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2012-2013(2)线性代数试题(B)解答


院、系领导 审批并签名

B 卷

广 州 大 学 2012-2013 学 年 第 二 学 期 考 试 卷 解 答
课 程:线性代数Ⅰ、Ⅱ 考 试 形 式:闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________ 题 次 分 数 得

分 一 30 二 10 三 10 四 10 五 10 六 10 七 8 八 12 九 十 总 分 评卷人 100

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,总计 30 分)

a1 a2
1.已知 b1

a3 c3

a1 a3

2c1 ? 5b1 2c3 ? 5b3

3b1
-6 ).

b2 c2

b3 ? 1 ,则 a2

2c2 ? 5b2 3b2 ? ( 3b3

c1
2.设 A ? ?

?1 1? 2010 2009 ? 1 1? ,则 ( A ? 2 ? ?1 1? ). ?1 1? ? ? ?1 3.设 A 为 3 阶矩阵,且 | A | ? 2 ,则 | 2 A | ? ( 4 ). ? 1 2 3? 4.已知 A 为 2 阶可逆矩阵, B ? ? ? ,则秩 R( AB) ? ( 2 ? 0 4 5? 5.若向量组 (1,1,1), (2, 3, 4), (1, 2, a) 线性相关,则 a ? ( 3 ). * 6.已知 3 阶方阵 A 的特征值为1, 2, 3 ,则 | A | ? ( 36 ). 1 T 1 A ?( 7.设 A 为 3 阶矩阵,且 A ? 3 ,则 ). 3 9 * 8.设 3 阶矩阵 A 的秩 R( A) ? 2 ,则 R( A ) ? ( 1 ). 9.方程组 Ax ? b 无解的充要条件为( R( A, b) ? R( A) ).
?1

).

? E O? ?E O? 10.设 A 为 n 阶矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,则 ? ?( ? ? ). ? ? A E A E ? ? ? ?

第 1 页 共 5 页《线性代数》

二、 (本题满分为 10 分)

1 3 5 7 1 5 3 3 计算行列式 D ? . 2 3 8 5 1 3 8 9
1 3 5 7 0 2 ?2 ?4 ?2 解: D ? 0 ?3 ?2 ?9 0 0 3 2 1 0 ?2 0 0 1 0 ? 10 0 0 3 5 7 1 ?1 ?2 ? 10 0 ?5 ?15 0 3 2 1 3 5 7 0 1 ?1 ?2 ------5 分 0 ?3 ?2 ?9 0 0 3 2 1 0 0 0 3 5 7 1 ? 1 ?2 ------7 分 0 ? 1 ?3 0 3 2

3 5 7 1 ?1 ?2 ? 70 ------10 分 0 ?1 ?3 0 0 ?7

三、 (本题满分为 10 分)

?1 0 0 ? ?1 1 0 求矩阵 ? ? ?1 ?1 1 ? ? ?1 ?1 ?1
?1 ? ?1 解: ( A, I ) ? ? ?1 ? ? ?1 ?1 0 ?0 1 r ?? ?? 0 0 ? ?0 0 ?1 ?1 A?1 ? ? 2 ? ?4 0 1 1 2 0 1 ?1 ?1 0 0 1 ?1 0 0 1 1

0? 0? ? 的逆矩阵. 0? ? 1?
0 0 1 ?1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0? ?1 0 ? ?0 1 0 r ?? ?? ? 0 0 ?1 ? ? 1? ? 0 ?1 ?1 0 0 0 ?0 1 0 0 r ?? ?? 0 0 1 0 ? ?0 0 0 1 0 0 1 ?1 1 1 2 4 0 0 0 1 0 1 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0? 0? 0? ? 1?

0 0 0 1

1 1 2 2

0? 0? 0? ? 1?

0? 0? ------8 分 0? ? 1?

0? 0? ------10 分 0? ? 1?

第 2 页 共 5 页《线性代数》

四、 (本题满分为 10 分)

x1 ? 7 x2 ? 8 x3 ? 9 x4 ? 0, ? ? 解方程组 ? 2 x1 ? 3x2 ? 3x3 ? 2 x4 ? 0, ?4 x ? 11x ? 13x ? 16 x ? 0. 2 3 4 ? 1
解:对方程组的系数矩阵 A 施行初等行变换: 3 ? 1 0 ? 17 ? 1 7 ?8 9 ? ? 1 7 ?8 9 ? ? ? r ? ? r ? 19 A ? ? 2 ?3 3 ?2 ? ?? ? ? 0 ?17 19 ?20 ? ?? ? ? 0 1 ? 17 ? 4 11 ?13 16 ? ? 0 ?17 19 ?20 ? ?0 0 0 ? ? ? ? ? 于是得同解方程组 3 13 ? x1 ? x3 ? x4 ? 0, ? ? 17 17 ------7 分 ? ? x ? 19 x ? 20 x ? 0. 2 3 4 ? 17 17 ? 令自由未知元 x3 ? k1 , x4 ? k2 ,得原方程组的通解为
3 13 ? x1 ? ? 17 ? ? ? 17 ? ?x ? ? 19 ? ? ? 20 ? ? 2 ? ? k1 ? 17 ? ? k2 ? 17 ? ,( k1 , k2 为任意数)------10 分 ? x3 ? ?1? ? 0 ? ?x ? ?0? ? 1 ? ? 4? ? ? ? ?
13 17 20 17

? ? ? ---5 分 0? ?

