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湖南省衡阳八中2015届高三上学期第六次月考数学(文)试题


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衡阳市八中 2015 届高三第六次月考试题
文科数学
命题人: 罗欢 、曾令华 审题人: 彭学军

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ? x | ?1 ? x ? 3? ,集合 B ? ? x | A. ? x | ?1 ? x ? 0? B. ? x | ?1 ? x ? 0?

? ?

1 ? ? 0 ? ,则 A B ? ( x ?



C. ? x | x ? 0?

D. ? x | x ? 3? )

2. m ? ?1 是直线 mx ? ?2m ? 1? y ? 1 ? 0 和直线 3 x ? my ? 9 ? 0 垂直的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行下面的框图,若输入的 N 是 6,则输出 p 的值是 ( ) A.120 B.720 C.1440 D.5040

2a

a
正视图 左视图

a
俯视图

4.某几何体的三视图如右上图所示,则该几何体的体积是(



A.

2? a 3 3

? a3
B. 3 C.
a

? a3
6
a a

D. ? a
a10

3

5.等差数列 {an } 中 a5 ? a6 ? 4 ,则 log 2 (2 1 ? 2 2 ? 2 3 ? … ? 2 A. 10 B. 20 ) C. 40

)?(



D. 2+ log 2 5

6.下面四个命题中真命题的是(

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①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 15 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1;

? =0.4x+12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量平均增加 ③在回归直线方程 y
0.4 个单位; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小, “X 与 Y 有关系”的把握程 度越大. A.①④ B.②④ C.①③ D.②③ 7.若 A. 1

sin ? ? cos ? ? 2 则 sin 2? =( sin ? ? cos ?
B. 3

) C.

1 2

D. )

3 5

8.若函数 f ( x) ? sin x ? kx 存在极值,则实数 k 的取值范围是( A. (?1,1) B. [0,1) )
?1

C. (1,??)

D. (??,?1)

9.给出下列命题,其中正确命题的个数为: ( ①在区间 (0,??) 上,函数 y ? x , y ?

x , y ? ( x ? 1) 2 , y ? x 3 中有三个增函数; ②若 log m 3 ? log n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ; ③若函数 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 (1,0) 对称;
④若函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? 3 ,则方程 f ( x) ? 0 有两个实数根.
x

A.1

B.2

C.3

D.4

10.在△ABC 中,a、b、c 分别是内角 A,B,C 所对的边,C=

? ,若 2OD ? aOE ? bOF 且 D、 3
) D. 4

E、F 三点共线(该直线不过点 O),则 △ABC 周长的最小值是( A.

5 2

B. 3

C.

7 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.
11.设 i 是虚数单位,若复数 a ?

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为________。 3?i

12.在边长为 2 的正△ABC 中,则 AB ? BC ? _________。

?x ? 2 ? 13.设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则实数 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

k ? _______。
14.随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概 率是________。 15.若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间 [a, b] ? D (其中 a<b),使得当 x

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2

∈[a,b]时,f (x) 的取值范围恰为[a,b],则称函数 f (x) 是 D 上的 “正函数” ,若 f ( x ) ? x ? k 是 (??,0) 上的正函数,则实数 k 的取值范围是 。

三.解答题:本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(ω x+φ ) (ω >0,0≤φ ≤π )为偶函数, 其图象上相邻的两个最低点间的距离为 2π . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将函数 f ( x) 图像向右平移

?
3

个单位得到函数 g ( x) 的图像,若 ? ? [0, ? ] ,且

g (? ) ?

1 5? ,求 sin( ? ? ) 的值. 2 6

17. (本小题满分 12 分)某校高三年级文科学生 600 名,从参加期末考试的学生中随机抽出 某班学生(该班共 50 名同学) ,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为 150 分) , 数学成绩分组及各组频数如下表: 分组 [45,60) [60,75) [75,90) [90,105) [105,120) [120,135) [135,150] 合计 频数 2 4 8 11 15 a 4 50 频率 0.04 0.08 0.16 0.22 0.30 b 0.08 1

(1)写出 a、b 的值; (2)估计该校文科生数学成绩在 120 分以上学生人数; (3)该班为提高整体数学成绩,决定成立“二帮一”小组,即从成绩在[135,150]中选两 位同学,来帮助成绩在[45,60)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 56 分, 乙同学的 成绩为 145 分,求甲乙在同一小组的概率.

