f(x)=lg(x+1)的定义域. 由 f(x)=lg(x+1)的定义域为(-1,+∞) , ∴f -1(x)的值域为(-1,+∞). 答案: (-1,+∞) 3.已知 f(x)的定义域为[0,1] ,则函数 y=f[log(3-x) ]的定义域是__________. 解析:由 0≤log(3-x)≤1 log1≤log(3-x)≤log ≤3-x≤12≤x≤. 答案: [2, ]

4.若 logx=z,则 x、y、z 之间满足 A.y7=xz C.y=7xz

B.y=x7z D.y=zx

解析:由 logx=zxz=x7z=y,即 y=x7z. 答案:B 5.已知 1<m<n,令 a=(lognm)2,b=lognm2,c=logn(lognm) ,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 解析:∵1<m<n,∴0<lognm<1. ∴logn(lognm)<0. 答案:D ●典例剖析 【例 1】 已知函数 f(x)=则 f(2+log23)的值为 A. B. C. D. 剖析:∵3<2+log23<4,3+log23>4, ∴f(2+log23)=f(3+log23)=()3+log23=. 答案:D 【例 2】 求函数 y=log2|x|的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间. 解:∵|x|>0, ∴函数的定义域是 {x|x∈R 且 x≠0} .显然 y=log2|x|是偶函数, 它的图象关于 y 轴对称. 又知当 x>0 时,y=log2|x|y=log2x.故可画出 y=log2|x|的图象如下图.由图象易见, 其递减区间是(-∞,0) ,递增区间是(0,+∞). 评述:研究函数的性质时,利用图象更直观. 深化拓展 已知 y=log[a2x+2(ab)x-b2x+1] (a、b∈R+) ,如何求使 y 为负值的 x 的取值范围? 提示:要使 y<0,必须 a2x+2(ab)x-b2x+1>1,即 a2x+2(ab)x-b2x>0. ∵b2x>0, ∴()2x+2()x-1>0. ∴()x>-1 或()x<--1(舍去). 再分>1,=1,<1 三种情况进行讨论. 答案:a>b>0 时,x>log(-1) ; a=b>0 时,x∈R; 0<a<b 时,x<log(-1). 【例 3】 已知 f(x)=log[3-(x-1)2] ,求 f(x)的值域及单调区间. 解:∵真数 3-(x-1)2≤3, ∴log[3-(x-1)2]≥log3=-1,即 f(x)的值域是[-1,+∞).又 3-(x-1)2>0, 得 1-<x<1+,∴x∈(1-,1]时,3-(x-1)2 单调递增,从而 f(x)单调递减;x∈ [1,1+)时,f(x)单调递增. 特别提示 讨论复合函数的单调性要注意定义域. ●闯关训练 夯实基础 1.(2004 年天津,5)若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小

值的 3 倍,则 a 等于 A. B.

C.

D.

解析:∵0<a<1,∴f(x)=logax 是减函数. ∴logaa=3·loga2a.∴loga2a=. ∴1+loga2=.∴loga2=-.∴a=. 答案:A 2.函数 y=log2|ax-1|(a≠0)的对称轴方程是 x=-2,那么 a 等于 A. B.- C.2 D.-2 解析:y=log2|ax-1|=log2|a(x-)|,对称轴为 x=,由=-2 得 a=-. 答案:B 评述: 此题还可用特殊值法解决,如利用 f(0)=f(-4) ,可得 0=log2|-4a-1|.∴|4a+1|=1. ∴4a+1=1 或 4a+1=-1. ∵a≠0,∴a=-. 3.(2004 年湖南,理 3)设 f -1(x)是 f(x)=log2(x+1)的反函数,若[1+ f -1(a) ] [1+ f -1(b) ]=8,则 f(a+b)的值为 A.1 B.2 C.3 D.log23 解析: ∵f -1 (x) =2x-1, ∴ [1+ f -1 (a) ] [1+ f -1 (b) ] =2a· 2b=2a+b.由已知 2a+b=8, ∴a+b=3. 答案:C 4.(2004 年春季上海)方程 lgx+lg(x+3)=1 的解 x=___________________. 解析:由 lgx+lg(x+3)=1,得 x(x+3)=10,x2+3x-10=0. ∴x=-5 或 x=2. ∵x>0,∴x=2. 答案:2 5.已知 y=loga(3-ax)在[0,2]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围. 解:∵a>0 且 a≠1,∴t=3-ax 为减函数.依题意 a>1,又 t=3-ax 在[0,2]上应有 t>0, ∴3-2a>0.∴a<.故 1<a<. 6.设函数 f(x)=lg(1-x) ,g(x)=lg(1+x) ,在 f(x)和 g(x)的公共定义域内比较|f(x) |与|g(x)|的大小. 解:f(x) 、g(x)的公共定义域为(-1,1). |f(x)|-|g(x)|=|lg(1-x)|-|lg(1+x)|. (1)当 0<x<1 时,|lg(1-x)|-|lg(1+x)|=-lg(1-x2)>0; (2)当 x=0 时,|lg(1-x)|-|lg(1+x)|=0; (3)当-1<x<0 时,|lg(1-x)|-|lg(1+x)|=lg(1-x2)<0. 综上所述,当 0<x<1 时,|f(x)|>|g(x)|;当 x=0 时,|f(x)|=|g(x)|;当-1< x<0 时,|f(x)|<|g(x)|. 培养能力 7.函数 f(x)=log2|x|,g(x)=-x2+2,则 f(x) ·g(x)的图象只可能是 解析:∵f(x)与 g(x)都是偶函数,∴f(x) ·g(x)也是偶函数,由此可排除 A、D. 又由 x→+∞时,f(x) ·g(x)→-∞,可排除 B. 答案:C 8.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2[f(a) ]=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值;