五、 (本题满分为 10 分)

?1 ?2 求矩阵 ? ?1 ? ?0
?1 ? 2 解: ? ?1 ? ?0

4 1 0? 1 ?1 ?3 ? ? 的行最简形和秩. 0 ?3 ?1 ? ? 2 ?6 3 ?
0? ? 9? ?1? ? 3?

4 1 0? 1 ?1 4 1 0 ? ?1 4 ? ? ? r2 ? 4 r4 ? 1 ?1 ?3 ? r ? 0 ?7 ?3 ?3 ? 0 1 ?27 ?? ?? ?? ? ? 0 ?4 ?4 ?1 ? ? 0 ?4 ?4 0 ?3 ?1 ? ? ? ? ? 2 ?6 3 ? ? 0 2 ?6 3 ? ? 0 2 ?6 31 ? 1 0 0 ? 16 ? ? 1 0 109 ?36 ? ? ? ? 9 ? 0 1 ?27 9 ? r ? 0 1 0 16 ? r ?? ? ,------8 分 ?? ?? 5 ? ? 0 0 1 ? 16 ? 0 0 ?112 35 ? ? ? ? ? ?0 0 0 0 ? ? 0 0 48 ?15 ? 由所得行最简形知,所求秩为 3.------10 分

第 3 页 共 5 页《线性代数》

六、 (本题满分为 10 分) 求下面向量组的秩和一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组线性表示.

? 2 ?3 8 2 ? ?. (a1 , a2 , a3 , a4 ) ? ? 2 12 ? 2 12 ? ? ?1 3 1 4 ? ? ?
?1 3 1 4 ? ? ? ? ? 2 12 ?2 12 ? 解: (a1 , a2 , a3 , a4 ) ?? ? 2 ?3 8 2 ? ? ? 1 4 ? ?1 3 ?1 0 3 2? ? ? r ? r 2? ?? ? ? 0 6 ?4 4 ? ?? ??0 1 ? 2 3 3 ? ,------6 分 ? 0 ?15 10 ?10 ? ?0 0 0 0? ? ? ? ? 由此可知 a1 , a2 , a3 , a4 的秩为 2,一个最大无关组为 a1 , a2 ,------8 分
r

且有 , a4 ? 2a1 ? 2 .------10 分 a3 ? 3a1 ? 2 3 a2 3 a2

七、 (本题满分为 8 分) 已知向量组

A : a1 ? (0,1,1), a2 ? (1,1, 0) ; B : b1 ? (?1, 0,1), b2 ? (1, 2,1), b3 ? (3, 2, ? 1) .
证明向量组 A 与向量组 B 等价. T T T T 证明:记 A ? (a1 , a2 ) , B ? (b1T , b2 , b3 ) ,则
? ?1 1 3 0 1 ? ? ? ( B, A) ? ? 0 2 2 1 1 ? ? 1 1 ?1 1 0 ? ? ? ? ?1 1 3 0 1? ? ?1 1 3 0 1 ? ? ? r ? ? r ?? ? ? 0 2 2 1 1? ?? ? ? 0 2 2 1 1 ? ------4 分 ? 0 2 2 1 1? ? 0 0 0 0 0? ? ? ? ? 可知 R( B) ? R( B, A) ? 2 . 易知 a1 , a2 线性无关,故 R( A) ? 2 . 因此,
R( A) ? R( B) ? R( B, A) , 从而向量组 A 与向量组 B 等价.------8 分

第 4 页 共 5 页《线性代数》

八、 (本题满分为 12 分)

? 4 6 0? ? ? 求矩阵 A ? ?3 ?5 0 的特征值和特征向量. ? ? ? ?3 ?6 1 ? ? ?
解:方阵 A 的特征多项式为

? ?4
| ?I ? A | ? 3 3

?6 0 ? ? 5 0 ? (? ? 2)(? ? 1) 2 , 6 ? ?1

所以方阵 A 的特征值为 ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 ? 1.------6 分 当 ?1 ? ?2 时,解方程组 (?2 I ? A) x ? 0 ,得基础解系
? ?1? p1 ? ? 1 ? , ? ? ?1? 所以方阵 A 对应于 ?1 ? ?2 的全部特征向量为 k1 p1 (k1 ? 0) .------9 分

当 ?2 ? ?3 ? 1时,解方程组 ( I ? A) x ? 0 ,得基础解系
? ?2 ? ?0? ? ? p2 ? 1 , p3 ? ? 0 ? , ? ? ? ? ? 0? ?1? 所以方阵 A 对应于 ?2 ? ?3 ? 1的全部特征向量为

k2 p2 ? k3 p3 ( k2 , k3 不同时为零).------12 分

第 5 页 共 5 页《线性代数》


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