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2010年北京海淀区高考一模试题:数学(理)龙文


龙文学校----高中数学

董老师专用

海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 (理科) 2010.4 第Ⅰ卷 (选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要 求的一项. 1. 在复平面内, 复数 z ? A.第一象限

1?

i (i 是虚数单位) 对应的点位于 i B.第二象限 C.第三象限

( D.第四象限



2.在同一坐标系中画出函数 y ? log a x , y ? a x , y ? x ? a 的图象,可能正确的是( )
y 1 y y y

O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

C B A D 3.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AC ·BD =0,则四边形 ABCD 是( )

A.矩形

B. 菱形

C. 直角梯形

D. 等腰梯形

4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) .若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是 ( )

?? ? A. ? 1, ? ? 3? ?

? 4? ? B. ? 2, ? ? 3 ?

?? ? C. ? 2, ? ? 3? ?

4? ? ? D. ? 2, ? ? 3 ? ?

5.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为 A. 6 3 C. 8 3 B.8 D.12 ( )

6.已知等差数列 1, a, b ,等比数列 3, a ? 2, b ? 5 ,则该等差数列的公差为( A.3 或 ?3 B.3 或 ?1 C. 3



D. ?3

1

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7.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是( A. ?1 B.1 1 C.2 D. 2 )
开始

董老师专用

a =2,i=1 i≥2010
否 是

a ?1?

1 a

输出 a 结束

i=i+1 8 .已知数列 A : a1 , a2 ,
,an

? 0 ? a1 ? a 2 ?

? an , n ? 3 ? 具有性质 P :对任意 i, j ?1 ? i ? j ? n ? ,

a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题:
① 数列 0, 1, 3 具有性质 P ; ② 数列 0, 2, 4, 6 具有性质 P ; ③ 若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ; ④ 若数列 a1 , a2 , a3 ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 . 其中真命题有( A.4 个 ) B.3 个 C.2 个 D.1 个 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了 100 名同学,统计他们每天平均学习时间, 绘成频率分布直方图(如图).则这 100 名 同学中学习时间在 6~8 小时内的人数为 _______. D 频率 /组距
x 0.14 0.12

A

P
O C

B

0.05 0.04
2 4

10. 如图,AB 为 O 的直径, 且 AB ? 8 , P 为 OA 的中点 , 过 P 作 O 的弦 CD, 且 CP : PD ? 3 : 4 , 则弦 CD 的长度 为 . 11.给定下列四个命题:
2

6

8

10 12 小时

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① “x?

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?
6

”是“ sin x ?

1 ”的充分不必要条件; 2

② 若“ p ? q ”为真,则“ p ? q ”为真; ③ 若 a ? b ,则 am2 ? bm2 ; ④ 若集合 A
B ? A ,则 A ? B .

其中为真命题的是 (填上所有正确命题的序号). a 12.在二项式 ( x2 ? )5 的展开式中, x 的系数是 ? 10 ,则实数 a 的值为 x

.

13.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且它 们在第一象限的交点为 P,?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 , 双曲线的离心 率的取值范围为 (1, 2) .则该椭圆的离心率的取值范围是 .

14.在平面直角坐标系中,点集 A ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1} , B ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0,,3x ? 4 y ? 0} , 则(1)点集 P ? {( x, y) x ? x1 ? 3, y ? y1 ? 1,( x1 , y1 ) ? A} 所表示的区域的面积为_____; (2)点集 Q ? {( x, y) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 ,( x1 , y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B} 所表示的区域的面积为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ? ) 的图象如图所示. (Ⅰ )求 ?,? 的值; (Ⅱ )设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4 .

?

y 1

O

? 4

? 2

x

?1

3

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16. (本小题满分 13 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如图所 示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区 域返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消费 218 元,可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (Ⅰ)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; (Ⅱ)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动, 他获得返券的金额记为 X (元). 求随机变量 X 的分布列和数学期望.

C

A
60?

B

17. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC , AA1 ? A1C ? AC ? 2, AB ? BC , 且 AB ? BC ,O 为 AC 中点.
? 平面 ABC ; (Ⅰ )证明: AO 1

(Ⅱ )求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值; (Ⅲ )在 BC1 上是否存在一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB ,若不存在,说明理由;若存在,确定 点 E 的位置.
A1 B1 C1

A

O

C

B

4

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18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, 其中 a 为常数,且 a ? ?1 . (Ⅰ )当 a ? ?1 时,求 f ( x) 在 [e,e2 ] (e=2.718 28…)上的值域; (Ⅱ )若 f ( x) ? e? 1 对任意 x ? [e,e 2 ] 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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19. (本小题满分 13 分)

3 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F1 F2 |? 2 ,点(1, ) 2 在椭圆 C 上. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ )过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且 ?AF2 B 的面积为 且与直线 l 相切的圆的方程.
12 2 ,求以 F2 为圆心 7

5

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20. (本小题满分 14 分)
n为偶数, ? 2a n ? 1, ? 2 ? 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 , an ? ? n ? 1 , n ? 2,3, 4, ? 2a n ?1 , n为奇数, ? ? ? 2 2

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.

