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高考数学 一轮复习 随堂训练 函数及其表示(教师版)


第一节 函数及其表示
一、求函数的定义域 1、确定函数的定义域的原则 (1)当函数 y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域是指表格中实数 x 的集合; (2)当函数 y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域是指图象在 x 轴上的投影所覆盖的实 数的集合; (3)当函数 y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合; (4)当函数 y=f(x)

由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定。 2、确定函数定义域的依据 (1)若 f(x)是整式,则定义域为全体实数; (2)若 f(x)是分式,则定义域为使分式的分母不为零的 x 取值的集合; (3)当 f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负的 x 取值的集合; (4)当 f(x)是非正数指数幂时,定义域是使幂的底数不为 0 的 x 取值的集合; (5)若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f(g(x))定义域由不等式 a≤g(x)≤ b 解出; (6)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b], f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值域。 则 3、例题解析

〖例 1〗(1)函数 (A)[-4,1] (C)(0,1]

的定义域为( (B)[-4,0) (D)[-4,0)∪(0,1]

)

(2)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),求 f(x)的定义域. 解析: (1)本题是判断函数的定义域,实际上是求使函数解析式有意义的 x 的集合,先列出 不等式(组),然后再解不等式(组),求出解集;(2)注意在对应法则 f 下,函数 f(2x+1)中 2x+1 的 范围与函数 f(x)中 x 的范围相同. 解答:(1)选 D.

要使 x≠0 -x2-3x+4≥0 ,

有意义,则有:

解得:-4≤x<0 或 0<x≤1.
-1-

所以所求函数的定义域为[-4,0)∪(0,1]. (2)∵函数 f(2x+1)的定义域为(0,1), ∴1<2x+1<3, ∴f(x)的定义域为(1,3). 【规律方法】求函数定义域的方法 (1)求具体函数 y=f(x)的定义域:

(2)求抽象函数的定义域: ①若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤ b 求出. ②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值 域. 提醒:定义域必须写成集合或区间的形式. 〖例 2〗设函数 f ( x ) ? ? A. ( ? 3 ,1) ? ( 3, ?? ) C. ( ? 1,1) ? ( 3, ?? ) 解析
? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ? x ? 6, x ? 0

则不等式 f ( x ) ? f (1) 的解集是( A )

B. ( ? 3 ,1) ? ( 2 , ?? ) D. ( ?? , ? 3 ) ? (1,3 )

由已知,函数先增后减再增

当 x ? 0 , f ( x ) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x ) ? 3 , 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ? 3 故 f ( x ) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或 x ? 3
-2-

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等式的求解 〖例 3〗试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)=
x
2

,g(x)=

3

x

3


x ? 0, x ? 0;
2 n ?1

|x|

(2)f(x)= (3)f(x)= (4)f(x)=

?1 ? x ,g(x)= ? ? 1
x
2 n ?1

2 n ?1

,g(x)=(

x

)2n-1(n∈N*) ; ;

x

x ? 1 ,g(x)=

x

2

? x

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。 解: (1)由于 f(x)= 以它们不是同一函数;
|x|
x
2

=|x|,g(x)=

3

x

3

=x,故它们的值域及对应法则都不相同,所

(2)由于函数 f(x)=

x

的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ,而

?1 ? g(x)= ? ? 1

x ? 0, x ? 0;



定义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n∈N*时,2n±1 为奇数, ∴f(x)=
2 n ?1

x

2 n ?1

=x,g(x)=(

2 n ?1

x

)2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所

以它们是同一函数; (4)由于函数 f(x)=
x x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而

g(x)=

x

2

? x

的定义域为{x|x

≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数 〖例 4〗求下列函数的值域:
y ? 3x ? x ? 2
2

(1)

; (2)

y ?

?x ? 6x ? 5
2

; (3)

y ?

3x ? 1 x?2



2 (4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x ; (6) y ? | x ? 1 | ? | x ? 4 | ;

(7)

y ?

2x ? x ? 2
2

x ? x ?1
2


? y ? 3 x ? x ? 2 ? 3( x ?
2

1 6

解: (配方法) (1)

) ?
2

23 12

?

23 12





y ? 3x ? x ? 2
2

的值域为 1 2

[

23

, ?? )

-3-

2 改题:求函数 y ? 3 x ? x ? 2 , x ? [1, 3] 的值域

2 解: (利用函数的单调性)函数 y ? 3 x ? x ? 2 在 x ? [1, 3] 上单调增

∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 2 6
2 ∴函数 y ? 3 x ? x ? 2 , x ? [1, 3] 的值域为 [ 4, 2 6 ]

(2)求复合函数的值域:
2 y ? 设? ? ?x ? 6x ? 5 (? ? 0 ) ,则原函数可化为 2 2 又∵ ? ? ? x ? 6 x ? 5 ? ? ( x ? 3) ? 4 ? 4 ,

?

? ? [0, 2 ] ∴ 0 ? ? ? 4 ,故 ,

∴y ?

?x ? 6x ? 5
2

的值域为 [0 , 2 ]

(3) (法一)反函数法:
y ? 3x ? 1 x?2 y ? 2x ?1 x?3

的反函数为
y ? 3x ? 1 x?2

,其定义域为 { x ? R | x ? 3} ,

∴原函数

的值域为 { y ? R | y ? 3}
y ? 3x ? 1 x?2 ? 3( x ? 2 ) ? 7 x?2 ? 3? 7 x?2

(法二)分离变量法:
7 ? 0
3? 7 x?2 ? 3





x?2

,∴



∴函数

y ?

