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参数方程的应用 直线的参数方程 课件


4.4.3

参数方程的应用(4) -----直线的参数方程

一、课题引入
在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么?

根据直线的几何条件,你认为用哪个几何条件来建立 参数方程比较好?
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线

根据直线的这个几何条件,你认为应当怎样选择参数?

二、新课讲授
设 e是与直线l平行且方向向上(的倾斜角不为 ) l 0 或向右(l的倾斜角为0 )的单位方向向量(单 位长度 与坐标轴的单位长度相 同)
设直线l的倾斜角为 ,定点M 0、动点M的坐标 ? 分别为( x0 , y0 )、x , y ) (

(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 ? ? e

( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标?
(1) e ? (cos ? , sin? )
( 2) M 0 M ? ( x , y ) ? ( x 0 , y 0 ) ? ( x ? x 0 , y ? y 0 )
又 ? M 0 M // e ? 存在惟一实数 ? R,使得 M 0 M ? t e t

注:()直线的参数方程中哪 1 些是变量?哪些是常量 ? ( )参数t的取值范围是什么? 2 ( )该参数方程形式上有 3 什么特点?

? x ? 3 ? t sin 200 B ()直线? 1 (t为参数)的倾斜角是( ) 0 ? y ? t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
? 2 x ? 1? t ? ? 2 (t为参数) ? ?y? 2t 。 ? 2 ?

(2 )直线x ? y ? 1 ? 0的一个参数方程是

直线的参数方程中参数的几何意义是: t t 表示参数t对应的点M 到定点M 0的距离。当M 0 M与e同向时,t取正数;当M 0 M与e异向时, t取负数;当点 与M 0 重合时,t ? 0. M

三、例题讲解
?0 ? x ? y ? 1 如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样 解:由? 得:2 ? x ? 1 ? 0 x (*) 2 ?y? x 求解本题呢? ?由韦达定理得:1 ? x2 ? ?1,x1 ? x2 ? ?1 x ? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ? 5 ? 10
由(*)解得:x1 ? ?1? 5 ?1? 5 ,x 2 ? 2 2

3? 5 3? 5 ? y1 ? ,y2 ? 2 2
记直线与抛物线的交点 A( 坐标
则 MA ? MB ? ( ?1 ?

?1? 5 3? 5 ?1? 5 3? 5 , ),B( , ) 2 2 2 2

?1? 5 2 3? 5 2 ?1? 5 2 3? 5 2 ) ? (2 ? ) ? ( ?1 ? ) ? (2 ? ) 2 2 2 2

? 3? 5 ? 3? 5 ? 4 ? 2

()如何写出直线的参数方程? 1 l



()如何求出交点 ,B所对应的参数1,t 2 ? 2 A t


( ) AB 、 ? MB 与t1,t 2有什么关系? 3 MA

() M 1 M 2 ? t1 ? t 2 1

t1 ? t 2 () t ? 2 2

四、课堂练习

四、课堂小结
本节课我们主要学习了 直线的参数方程的推导 及其简单应用, 学习后要把握以下几个 知识点:

()直线的参数方程与普 1 通方程 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 )的联系;

()直线的参数方程与向 2 量知识的联系;

()参数t的几何意义; 3
( )应用:用参数表示点的坐标、直线上 4 t 两点间的距离、直 线被曲线所截得的弦的 长,与中点对应的参数. t


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