(Ⅰ )求 a5 , a6 , a7 的值; (Ⅱ )设 bn ?
a2n ?1 2n

,试求数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅲ )对于任意的正整数 n,试讨论 a n 与 an ?1 的大小关系.

6

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海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (理) 2010.4

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 第Ⅰ 卷(选择题 共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 共 110 分) 6 C 7 A 8 B

第Ⅱ 卷(非选择题

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 1 2 9.30 10.7 11.①,④ 12.1 13. ( , ) 14. ? ; 18 ? ? . 3 5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ )由图可知 T ? 4(

?
2

?

?
4

) ? ? ,? ?

2? ? 2, T

………………2 分

又由 f ( ) ? 1 得, sin(? ? ? ) ? 1 ,又 f (0) ? ?1 ,得 sin ? ? ?1

?

2

? | ? |? ? ? ? ? ?

?
2



………………4 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知: f ( x) ? sin( 2 x ?

?
2

) ? ? cos 2 x 1 sin 4 x 2

………………6 分

因为 g ( x) ? (? cos 2 x)[ ? cos(2 x ?

?
2

)] ? cos 2 x sin 2 x ?

………………9 分

所以, 2k? ?

?
2

? 4 x ? 2 k? ?

?
2

,即

k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) .……………12 分 2 8 2 8
……………13 分
7

故函数 g ( x) 的单调增区间为 [

k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) . 2 8 2 8

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16. (本小题满分 13 分) 解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P ( A) ?

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1 1 1 , P ( B ) ? , P (C ) ? . 6 3 2 1 1 1 ? ? 6 3 2 1 . 2

………………3 分

(Ⅰ)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

? P ? P( A) ? P( B) ?

………………6 分

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 (Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.

………………7 分

1 1 1 P( X ? 0 ) ? ? ? ; 2 2 4 1 1 1 P( X ? 3 0 ? ) ? ? ? 2 2 3 3 1 1 1 P( X ? 6 0 ? ) ? ? ? 2 ? 2 6 3 1 1 1 P( X ? 9 0 ? ) ? ? ? 2 3 6 9 1 1 1 P( X ? 1 2 0?) ? ? 6 6 36

; 1 ? 3 ; .
………………10 分

5 ; 18

所以,随机变量 X 的分布列为: 0 30 P

60

90

120

X

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36
………………12 分

其数学期望 EX ? 0 ?

1 1 5 1 1 ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 4 3 18 9 36

.………13 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ )证明:因为 A1 A ? AC ,且 O 为 AC 的中点, 1
? AC . 所以 AO 1

………………1 分

? 平面 AA1C1C , 又由题意可知,平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC ,且 AO 1
8

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所以 AO ? 平面 ABC . 1

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(Ⅱ )如图,以 O 为原点, OB, OC, OA1 所在直线分别 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知, A1 A ? AC ? AC ? 2, 又 AB ? BC, AB ? BC ,?OB ? 1 所以得: O(0,0,0), A(0, ?1,0), A1 (0,0, 3), C(0,1,0), C1 (0,2, 3), B(1,0,0) 则有: AC ? (0,1, ? 3), AA1 ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0). 1 ………………6 分 设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有
A1

1 AC ? 1, 2

z
B1

C1

?n ? AA1 ? 0 ? ? ? y ? 3z ? 0 , 令 y ?1 , 得 ?? ? ? x? y?0 ? n ? AB ? 0 ? ?
x ? ?1, z ? ? 3 3 3 ). 3

A

O

C

y

B

x

所以 n ? ( ?1,1, ?

………………7 分
21 . 7

cos ? n, A1C ??

n ? A1C | n || A1C |

?

