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【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题选讲 第21讲 抽象函数型综合问题(含详解)


抽象函数型综合问题

题型预测 抽象函数型综合问题, 一般通过对函数性质的代数表述, 综合考查学生对于数学符号语 言的理解和接受能力, 考查对于函数性质的代数推理和论证能力, 考查学生对于一般和特殊 关系的认识.可以说,这一类问题,是考查学生能力的较好途径,因此,在近年的高考中, 这一类题目有增多和分量加重的趋势. 范例选讲 例 1. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: 对任意实数 m, n , 总有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? , 且当 x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1. (1)试求 f ? 0 ? 的值; (2)判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论; (3)设 A ?

?? x, y ? f ? x ? ? f ? y ? ? f ?1??, B ? ?? x, y ? f ?ax ? y ? 2 ? ? 1, a ? R? ,
2 2

若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围. (4)试举出一个满足条件的函数 f ? x ? . 讲解:(1)在 f ? m ? n ? ? f ?m ? ? f ?n ? 中,令 m ? 1, n ? 0 .得:

f ?1? ? f ?1? ? f ? 0? .
因为 f ?1? ? 0 ,所以, f ? 0? ? 1. (2)要判断 f ? x ? 的单调性,可任取 x1 , x2 ? R ,且设 x1 ? x2 . 在已知条件 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中, 若取 m ? n ? x2 , m ? x1 , 则已知条件可化为:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ?



由于 x2 ? x1 ? 0 ,所以 1 ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 . 为比较 f ? x2 ?、f ? x1 ? 的大小,只需考虑 f ? x1 ? 的正负即可.
1

在 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? x , n ? ?x ,则得 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 1 . ∵ x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1, ∴ 当 x ? 0 时, f ? x ? ?

1 ?1? 0 . f ??x?

又 f ? 0? ? 1,所以,综上,可知,对于任意 x1 ? R ,均有 f ? x1 ? ? 0 . ∴ f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? 0 . ? ? ∴ 函数 f ? x ? 在 R 上单调递减. (3)首先利用 f ? x ? 的单调性,将有关函数值的不等式转化为不含 f 的式子.

f ? x 2 ? ? f ? y 2 ? ? f ?1? 即x 2 ? y 2 ? 1 ,

f ax ? y ? 2 ? 1 ? f ? 0 ? ,即 ax ? y ? 2 ? 0 .
由 A ? B ? ? ,所以,直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆面 x 2 ? y 2 ? 1无公共点.所以,

?

?

2 a2 ? 1
解得: ?1 ? a ? 1 .

?1.

?1? (4)如 f ? x ? ? ? ? . ? 2?
点评:根据题意,将一般问题特殊化,也即选取适当的特值(如本题中令 m ? 1, n ? 0 ; 以及 m ? n ? x2 , m ? x1 等)是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段;另外,如果能找 到一个适合题目条件的函数,则有助于问题的思考和解决. 例 2.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: (1)值域为 ? ?1,1? ,且当 x ? 0 时, ?1 ? f ? x ? ? 0 ; (2)对于定义域内任意的实数 x , y ,均满足: f ? m ? n ? ? 试回答下列问题: (Ⅰ)试求 f ? 0 ? 的值;

x

f ? m? ? f ? n ? 1 ? f ? m? f ? n ?

2

(Ⅱ)判断并证明函数 f ? x ? 的单调性; ( Ⅲ ) 若 函 数

f ? x?











g ? x?









1 ?1? ?1? ? ? ?1? g ? ? ? g ? ? ?? ? g ? 2 ? ? g? ? . ? 5? ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ? ? 2?
讲 解 : ( Ⅰ ) 在 f

?

m ?n ? ?

f ? m ? ?f ? n ? 中 , 令 m?0 n? 0 则 有 , , 1 ? f ? m ?f ? n ?

f ? m? ?

f ? m? ? f ? 0? .即: f ? m ? ?1 ? f ? m ? f ? 0 ? ? ? f ? m ? ? f ? 0 ? . ? ? 1 ? f ? m? f ? 0?

也即: f ? 0? ? f ? m?

? ?

?

2

?1? ? 0 . ?

由于函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? ,所以, ? f ? m?

? ?

?

2

?1? ? 0 ,所以 f ? 0? ? 0 . ?

( Ⅱ ) 函 数 f ? x ? 的 单 调 性 必 然 涉 及 到 f ? x? ? f ? y ? , 于 是 , 由 已 知

f ? m ? n? ?

f ? m? ? f ? n ? ,我们可以联想到:是否有 1 ? f ? m? f ? n ? f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? ?(*) 1 ? f ? m? f ? n ?

这个问题实际上是: f ? ?n? ? ? f ? n ? 是否成立? 为此, 我们首先考虑函数 f ? x ? 的奇偶性, 也即 f ? ?x ? 与f ? x ? 的关系. 由于 f ? 0? ? 0 , 所以,在 f ? m ? n ? ?

f ? m? ? f ? n ? 中,令 n ? ?m ,得 f ? m? ? f ? ?m? ? 0 . 1 ? f ? m? f ? n ?

所以,函数 f ? x ? 为奇函数.故(*)式成立. 所以, f ? m ? ? f ? n ? ? f ? m ? n ? ?1 ? f ? m ? f ? n ? ? . ? ? 任 取

x1, x2 ? R , 且 x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 , 故

f ? x2 ? x1 ? ? 0 且

?1 ? f ? x2 ? , f ? x1 ? ? 1 .所以,
f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ?1 ? f ? x2 ? f ? x1 ? ? ? 0 ? ?
所以,函数 f ? x ? 在 R 上单调递减.

3

(Ⅲ)由于函数 f ? x ? 在 R 上单调递减,所以,函数 f ? x ? 必存在反函数 g ? x ? ,由原函 数与反函数的关系可知: ? x ? 也为奇函数; ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递减; 且当 ?1 ? x ? 0 时, g g

g ? x? ? 0 .
为了证明本题,需要考虑 g ? x ? 的关系式. 在(*)式的两端,同时用 g 作用,得: m ? n ? g ?

? f ? m? ? f ? n? ? ?, 1? f ? m? f ? n? ? ?

令 f ? m? ? x, f ? n? ? y ,则 m ? g ? x ? , n ? g ? y ? ,则上式可改写为:

? x? y ? g ? x? ? g ? y ? ? g ? ?. ? 1 ? xy ?
不难验证:对于任意的 x, y ? ? ?1,1? ,上式都成立.(根据一一对应). 这样,我们就得到了 g ? x ? 的关系式.这个式子给我们以提示:即可以将 成

1 写 n ? 3n ? 1
2

x? y 的形式,则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端. 1 ? xy
事实上,由于

1 1 ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1 1 n ?1 n ? 2 , ? ? ? 2 1 n ? 3n ? 1 ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1? ? ? ?? ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ?1? ? n ? 2 ?
所以, g ?

1

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? g? ??g? ?. 2 ? n ? 3n ? 1 ? ? n ?1? ? n?2? 1 ?1? ? ? ? ??? g ? 2 ? ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ?

所以, g ? ? ? g ?

?1? ? 5?

? ?1? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? 1 ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? ? g ? ?? g? ?? ? 3 ?? ? ? 3 ? ? 4 ?? ? n ? 2 ?? ? ? 2? ? ? n ?1? ?1? ? 1 ? ? g? ??g? ? ? 2? ? n?2? 1 ? ?1? ? ?1? ? g? ?? g?? ? ? g? ? ? 2? ? n?2? ? 2?
点评:一般来说,涉及函数奇偶性的问题,首先应该确定 f ? 0 ? 的值.

4

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