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2011新课标全国卷数学(理科)(含答案)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)复数
2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

(A) ? i

3 5

(B) i

3 5

(C

) ?i

(D) i

(2)下列函数中,既是偶函数哦、又在(0, )单调递增的函数是 (A) y ? x 2 (B) y ? x ? 1 (C) y ? ? x 2 ? 1 (D) y ? 2? x

(3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加 各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(5) 已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y ? 2 x 上, 则 cos 2? = (A) ?
4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的侧视图可以为

1

(7) 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, 与 C 交于 A,B l 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3
5

(C)2

(D)3

a 1 (8) ? x ? ? ? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 ? ?? ? ? x ?? x?

(A)-40

(B)-20

(C)20

(D)40

(9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 (A)
10 3

(B)4

(C)

16 3

(D)6

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, 1 ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 (A) P1 , P4 (B) P1 , P3 (C) P2 , P3
?
2

(D) P2 , P4

( 11 ) 设 函 数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 且
f (? x) ? f ( x,则 )

? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? ?
? 2?

(B) f ( x) 在 ? , ? (D) f ( x) 在 ? , ?
? 3? ?

? 单调递减 ?4 4 ?

? 3? ?

? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? ?
? 2?

? 单调递增 ?4 4 ?

(12)函数 y ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有焦点的横坐标之和 x ?1
2

等于 (A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)若变量 x, y 满足约束条件 ?
?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,


x 轴上,离

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 心率为 为

2 。过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程 2



(15)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥 O ? ABCD 的体积为 。 。

(16)在 ?ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2BC 的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . 求数列 ?an ? 的通项公式. 设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和.
?1? ? bn ?

3

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平 行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

4

(19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得 到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分 [90,94) [94,98) [98,102) [102, 106) [106,110] 组 频数 8 20 42 B 配方的频数分布表 指标值分 [90,94) [94,98) [98,102) [102, 106) [106,110] 组 频数 4 12 42 32 10 22 8

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系 式为
??2, t ? 94 ? y ? ?2,94 ? t ? 102 ?4, t ? 102 ?

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布 列及数学期望. (以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指 标值落入相应组的概率)

5

6

(20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

7

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?
ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

8

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D ,E 分别为 ?ABC 的边 AB ,AC 上的点, 且不与 ?ABC 的顶点重合。 已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。

9

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
??? ? ???? ?
? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .
?
3

与 C1 的异于极

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1 ? ,求 a 的值。

10

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题 (1)C (7)B 二、填空题 (13)-6 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a32 ? 9a2 a6 得 a33 ? 9a42 所以 q 2 ? 。有条件可知 a>0,故 q ? 。 由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= (Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2

(2)B (8)D

(3)B (9)C

(4)A (10)A

(5)B (11)A

(6)D (12)D

(14)

x2 y2 ? ?1 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

1 9

1 3

1 3

1 。 3n



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

所以数列 { } 的前 n 项和为 ? (18)解:

1 bn

2n n ?1

(Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD
11

从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半 轴建立空间直角坐标系 D- xyz ,则
A ?1, 0, 0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0, 0,1? 。
??? ? ??? ? ??? ? AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0)

?

? ?

?

设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 即
?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m,则 可取 m=(0,-1, ? 3 ) 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19)解 (Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。
22 ? 8 =0.3 ,所以 100
?
??? ? m? P B 0 ? ??? ? m? B C 0 ?
cos m, n ? ?4 2 7 ?? 7 2 7

2 7 7

12

由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 100

( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

?90,94 ? , ?94,102 ? , ?102,110?
的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解: (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y),
??? ? ???? ???? ??? ? AB =(x,-2).再由愿意得知( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0. ????
????

所以曲线 C 的方程式为 y= x 2 -2. (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C: y= x 2 -2 上一点, 因为 y ' = x,所以 l 的斜率为 x 0 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x 2 ? 0 。 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 |

1 4

1 4

1 2

1 2

1 2

x ?4
2 0

.又 y0 ? x02 ? 2 ,所以

1 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 2 d? ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4

当 x02 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. (21)解:
13

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? ? 1 即 2 ? f '(1) ? ? 2 , ? ?b ? 1, ? ?a 1 ?2 ?b ? ? 2 , ?

解得 a ? 1 , b ? 1。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2 ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ? (i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 。 ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x2 x

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2

1 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, )时, (k-1) 2 +1)+2x>0,故 h’ (x)>0, (x 1? k 1 1 而 h(1)=0,故当 x ?(1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛 1? k 1? x2

当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得

盾。 (iii)设 k ? 1.此时 h’ (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0, 可得
1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] (22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC,
14



AD AE .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ? AC AB

因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交 于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆 的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=900,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(
X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2 1 (12-2)=5. 2

?x ? ? 2 ? 2 cos ?, ? ? ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ?2 ? ? ?



s ?x ? 4 c o ? ? ? ? ? ?y ? 4 ? 4s i n?

从而 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?
? ?
3 3

与 C1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin , 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。
3

?

?

3

所以 | AB |?| ? 2 ? ? 1 |? 2 3 . (24)解:
15

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得
x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 的
x ? a ? 3x ? 0

此不等式化为不等式组
?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3x ? 0 ?a ? x ? 3x ? 0

?x ? a ? 即 ?x ? a ? ? 4

?x ? a ? 或 ?a ? ? a ? ? 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ? = ?1,故 a ? 2
a 2

a 2

?

16


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