………………9 分

因为直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角 ? 和向量 n 与 A1C 所成锐角互余,所以 sin ? ? ………………10 分 (Ⅲ )设 E ? ( x0 , y0 , z0 ), BE ? ? BC1 , ………………11 分

21 . 7

? x0 ? 1 ? ? ? 即 ( x0 ? 1, y0 , z0 ) ? ? (?1,2, 3) ,得 ? y0 ? 2? ? ? z0 ? 3?
所以 E ? (1 ? ?, 2? , 3? ), 得 OE ? (1 ? ?, 2?, 3? ), 令 OE // 平面 A1 AB ,得 OE ? n = 0 , ………………12 分 ………………13 分

1 即 ?1 ? ? ? 2? ? ? ? 0, 得 ? ? , 2
即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点. ………………14 分
9

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18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ )当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? ln x,

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1 得 f ?( x) ? 1 ? , x
令 f ?( x) ? 0 ,即 1 ?

………………2 分

1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,所以函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数, x
………………4 分

据此,函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为增函数,

而 f (e) ? e? 1 , f (e2 ) ? e2 ? 2 , 所以函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上的值域为 [e? 1,e2 ? 2] ………………6 分

a a (Ⅱ )由 f ?( x) ? 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? ? 0, 即 x ? ?a, x x
当 x ? (0, ?a) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ?a) 上单调递减; 当 x ? (?a, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?a, ??) 上单调递增; ……………7 分 若 1 ? ? a ? e ,即 ? e ? a ? ?1 ,易得函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为增函数, 此时, f ( x)max ? f (e2 ) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 f (e2 ) ? e? 1 即可,

? e 2 ? e? 1 2 ? e2 ? e? 1 ?(e2 ? 3e? 1) ? e2 ? e? 1 而 ? (? e) ? ? 0 ,即 ? ? e ,所以此时无解. 2 2 2 ………………8 分
所以有 e2 ? 2a ? e? 1 ,即 a ? 若 e ? ?a ? e2 ,即 ? e ? a ? ? e2 ,易知函数 f ( x) 在 [e, ?a] 上为减函数,在 [?a,e2 ] 上为增函数,
a ? ?1 ? ? f (e) ? e? 1 ? 要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e ] 恒成立,只需 ? ,即 ? ? e2 ? e? 1 , 2 ? f (e ) ? e? 1 ?a ? ? 2
2



? e2 ? e? 1 ? e2 ? e? 1 ? e2 ? e? 1 e2 ? e? 1 ? (?1) ? ?0和 ? (? e2 ) ? ?0 2 2 2 2 ? e2 ? e? 1 得 ? e2 ? a ? . ………………10 分 2

若 ?a ? e2 ,即 a ? ? e2 ,易得函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为减函数, 此时, f ( x)max ? f (e) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 f (e) ? e? 1 即可, 所以有 e? a ? e? 1 ,即 a ? ?1 ,又因为 a ? ? e2 ,所以 a ? ? e2 . ……………12 分
10

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综合上述,实数 a 的取值范围是 (??, 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为

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? e 2 ? e? 1 ]. 2

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得: a 2 b2
.……………1 分 .……………3 分 ……………4 分 .……………5 分

椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1 (?1,0) , F2 (1,0) .

3 3 5 3 ? 2a ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? ? ? 4 . 2 2 2 2
? a ? 2, 又 c ? 1 b2 ? 4 ? 1 ? 3 ,
故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
3 2 3 2

(Ⅱ)当直线 l ? x 轴,计算得到: A(?1, ? ), B (?1, ) ,

1 1 S?AF2 B ? ? | AB | ? | F1 F2 |? ? 3 ? 2 ? 3 ,不符合题意. 2 2
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,

.……………6 分

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得 ?1 ? ? ?4 3

( 3? 4 k2 x )2 ? 8 k 2 x? 4 k2 ? 1 ? 2, 0.……………7 分

显然 ? ? 0 成立,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2 2

.……………8 分

64k 4 4(4k 2 ? 12) 又 | AB |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? k ? ? (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2
即 | AB |? 1 ? k ?
2

12 k 2 ? 1 12(k 2 ? 1) , ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
1? k
2

.……………9 分

又圆 F2 的半径 r ?

| k ?1 ? 0 ? k |

?

2| k | 1? k 2

,

.……………10 分

11

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所以 S?AF B
2

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1 1 12(k 2 ? 1) 2 | k | 12 | k | 1 ? k 2 12 2 ? | AB | r ? ? ? ? ? , 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 7 1? k 2
4 2

化简,得 17k ? k ? 18 ? 0 , 即 (k 2 ?1)(17k 2 ? 18) ? 0 ,解得 k ? ?1 所以, r ?

