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圆锥曲线新题赏析 课后练习二 详解


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学科:数学 轮次:高考总复习课程 专题:圆锥曲线新题赏析 主讲教师:李颖 北京五中数学高级教师

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高考总复习课程 专题:圆锥曲线新题赏析 主讲教师:李颖
题一 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的直线 2 a b 2

与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

uur u

uu r

题二

直线 y ? 2k 与曲线 9k 2 x2 ? y2 ? 18k 2 x 的公共点的个数是( A、1
题三



B、2

C、3

D、4

N 已知两点 M (?1, 0) 、 (1, 0) , P 为坐标平面内的动点, 点 满足 | MN | ? | NP |? MN ?MP ,

???? ?

??? ?

???? ???? ?

若点 A ? t , 4? 是动点 P 的轨迹上的一点, K (m,0) 是 x 轴上的一动点,给出下列三个 结论: ①当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相离; ②当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相切; ③当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交. 其中,所有正确结论的序号是
题四 已知直线 l 与曲线 C :

.

x2 y 2 ? ? 1 交于 A,B 两点,AB 的中点为 M , 若直线 AB 和 OM ( O m n
n . m

为坐标原点)的斜率都存在,则 k AB ? kOM ? ?

这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”. (Ⅰ)证明有心圆锥曲线的“垂径定理” ; (Ⅱ)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题:

1

① 过点 P(1,1) 作直线 l 与椭圆 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 交于 A,B 两点,求 AB 的中点 M 的轨迹 W 4 2

② 过点 P (1,1) 作直线 l ? 与有心圆锥曲线 C? : kx2 ? y 2 ? 1(k ? 0) 交于 E、F 两点,是否存 在这样的直线 l ? 使点 P 为线段 EF 的中点?若存在,求直线 l ? 的方程;若不存在,说明 理由. 题五 若椭圆 E1 :

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和椭圆 E 2 : 2 ? 2 ? 1 满足 a12 b1 a 2 b2
(m ? 0) ,则称这两个椭圆相似, m 称为
x2 y2 ? ? 1 相似的椭圆 4 2

a1 b1 ? ?m a2 b2
其相似比。

(1)求经过点 (2, 6 ) ,且与椭圆

方程。 (2)设过原点的一条射线 l 分别与(1)中的两个椭圆交于 A、B 两点(其中点 A 在线段 OB 上) ,求 OA ? 题六

1 的最大值和最小值. OB

3 x2 y2 7), 且 设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P (3, 4 a b

离心率 e ?
y

7 . 4
B

(Ⅰ )求椭圆C的方程; (Ⅱ )过点 A(2,0) 的动直线 AB 交椭圆于点 M 、 (其中点 N 位于点 A 、 B 之间) ,且交直 线l : x ? 8
O
M A N

N, x

l

于点 B (如图) .证明: | MA | ? | NB |?| AN | ? | MB | .

课后练习答案及详解如下: 题一 答案:选 B. 详解:设直线 l 为椭圆的右准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B1 为垂足,过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E,由第二定义得 | A1 A |?

??? ? ??? ? | BF | ,, AF ? 3FB ,得 | A1 A |? 3 e
2

| AF | | BF | , | B1 B |? ,由 e e

∴ cos ?BAE ? 选 B. 题二 答案:选 D

6 | AE | 1 3 ,∴ sin ?BAE ? , tan ?BAE ? 2 ,即 k= 2 ,故 ? ? 3 | AB | 2e 3

详解: 曲线 9k 2 x2 ? y2 ? 18k 2 x 的图象是关于坐标轴对称的图形。

y2 ? 1 ,这是两个椭圆,与直线 y ? 2 选择题中, 可取 k ? 1 , 原方程变为 ( x ? 1) ? 9
2

有 4 个公共点,选 D
题三

答案:②

???? ? ??? ? ???? 详解:设 P( x, y) ,则 MN ? (2,0) , NP ? ( x ?1, y) , MP ? ( x ?1, y) .由
???? ??? ???? ???? ? ? ? | MN | ? | NP |? MN ? MP ,