(2)x 取何值时,f(log2x)>f(1)且 log2[f(x) ]<f(1)? 解: (1)∵f(x)=x2-x+b, ∴f(log2a)=log22a-log2a+b. 由已知有 log22a-log2a+b=b, ∴(log2a-1)log2a=0. ∵a≠1,∴log2a=1.∴a=2. 又 log2[f(a) ]=2,∴f(a)=4. ∴a2-a+b=4,b=4-a2+a=2. 故 f(x)=x2-x+2,从而 f(log2x)=log22x-log2x+2=(log2x-)2+. ∴当 log2x=即 x=时,f(log2x)有最小值. (2)由题意 0<x<1. 探究创新 9.(2004 年苏州市模拟题)已知函数 f(x)=3x+k(k 为常数) ,A(-2k,2)是函数 y= f - 1(x)图象上的点. (1)求实数 k 的值及函数 f -1(x)的解析式; (2)将 y= f -1(x)的图象按向量 a=(3,0)平移,得到函数 y=g(x)的图象,若 2 f - 1(x+-3)-g(x)≥1 恒成立,试求实数 m 的取值范围. 解: (1)∵A(-2k,2)是函数 y= f -1(x)图象上的点, ∴B(2,-2k)是函数 y=f(x)上的点. ∴-2k=32+k.∴k=-3. ∴f(x)=3x-3. ∴y= f -1(x)=log3(x+3) (x>-3). (2)将 y= f -1(x)的图象按向量 a=(3,0)平移,得到函数 y=g(x)=log3x(x>0) , 要使 2 f -1(x+-3)-g(x)≥1 恒成立,即使 2log3(x+)-log3x≥1 恒成立,所以有 x++2 ≥3 在 x>0 时恒成立,只要(x++2)min≥3. 又 x+≥2(当且仅当 x=,即 x=时等号成立) ,∴(x++2)min=4,即 4≥3.∴m≥. ●思悟小结 1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的. 2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时, 可以首先将它们与零比 较,分出正负;正数通常都再与 1 比较分出大于 1 还是小于 1,然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下,求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式知识及函数单调性在这类问 题上的应用. ●教师下载中心 教学点睛 1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数, 所以它 们有许多类似的性质,掌握对数函数的性质时,与掌握指数函数的性质一样,也要结合图象 理解和记忆. 2.由于在对数式中真数必须大于 0,底数必须大于零且不等于 1,因此有关对数的问题已成 了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时,要强化这方面的意识. 拓展题例 【例 1】 求函数 y=2lg(x-2)-lg(x-3)的最小值. 解:定义域为 x>3, 原函数为 y=lg. 又∵===(x-3)++2≥4,

∴当 x=4 时,ymin=lg4. 【例 2】 (2003 年北京宣武第二次模拟考试)在 f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=2x,f4 (x)=logx 四个函数中,x1>x2>1 时,能使[f(x1)+f(x2) ]<f()成立的函数是 A.f1(x)=x B.f2(x)=x2 C.f3(x)=2x D.f4(x)=logx 解析:由图形可直观得到:只有 f1(x)=x 为“上凸”的函数. 答案:A


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