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高一三角函数与平面向量综合题


讲座 三角形内的三角函数问题
○知识梳理 1.内角和定理 内角和定理:三角形三角和为 π ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 内角和定理 能忘记! 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和 任意两半角和与第三个角的半角总互余. 任意两角和 任意两半角和

A + B = π ? C ,sin( A + B ) = sin C ,sin

锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方.

A+ B C = cos 2 2

A>B ? a>b ? sinA>sinB , A,B,C成等差数列 ? B=60o 2.正弦定理 正弦定理: a = b = c = 2 R (R 为三角形外接圆的半径). 正弦定理 sin A sin B sin C
注意:①正弦定理的一些变式: 注意

( i ) a : b : c = sin A : sin B : sin C ;
a b c ,sin B = , sin C = ; 2R 2R 2R ( iii ) a = 2R sin A, b = 2 R sin B, b = 2 R sin C ;

( ii ) sin A =

②已知三角形两边一对角, 求解三角形时, 若运用正弦定理, 则务必注意可能有两解.
2 2 2 3.余弦定理 a = b + c ? 2bc cos A, cos A = b + c ? a 等,常选用余弦定理鉴定 余弦定理: 余弦定理 2 2 2

2bc

三角形的形状. 4.面积公式 面积公式: 面积公式

S = 1 aha = 1 bhb = 1 chc 2 2 2 = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ca sin B 2 2 2 1 a 2 sin B sin C = 1 b 2 sin C sin A = 1 a 2 sin A sin B = 2 sin A 2 sin B 2 sin C = 1 r (a + b + c) = p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) 2 a+b+c (其中 r 为三角形内切圆半径, p = ). 2
5.射影定理 射影定理: 射影定理

a=b·cosC+c·cosB,b=a·cosC+c·cosA,c=a·cosB+c·cosA.
特别提醒:求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实 特别提醒 现边角互化。

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○浙江真题 1. (2010 年(18) )在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C = ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

2 . 2011 ( 18 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 已 知 ( )

1 sin A + sin C = p sin B ( p ∈ R ) , 且 ac = b 2 . 4 5 (Ⅰ)当 p = , b = 1 时,求 a, c 的值; 4
(Ⅱ) 若角 B 为锐角,求 p 的取值范围。

3. (12 年样卷) (18) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan (A+B) =2.
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(Ⅰ) 求 sin C 的值; (Ⅱ) 当 a=1,c= 5 时,求 b 的值.

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○例题分析 【例 1】 (2011 年高考陕西卷理科 18) 18)(本小题满分 12 分)叙述并证明余弦定理

【例 2】 (2011 年高考湖南卷理科 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足 c sin A = a cosC .

(Ι) 求角 C 的大小; (ΙΙ) 求
π? ? 3 sin A ? cos? B + ? 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4? ?

【例 3】已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=2,BC=6,CD=DA=4.求四边形 ABCD 的面积.

【例 4】 (2011 年高考全国卷理科 17) (本小题满分 l0 分) 年高考全国 全国卷理科 )
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△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求 C.

【例 5】 (2011 年高考山东卷理科 17)(本小题满分 12 分) 17)( 在 ABC 中 ,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 c.已知

cos A-2 cos C 2c-a . = cos B b

( 1) 求

sin C 1 的值; 的面积. 的值; 2)若 cosB= , b = 2 ,求 ?ABC 的面积. ( sin A 4

○巩固练习
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1.(2011 年高考辽宁卷理科 4) (2011 4)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, asin AsinB+bcos2A= 2a 则 (A) 2 3

b =( ) a
(C)

(B) 2 2

3

(D) 2

2、在△OAB 中,O 为坐标原点, A(1, cos θ ), B (sin θ ,1),θ ∈ (0, 大值时, θ = ( )

π
2

] ,则当△OAB 的面积达最

π

π
B. C.

π
D.

π
2

A.

6

4

3

3. (2011 年高考天津卷理科 6)如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的 点,且 年高考天津 天津卷理科 )如图,

AB = AD, 2 AB = 3BD, BC = 2 BD ,则 sin C 的值为( 的值为(
A. .



3 3

B. .

3 6

C. .

6 3

D. .

6 6

4.(2011 年高考重庆卷理科 6) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a, b, c 满足 (2011 6)若

(a + b) 2 ? c 2 = 4 ,且 C = 600 ,则 ab 的值为
(A)

4 3

(B) 8 ? 4 3

(C)1

(D)

5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若 则 cos A = 。

(

2 3

3b ? c cos A = a cos C ,

)

6. (2011 年高考全国新课标卷理科 16)在 ?ABC 中, B = 60o , AC =

3 ,则 AB + 2 BC

的最大值为


1 . 3

7.在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos A = (Ⅰ)求 sin
2

B+C + cos 2 A 的值; 2
3 ,求 bc 的最大值.

(Ⅱ)若 a =

8.(2011 年高考湖北 卷理科 16) ( 年高考湖北卷理科 16)(本小题满分 10 分)
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设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知. a = 1, b = 2, cos C = (Ⅰ) 求△ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A—C.)

1 4

9.(2011 年高考安徽卷江苏 15) (2011 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A +

) = 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A = , b = 3c ,求 sin C 的值. 3

π

10.已知在关于 x 的方程 ax2- 2bx+c=0 中,a、b、c 分别是钝角三角形 ABC 的三内角 A、B、C 所对的边,且 b 是最大边. (1)求证:该方程有两个不相等的正根; (2)设方程有两个不相等的正根 α、β,若三角形 ABC 是等腰三角形,求 α-β 的取值范 围.