得 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2( x ? 1) ,化简得 y 2 ? 4x . 所以动点 P 的轨迹方程为 y 2 ? 4x . 由点 A ? t , 4? 在轨迹 y 2 ? 4x 上,则 42 ? 4t ,解得 t ? 4 ,即 A? 4,4? . 当 m ? 4 时,直线 AK 的方程为 x ? 4 ,此时直线 AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相离. 当 m ? 4 时,直线 AK 的方程为 y ? 圆心 (0, 2) 到直线 AK 的距离 d ?
2m ? 8 16 ? ( m ? 4) 2 2m ? 8 16 ? ( m ? 4) 2 2m ? 8 16 ? ( m ? 4) 2
4 ( x ? m) ,即 4 x ? (m ? 4) y ? 4m ? 0 , 4?m

2m ? 8 16 ? ( m ? 4) 2



令d ?

? 2 ,解得 m ? 1 ;

令d ?

? 2 ,解得 m ? 1 ;

令d ?

? 2 ,解得 m ? 1 .

综上所述,当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交;当 m ? 1 时,直线 AK

3

与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相切;当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相离.正确 结论的序号是②.
题四 答案:轨迹 W 的方程为 x2 ? 2 y 2 ? x ? 2 y ? 0 ;故当 k ? ?1 时,存在这样的直线,其直线 方程为 y ? ?kx ? k ? 1;当 k ? ?1, 且k ? 0 时,这样的直线不存在. 详解: (Ⅰ)证明 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 )

( x1 ? x2 )

? x12 y12 ? ?1 ? ?m n ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ?m n ?
相 减 得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 m n







x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0


2 x0 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? ?0 ? m n( x1 ? x2 )
(Ⅱ)①设 M ( x, y ), 则k AB ? 即

y0 y1 ? y2 n ? ?? x0 x1 ? x2 m



k AB ? kOM ? ?

n m

y ?1 y 1 , kOM ? 由垂径定理, k AB ? kOM ? ? x ?1 x 2 y ?1 y 1 ? ?? 化简得 x2 ? 2 y 2 ? x ? 2 y ? 0 x ?1 x 2

当 AB 与 x或y 轴平行时, M 的坐标也满足方程. 故所求 AB 的中点 M 的轨迹 W 的方程为 x ? 2 y ? x ? 2 y ? 0 ;
2 2

② 假设过点 P(1,1) 作直线 l ? 与有心圆锥曲线 C? : kx ? y ? 1 交于 E、F 两点,且 P
2 2

为 EF 的中点,则 kEF ? kOP ? ?k 直 线 l? : y ? k ? (

由于 kOP ? 1,

?

kEF ? ?k

x 1 ) ?, 即 y ? ?k x ? k ? 代 入 曲 线 C ? 的 方 程 得 ? 1 1 ,

kx2 ? (?kx ? k ? 1)2 ? 1


k (k ? 1) x2 ? 2k (k ? 1) x ? k (k ? 2) ? 0
2 2 2

由 ? ? 4k (k ? 1) ? 4k (k ? 1)(k ? 2) ? 0 得 k ? ?1 . 故当 k ? ?1 时,存在这样的直线,其直线方程为 y ? ?kx ? k ? 1;
4

当 k ? ?1, 且k ? 0 时,这样的直线不存在.

题五

9 x2 y2 1 1 5 2 ? ? 1 ;OA ? 答案: 椭圆方程为 的最大值为 ,OA ? 的最小值为 。 4 16 8 4 OB OB

? 2 2 ? ?a 2 ? 16 x2 y2 ? a? b 详解:(1)设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,则有 ? 解得 ? 2 a b ?b ?8 ? 4 ? 6 ?1 ?a2 b2 ?
∴所要求的椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 16 8

(2)①当射线与 y 轴重合时, OA ?