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18. (本小题满分 12 分)如图一, ?ABC 是正三角形, ?ABD 是等腰直角三角形,

AB ? BD ? 2 .将 ?ABD 沿 AB 折起,使得 ?ABD 与 ?ABC 成直二面角 D ? AB ? C ,
如图二,在二面角 D ? AB ? C 中 (1)求证: BD ? AC ; (2)求 D 、 C 之间的距离; (3)求 DC 与面 ABD 所成的角的正弦值。 D A A

C B B
图一 图二

C

D

19. (本小题满分 13 分)已知圆 C 的方程为: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2

(1)求 m 的取值范围; (2)若圆 C 与直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 交于 M、N 两点,且 MN ? 2 3 ,求 m 的值. (3)设直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,是否存在实数 m ,使得以 AB 为直径的 圆过原点,若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 13 分)已知等比数列{an}的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn,S3=7,且 a1 ? 3 ,
* 3a2 , a3 ? 4 成等差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,其中 n ? N .

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设 A ? {a1 , a2 , L a10 } , B ? {b1 , b2 , L b40 } , C ? A U B ,求集合 C 中所有元素之和.

21. (本小题满分 13 分)若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x) 和 g ( x) 对其定义域上的任意 实数 x 分别满足: f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和 g ( x) 的“隔离直线” .已知 h( x) ? x , ? ( x) ? 2e ln x (e 为自然对数的底数) .
2

(1)求 F ( x) ? h( x) ? ? ( x) 的极值; (2)函数 h( x) 和 ? ( x) 是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请 说明理由.

10 1 3 1 P? ? 600 ? ? 120 50 2 6 2

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衡阳市八中 2015 届高三第六次月考文科数学参考答案 一选择题: 1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B

二填空题: 11.
3

12.

?2

13.

2

14.

1?

?
24

15.

3 (?1, ? ) 4

三解答题:
16.(Ⅰ)因为周期为 2π ,所以 ω =1,又因为 0≤φ ≤π ,f(x)为偶函数,所以 φ = 则 f ( x) ? sin( x ?

?
2



?
2

) ? cos x .

(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)=cosx.得 g ( x) ? cos( x ? g( ? )= cos( ? -

?
3

)

?
3

)=

? sin(

5? ? ? ? 1 ? ? ) = sin[ ? (? ? )] = cos( ? - )= 6 2 3 3 2

1 , 2

17.(1)6、0.12 2分 (2)成绩在 120 分以上的有 6+4=10 人, 所以估计该校文科生数学成绩在 120 分以上的学生有: 人. 6分 (3)[45,60)内有 2 人,记为甲、A.[135,150]内有 4 人,记为乙、B、C、D. 法一: “二帮一”小组有以下 6 种分组办法: (甲乙 B, ACD) 、 (甲乙 C, ABD) 、 (甲乙 D, ABC) 、 (甲 BC,A 乙 D) 、 (甲 BD,A 乙 C) 、 (甲 CD,A 乙 B) . 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 3 种办法: (甲乙 B,ACD) 、 (甲乙 C,ABD) 、 (甲乙 D, ABC) .所以甲、乙分到同一组的概率为. 12 分 (法二:乙可能和甲或和 A 分到同一组,且等可能,故甲、乙分到同一组的概率为)

18:⑴? 面 ABD ? 面 ABC ,面 ABD ? 面 ABC ? AB , BD ? 面 ABD , BD ? AB ………4 分 ? BD ? 面 ABC ,又? AC ? 面 ABC ? BD ? AC ⑵? BD ? 面 ABC , BC ? 面 ABC

? BD ? BC 在 Rt?DBC 中, BC ? BA ? 2 , BD ? 2
? DC ? DB 2 ? BC 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2
…………8 分

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⑶取 AB 的中点 H ,连结 CH 、 DH 和 DC ? ?ABC 是正三角形 ? CH ? AB ,又? 面 ABD ? 面 ABC ? CH ? 面 ABD ,即 DH 是 DC 在面 ABD 内的射影 则 ?CDH 为直线 DC 与面 ABD 所成的角

…………10 分

? CH ?

3 BC ? 3 , DC ? 2 2 2
CH 6 ? DC 4 6 . 4
…………12 分

? sin ?CDH ?

故直线 DC 与面 ABD 所成的角的正弦值为

19 解 : (1)由 D +E -4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5.
2 2 2 2

2

2

3分

(2) x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ? m , 所以圆心 C(1,2) ,半径 r ? 5 ? m , 4分

圆心 C(1,2)到直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 的距离 d ?

