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北京四中2013届高三上学期期中数学(文)试题


北京四中 2012-2013 年度第一学期高三年级期中数学试题及答案(文)

试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作 答无效。 第一部分(选择题,共 40 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 40 分, 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项.) 1. 已知集合 A. B. C. , D. ,则

( )

2. “

”是“

”的( ) B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 的前 项和,若 C. 9 D. 12 为两条直线,且 . 那么( ) B.①是假命题,②是真命题 D.①、②都是假命题 一定是 ,有如下两个命题: ,则 ( )

A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 3. A. 15 4. 设 ①若 是等差数列 B. 18

为两个平面, ;②若

A.①是真命题,②是假命题 C.①、②都是真命题 5. 若 ( ) A. 等边三角形 6. 将函数 是

所在平面内的一点,且满足( BO+OC )?( OC-OA )=0,则

B. 等腰直角三角形 的图象按向量

C. 直角三角形 平移后得到

D. 斜三角形

图象对应的函数解析式是( ) A. C. B. D.

7.已知函数

的部分图象如图所示,则

1

函数

的解析式为( )

A.

B.

C.

D.

8. 已知函数 ①若 ② ,则 的最小正周期是 ;

,给出下列四个说法: ;



在区间

上是增函数;



的图象关于直线

对称.

其中正确说法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

第二部分(非选择题,共 110 分) 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分) 9. 函数 10. 向量 , 满足 弦值等于______. 11.已知函数 的最小正周期是 ,则正数 ______. 的递增区间是______. ,且 , ,则 , 夹角的余

12. 湖面上漂着一个小球, 湖水结冰后将球取出, 冰面上留下了一个直径为 12 cm, 2 cm 深 的空穴,则该球的半径是______cm,表面积是______cm?.

2

13.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是______.

14. 如上页图,一条螺旋线是用以下方法画成:

是边长为 1 的正三角形,曲线

分别以 然后又以 圆心 示即可) 为

为圆心,

为半径画的弧,曲线

称为螺旋线旋转一圈.

为半径画弧…,这样画到第 圈,则所得整条螺旋线的长度

______.(用



三、 解答题: (本大题共 6 小题, 80 分. 解答应写出文字说明, 共 演算步骤或证明过程.) 15.(本小题满分 13 分) 在 中, ; ,求 的面积. . , .

(Ⅰ)求角 (Ⅱ)设

16.(本小题 13 分) 已知函数 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 函数图象的对称轴方程; 的单调增区间;

(Ⅲ)当 17.(本小题满分 13 分) 如图,正三棱柱

时,求函数

的最大值,最小值.

中,D 是 BC 的中点,

3

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)求三棱锥 18.(本小题满分 13 分)

; ; 的体积.

已知各项都不相等的等差数列 (Ⅰ)求数列 的通项公式

的前六项和为 60,且 ;

的等比中项.

(Ⅱ)若数列 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若当 的值; 恒成立,求 的取值范围; 处取得极值.

的前

项和

(Ⅲ)对任意的 如果不成立, 请说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 设数列 的首项 R),且

是否恒成立?如果成立,给出证明,



(Ⅰ)若 (Ⅱ)若 (Ⅲ)若 ,证明:

; ; ,均有 成立.

,求所有的正整数 ,使得对于任意

【参考答案】
第一部分(选择题,共 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. B

4

2. B 3. D 4. D 5. C 提示:由题意可知,BC?AC = 0,即 BC⊥AC. 6. D 提示:沿向量 7. B 8. B 提示:先化简 f(x)可得,f (x)= ,再利用它的图象和性质解决问题. 平移,即先向右平移 个单位,再向上平移 1 个单位.

第二部分(非选择题,共 110 分) 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分) 9. 提示:注意定义域. 10. 120 11. 2 提示:利用图象的对称变换,可知该函数的周期为 12. 10,400π 提示:设球的半径为 r,画出球与水面的位置关系图,如图: 由勾股定理可知, ,解得 r =10. .

13. 14. n (3n+1)π 提示:设第 n 段弧的弧长为 ,由弧长公式,可得



数列

是以

为首项、

为公差的等差数列.画到第 n 圈,有 3n 段弧,

5

故所得整条螺旋线的长度

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由 , , 得 ,

所以

… 3分

6分







… 7分

(Ⅱ)解:据正弦定理得

,…10 分

所以

的面积为

……13 分

16. (本小题 13 分) 解: (I) . …3 分



.



函数图象的对称轴方程是

……5 分

(II)

6



的单调增区间为

…8 分

(III)

,

…… 10 分

. ……

11 分

当 13 分

时,函数

,最小值为

.

17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC, ∴BD 是 B1D 在平面 ABC 上的射影 在正△ABC 中,∵D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BD, 根据三垂线定理得,AD⊥B1D (Ⅱ)解:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵AA1=AB ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ………………………… 7 分 ∵DE 平面 AB1D,A1C 平面 AB1D,

∴A1C∥平面 AB1D. ……………………9 分 (Ⅲ) 18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,则 …………1 分 又 解得 …………2 分 …………4 分 ……13 分

7

.

…………5 分

…………6 分

(Ⅱ)由

…………9 分

…………13 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵f(x)=x3-

x2+bx+c,
……2 分

∴f′(x)=3x2-x+b. ∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=3-1+b=0. ∴b=-2. 经检验,符合题意. (Ⅱ)f(x)=x3-
2

……3 分 ……4 分

x2-2x+c.
…5 分 1 + 0 - 0 (1,2) + 2

∵f′(x)=3x -x-2=(3x+2)(x-1),

x f′(x)

8

f(x)
……7 分 ∴当 x=- 时,f(x)有极大值 +c.

又 ∴x∈[-1,2]时,f(x)最大值为 f(2)=2+c. ……8 分 2 ∴c >2+c. ∴c<-1 或 c>2. …………10 分 (Ⅲ)对任意的 恒成立.

由(Ⅱ)可知,当 x=1 时,f(x)有极小值

.



…12 分

∴x∈[-1,2]时,f(x)最小值为

.

,故结论成立. ……14 分 20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 所以 a2=-a1+4=-a+4,且 a2∈(3,4) 所以 a3=a2-3=-a+1,且 a3∈(0,1) 所以 a4=-a3+4=a+3,且 a4∈(3,4) 所以 a5=a4-3=a ……4 分 (Ⅱ)证明:当 所以, ②当 所以, 综上, ……8 分 ……6 分

9

(Ⅲ)解:①若 因此,当 k=4m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, ②若 成立 …10 分

因此,当 k=2m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, ③若 因此 k=m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, 综上,若 0<a<1,则 k=4m; 若 a=2,则 k=m. m∈N* ,则 k=2m; ……14 分 , 成立

成立 …12 分

……13 分

10


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