1 1 5 2 = 2? ? OB 4 2 2

②当射线不与坐标轴重合时,由椭圆的对称性,我们仅考察 A、B 在第一象限的情形。 设其方程为 y ? kx ( k ? 0, x ? 0 ) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 )

? 2 ? y ? kx ? x1 ? ? 由 ? x2 解得 ? y2 ? ?1 ? y12 ?4 2 ? ? ? ? 2 ? y ? kx ? x1 ? ? 由 ? x2 解得 ? y2 ? ?1 ? y12 ? 16 8 ? ? ?

4 1 ? 2k 2 4k 2 ? 1 ? 2k 2 16 ? 1 ? 2k 2 16k 2 ? 1 ? 2k 2 ?

OA ?

2 k 2 ?1 1 ? 2k 2

OB ?

4 k 2 ?1 1 ? 2k 2

OA ?

2 k 2 ?1 1 ? 2k 2 1 ? ? OB 1 ? 2k 2 4 k 2 ? 1

令t ?

知 2 ?t ?2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 1 1 OA ? ? t ? , 记 f (t ) ? t ? ,则 f (t ) 在 ( 2 ,2] 上是增函数,∴ 2t 2t OB

2 k 2 ?1

则由 t ?

2 k 2 ?1

?

4k 2 ? 4 2 ? 2? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

f ( 2 ) ? f (t ) ? f (2) ,


9 5 1 9 1 1 的最大值为 , OA ? 的最小值 2 ? OA ? ? 由①②知, OA ? 4 4 OB 4 OB OB

5



5 2 。 4

题六 答案:椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1. 16 9
b2 9 x2 y2 2 ? 1? e ? ? ? m, ,故可设所求椭圆方程为 16 16 9 a2
m ? 1.

详解: (Ⅰ )

由已知,得

将点 P (3,

3 7 ) 的坐标代入上式,得 4

∴ 所求椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ?1 16 9

(Ⅱ )
| MA | | MB |

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,要证原等式成立,只要证
? | AN | | NB |

?

2 ? x1 x2 ? 2 ? 8 ? x1 8 ? x2

? 5( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 16 .??? ① 以下证明①式成立.
证明:设 MB: y ? k ( x ? 2) ,由
? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? (9 ? 16k 2 ) x 2 ? 64k 2 x ? 64k 2 ? 144 ? 0 y2 ?x ? 16 ? 9 ? 1 ?

由韦达定理,得

x1 ? x 2 ?

64k 2 64k 2 ? 144 , x1 x 2 ? , 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2

64k 2 64k 2 ? 144 16(9 ? 16k 2 ) ? ? ? 16 ∴ 5( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 5 ? 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2

于是,①式得证. 另证:∵ M 、 A 、 N 、 B 共线, ∴ 可设 MA ? ? MB , AN ? ? NB , (? , ? ? 0)
6

又设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , B(8, y ) ,
?2 ? x1 ? ? (8 ? x1 ) ? ? ? y1 ? ? ( y ? y1 )

于是,有



? x 2 ? 2 ? ? (8 ? x 2 ) ? ? y2 ? ? ( y ? y2 )

?

8? ? 2 ? ? x1 ? ? ? 1 ? ?y ? y1 ? ? ?1 ?



8? ? 2 ? ? x2 ? ? ? 1 ? , ? ?y ? y2 ? ? ? ?1 ?

2 ? ? 8? ? 2 ? 2 ? ?y ? ? ? 16? ? ? 144 ? 9? ? ? ? ?1 ? ? ? ?1? ∵ M 、 N 在椭圆上,∴ ? 2 2 ?9? 8? ? 2 ? ? 16? ?y ? ? 144 ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?

?

? 9(4? ? 1) 2 ? 4(?y) 2 ? 36(? ? 1) 2 , ? 2 2 2 ?9(4? ? 1) ? 4( ?y) ? 36( ? ? 1)
(? ? ? )( y 2 ? 27) ? 0 , ∴ ? ? ?

两式相减并整理,得:

? | MA | | MB | ?| MA |? ? | MB | ? 于是由假设得: ? ? ? | MA | ? | NB |?| AN | ? | MB | . ?| AN |? ? | NB | | AN | | NB | ?

7


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