3?8?6 32 ? 42

?1

5分

又 MN ? 2 3 ,? r 2 ? 12 ? ( 3) 2 ? 4 ,即 5 ? m ? 4 ,? m ? 1 . 6 分 (3) 假设存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点, 则 OA ? OB , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 7分

? x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 由? 得 2 x2 ? 8x ? 5 ? m ? 0 , ?x ? y ?1 ? 0

8分

?? ? 64 ? 8(m ? 5) ? 24 ? 8m ? 0 ,即 m ? 3 ,又由(1)知 m ? 5 ,
故m ? 3 9分

x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ?

m?5 2

10 分

? y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? m ? 5 m ?1 ? ? m?2? 0 2 2

m?5 m ?1 ?3? 2 2

11 分

? m ? ?2 ? 3

12 分

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故存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点, m ? ?2 .

13 分

20.(1)∵ S3 ? 7 ,∴ a1 ? a2 ? a3 ? 7 ∵ a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 成等差数列,∴ a1 ? 3 ? a3 ? 4 ? 6a2 ② ②-①得, a2 ? 2 即 a1q ? 2 又由①得, a1 ? a1q 2 ? 5 ④
1 (舍去) 2

① 2分



消去 a1 得, 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? ∴ an ? 2n ?1

4分

(2)当 n ? N*时, 6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,当 n ? 2 时, 6Tn ?1 ? (3n ? 2)bn ?1 ? 2 ∴当 n ? 2 时, 6bn ? (3n ? 1)bn ? (3n ? 2)bn ?1 ,即 ∴
bn 3n ? 2 ? bn ?1 3n ? 5

6分

b2 4 b 7 b 10 b 3n ? 2 ? , 3 ? , 4 ? , , n ? b1 1 b2 4 b3 7 bn ?1 3n ? 5



b b2 b3 b4 4 7 10 3n ? 2 b ,即 n ? 3n ? 2 ? ? ?L ? n ? ? ? ? L ? b1 b1 b2 b3 bn ?1 1 4 7 3n ? 5

∵ b1 ? 1 ,∴ bn ? 3n ? 2(n ? 2) 故 bn ? 3n ? 2(n ? N*)
1 ? 210 40 ? 41 ? 210 ? 1 ? 1023 , T40 ? 3 ? ? 80 ? 2380 1? 2 2 ∵A 与 B 的公共元素有 1,4,16,64,其和为 85,

9分 11 分

(3) S10 ?

∴集合 C 中所有元素之和 ? S 40 ? T10 ? 85 ? 2380 ? 1023 ? 85 ? 3318

13 分

21. (1)

F ( x) ? h( x) ? ? ( x) ? x 2 ? 2e ln x ( x ? 0) ,
2e 2( x ? e )( x ? e ) . ? x x

? F ?( x) ? 2 x ?
当x ?

e 时, F ?( x) ? 0 . ------3 分

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? 当 0 ? x ? e 时, F ?( x) ? 0 ,此时函数 F ( x) 递减;
当x ? ∴当 x ?

e 时, F ?( x) ? 0 ,此时函数 F ( x) 递增; e 时, F ( x) 取极小值,其极小值为 0 . e 处有公共点,因此若存在 h( x) 和

(2)解:由(1)可知函数 h( x) 和 ? ( x) 的图象在 x ?

? ( x) 的隔离直线,则该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? e ? k ( x ? e ) ,即 y ? kx ? e ? k e . 由 h( x) ? kx ? e ? k e ( x ? R ) ,可得 x ? kx ? e ? k e ? 0 当 x ? R 时恒成立.
2

? ? ? (k ? 2 e ) 2 , ? 由 ? ? 0 ,得 k ? 2 e .
下面证明 ? ( x) ? 2 e x ? e 当 x ? 0 时恒成立. 令 G ( x) ? ? ( x) ? 2 ex ? e ? 2e ln x ? 2 e x ? e ,则

G ?( x) ?

2e 2 e ( e ? x) , 当 x ? e 时, G ?( x) ? 0 . ?2 e ? x x

? 当 0 ? x ? e 时, G ?( x) ? 0 ,此时函数 G ( x) 递增;
当x ? ∴当 x ?

e 时, G ?( x) ? 0 ,此时函数 G ( x) 递减; e 时, G ( x) 取极大值,其极大值为 0 .

从而 G ( x) ? 2e ln x ? 2 ex ? e ? 0 ,即 ? ( x) ? 2 e x ? e( x ? 0) 恒成立 ∴函数 h( x) 和 ? ( x) 存在唯一的隔离直线 y ? 2 ex ? e .


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