2| k | 1? k 2

? 2,

.……………12 分 .……………13 分

故圆 F2 的方程为: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 . (Ⅱ )另解:设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 ,

? x ? ty ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ,消去 x 得 (4 ? 3t 2 ) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 , ? ? 0 恒成立, ?1 ? ? 3 ?4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

6t 9 , y1 ? y2 ? ? , 2 4 ? 3t 4 ? 3t 2

……………8 分

12 t 2 ? 1 36t 2 36 所以 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 ? y2 ? ? ; ? 4 ? 3t 2 (4 ? 3t 2 )2 4 ? 3t 2
2

.……………9 分 又圆 F2 的半径为 r ?

|1 ? t ? 0 ? 1| 1? t
2

?

2 1? t2



.……………10 分

所以 S?AF2 B ? 所以 r ?

1 12 t 2 ? 1 12 2 2 ,解得 t ? 1 , ? | F1F2 | ? | y1 ? y2 |?| y1 ? y2 |? ? 2 2 4 ? 3t 7
? 2,
2 2

2 1? t2

……………12 分 .……………13 分

故圆 F2 的方程为: ( x ? 1) ? y ? 2 . 20. (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ )∵ a1 ? 0 , a2 ? 1 ? 2a1 ? 1, a3 ? 2 ? 2a1 ? 2 , a4 ? 1 ? 2a2 ? 3 , ∴ a5 ? 3 ? 2a2 ? 5 ; a6 ? 1 ? 2a3 ? 5 ; a7 ? 4 ? 2a3 ? 8 . (Ⅱ )由题设,对于任意的正整数 n ,都有: bn?1 ? ………………3 分
? 2n ? 2a2n ?1 2
n ?1

a2n?1 ?1 2
n ?1

?

1 ? bn , 2
12

龙文学校----高中数学 ∴ bn ?1 ? bn ? ∴ bn ?
n ?1 . 2

董老师专用

a1 1 1 .∴数列 ?bn ? 是以 b1 ? 2 1?1 ? 0 为首项, 为公差的等差数列. 2 2 2

…………………………………………………………7 分

(Ⅲ )对于任意的正整数 k , 当 n ? 2k 或 n ? 1,3 时, an ? an?1 ; 当 n ? 4k ? 1 时, an ? an?1 ; 当 n ? 4k ? 3 时, an ? an?1 . 证明如下: 首先,由 a1 ? 0, a2 ? 1, a3 ? 2, a4 ? 3 可知 n ? 1,3 时, an ? an?1 ; 其次,对于任意的正整数 k ,
n ? 2k 时, an ? an?1 ? a2k ? a2k ?1 ? ?1? 2ak ? ? ? k ?1? 2ak ? ? ?k ? 0 ;

……………………………………8 分

…………………9 分
n ? 4k ? 1 时, an ? an?1 ? a4k ?1 ? a4k ?2

? ? 2k ? 1 ? 2a2 k ? ? ?1 ? 2a2 k ?1 ? ? 2k ? 2a2 k ? 2a2 k ?1 ?0 ? 2k ? 2 ?1 ? 2ak ? ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ?

所以, an ? an?1 .
n ? 4k ? 3 时, an ? an?1 ? a4k ?3 ? a4k ?4

…………………10 分

? ? 2k ? 2 ? 2a2 k ?1 ? ? ?1 ? 2a2 k ? 2 ? ? 2k ? 1 ? 2a2 k ?1 ? 2a2 k ? 2 ? 4 ? k ? ak ? ak ?1 ? ? 1
事实上,我们可以证明:对于任意正整数 k , k ? ak ? ak ?1 (*) (证明见后) ,
13

? 2k ? 1 ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ? ? 2 ?1 ? 2ak ?1 ?

龙文学校----高中数学 所以,此时, an ? an?1 . 综上可知:结论得证.

董老师专用

…………………12 分

对于任意正整数 k , k ? ak ? ak ?1 (*)的证明如下: 1)当 k ? 2 m ( m ? N* )时,

k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? a2m ? a2m?1 ? 2m ? ?1? 2am ? ? ? m ?1? 2am ? ? m ? 0 ,
满足(*)式。 2)当 k ? 1 时, 1 ? a1 ? 1 ? a2 ,满足(*)式。 3)当 k ? 2m ? 1? m ? N* ? 时,

k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? 1 ? a2 m?1 ? a2 m? 2 ? 3m ? 1 ? 2am ? 2am?1

? 2m ? 1 ? ? m ? 1 ? 2am ? ? ?1 ? 2am?1 ? ? 2 ? m ? am ? am?1 ? ? ? m ? 1?

于是,只须证明 m ? am ? am?1 ? 0 ,如此递推,可归结为 1)或 2)的情形,于是 (*)得证. …………………14 分

14


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