3x ? 1 x?2

的值域为 { y ? R | y ? 3}

2 (4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t ,

2 2 ∴原函数可化为 y ? 1 ? t ? 4 t ? ? ( t ? 2) ? 5( t ? 0) ,∴ y ? 5 ,

∴原函数值域为 ( ? ? , 5] 注:总结 y ? a x ? b ? cx ? d 型值域,
2 2 2 变形: y ? ax ? b ? cx ? d 或 y ? ax ? b ? cx ? d

(5)三角换元法:

-4-

2 ∵ 1 ? x ? 0 ? ? 1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ? [0, ? ] ,



y ? co s ? ? sin ? ?

2 sin (? ?

?
4

)

∵ ? ? [0, ? ] ,∴
2 sin (? ?

? ?

?
4

?[

?
4

,

5? 4

]

,∴

sin (? ?

?
4

) ? [?

2 2

,1]



?
4



) ? [ ? 1,

2]



∴原函数的值域为 [ ? 1, 2 ]
??2 x ? 3 ? y ? | x ? 1 | ? | x ? 4 |? ? 5 ?2 x ? 3 ? ( x ? ?4) ( ? 4 ? x ? 1) ( x ? 1)

(6)数形结合法:



∴ y ? 5 ,∴函数值域为 [5, ? ? )
2 (7)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R



y ?

2x ? x ? 2
2

x ? x ?1
2

2 得: ( y ? 2 ) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R
2 ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2 ) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根,

2 2 ∴△ ? ? ( y ? 1) ? 4 ? ( y ? 2) ? 0 ,

∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1, 5] 注:上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法,掌握这些方法对于以后 的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。 二、求函数的解析式 1、函数的解析式的求法 函数解析式的求法 (1)凑配法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替 代 g(x),便得 f(x)的表达式,此时要注意 g(x)的范围; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;

-5-

(3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (4)方程思想:已知关于 f(x)与 f(
1 x

)或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外

一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). 2、例题解析
f (x ? 1 x 2 x )? x ?
3

1 x
3

(1)已知

,求 f ( x ) ;

(2)已知

f(

? 1) ? lg x

,求 f ( x ) ;

(3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;
1 2 f (x) ? f ( ) ? 3x x 满足 f (x ? 1 x )? x ?
3

(4)已知

f (x)

,求 f ( x ) ;
? (x ? 1 x ) ? 3( x ?
3

1 x
3

1 x

解: (1)配凑法:∵

)



3 ∴ f ( x) ? x ? 3 x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) ;

2

(2)换元法:令 x
f ( t ) ? lg 2 t ?1

?1 ? t

(t ? 1) ,则
( x ? 1)

x ?

2 t ?1







f ( x ) ? lg

2 x ?1



(3)待定系数法:设 f ( x ) ? ax ? b ( a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3 ax ? 3 a ? 3 b ? 2 ax ? 2 a ? 2 b ? ax ? b ? 5 a ? 2 x ? 17 , ∴a ? 2 ,b ? 7 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 7 ;
1 2 f (x) ? f ( ) ? 3x x (4)方程组法:
1



把①中的 x 换成

1 3 2 f ( ) ? f (x) ? x ,得 x x 3 x

②,

① ? 2 ? ②得

3 f (x) ? 6 x ?

-6-



f (x) ? 2 x ?

1 x

感受高考 1. (2008 年全国卷一 1)函数 y ? A. ? x | x ≥ 0? C. ? x | x ≥ 1? ? ? 0? 答案:C
x ( x ? 1) ? x

的定义域为(

C



B. ? x | x ≥ 1? D. ? x | 0 ≤ x ≤ 1?

2.下列函数中,与函数

有相同定义域的是(

)

(A)f(x)=lnx (C)f(x)=|x|

(B)f(x)= (D)f(x)=ex

【解析】选 A.∵函数

的定义域为{x|x>0};

函数 y=lnx 的定义域为{x|x>0};

函数 y=

的定义域为{x|x∈R,x≠0};

函数 y=|x|的定义域为 R;函数 y=ex 的定义域为 R,故选 A.

3.(2011·哈尔滨模拟)设函数

,则

的值为(

)

【解析】选 B.

∴f(2)=22+2-2=4,

4.设



,则(

)
-7-

A.

B.

C. 答案:B

D.

5.下列四个图形中,不是以 x 为自变量的函数的图象是 ..
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

答案:C
? x 2 ? bx ? c , x ? 0 ? 6.设函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( ? 4 ) ? f ( 0 ), f ( ? 2 ) ? ? 2 ,则关于 x 的方程 ? 2, x ?0 ?

f ( x ) ? x 的解的个数是(

) B.2 C.3 D.4

A.1 答案:C

7. (2011·济南模拟)已知函数

则 f(x)+f( )=_______.

【解析】

答案:0 8 . 2011 届 · 湖 南 省 长 沙 市 一 中 高 三 月 考 ( 理 ) 函 数 y ? ( ) 为 。
-8-

ln( x ? 2 ? ? x
2

3)

x ?1

的定义域

答案: (-1,1)

-9-


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