11 . 在 ?ABC 中 , 记 ∠BAC = x ( 角 的 单 位 是 弧 度 制 ) , ?ABC 的 面 积 为 S , 且

uuu uuur r AB ? AC = 8,4 ≤ S ≤ 4 3 .
(1)求 x 的取值范围; (2)就(1)中 x 的取值范围,求函数 f ( x) = 2 3 sin ( x +
2

π
4

) + 2 cos 2 x ? 3 的最大值、最

小值.

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三角形内的三角函数问题
○知识梳理 1.内角和定理 内角和定理:三角形三角和为 π ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 内角和定理 能忘记! 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和 任意两半角和与第三个角的半角总互余. 任意两角和 任意两半角和

A + B = π ? C ,sin( A + B ) = sin C ,sin

锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方.

A+ B C = cos 2 2

A>B ? a>b ? sinA>sinB , A,B,C成等差数列 ? B=60o 2.正弦定理 正弦定理: a = b = c = 2 R (R 为三角形外接圆的半径). 正弦定理 sin A sin B sin C
注意:①正弦定理的一些变式: 注意

( i ) a : b : c = sin A : sin B : sin C ;
a b c ,sin B = , sin C = ; 2R 2R 2R ( iii ) a = 2R sin A, b = 2 R sin B, b = 2 R sin C ;

( ii ) sin A =

②已知三角形两边一对角, 求解三角形时, 若运用正弦定理, 则务必注意可能有两解.
2 2 2 3.余弦定理 a = b + c ? 2bc cos A, cos A = b + c ? a 等,常选用余弦定理鉴定 余弦定理: 余弦定理 2 2 2

2bc

三角形的形状. 4.面积公式 面积公式: 面积公式

S = 1 aha = 1 bhb = 1 chc 2 2 2 = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ca sin B 2 2 2 1 a 2 sin B sin C = 1 b 2 sin C sin A = 1 a 2 sin A sin B = 2 sin A 2 sin B 2 sin C = 1 r (a + b + c) = p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) 2 a+b+c (其中 r 为三角形内切圆半径, p = ). 2
5.射影定理 射影定理: 射影定理

a=b·cosC+c·cosB,b=a·cosC+c·cosA,c=a·cosB+c·cosA.
特别提醒:求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实 特别提醒 现边角互化。 ○浙江真题 1.10 年(18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C = ?
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1 4

(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 10 ,及 0<C<π所以 sinC= . 4 4

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理

a c = ,得 c=4 sin A sin C

由 cos2C=2cos2C-1= ?

1 6 ,J 及 0<C<π得 cosC=± 4 4

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

所以

2 . 11 年 ( 18 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 已 知

1 sin A + sin C = p sin B ( p ∈ R ) , 且 ac = b 2 . 4 5 (Ⅰ)当 p = , b = 1 时,求 a, c 的值; 4
(Ⅱ) 若角 B 为锐角,求 p 的取值范围。

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3. (12 年样卷) (18) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan (A +B)=2.
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(Ⅰ) 求 sin C 的值; (Ⅱ) 当 a=1,c= 5 时,求 b 的值. (18) 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能 力。 满分 14 分。

2 5 . 5 2 5 2 (Ⅱ) 解:由正弦定理及 sin C= 得 sin A= , 5 5
(Ⅰ) 解:由题设得 tan C=-2,从而 sin C= sin B =sin (A+C)=sin A cos C+sin C cos A

…………6 分

2 5 2 5 21 = ? (? )+ ? 5 5 5 5 2 5( 21 ? 1) = , 25 sin B 105 ? 5 再由正弦定理 b= ?c = . sin C 5
○例题分析

…………14 分

【例 1】 (2011 年高考陕西卷理科 18) 18)(本小题满分 12 分)叙述并证明余弦定理 【解析】 :余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹 角的余弦的两倍积。或 a = b + c ? 2bc cos A ,
2 2 2

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b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B , c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C
证法一 ,如图 a = BC ? BC = ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB )
2

uuu uuu r r

uuur uuu r

uuur uuu r

uuur 2 uuur uuu uuu 2 uuur 2 r r uuur uuu r uuu 2 r = AC ? 2 AC ? AB + AB = AC ? 2 AC ? AB cos A + AB = b 2 ? 2bc cos A + c 2 即

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A
同理可证 b = a + c ? 2ac cos B , c = a + b ? 2ab cos C
2 2 2
2 2 2

证法二:已知 ABC中A, B, C所对边分别为a, b, c, 以A为原点,

AB所在直线为x轴 建立直角坐标系,则

C (b cos A, b sin A), B (a, 0),
∴ a 2 = BC = (b cos A ? c) 2 + (b sin A)2
2

= b 2 cos 2 A ? 2bc cos A + c 2 + b 2 sin 2 A = b 2 + c 2 ? 2bc cos A
同理可证 b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B, c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C 【例 2】 (2011 年高考湖南卷理科 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足 c sin A = a cosC .

(Ι) 求角 C 的大小; (ΙΙ) 求
解:

π? ? 3 sin A ? cos? B + ? 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4? ?

(Ι) 由正弦定理得 sin C sin A = sin A cosC
A < π ,所以 sin A > 0 .从而 sin C = cosC .又 cosC ≠ 0 ,所以 tan C = 1 ,

因为 0 < 则C =

π
4
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(ΙΙ) 由 (Ι) 知, B =
=

π? 3π ? ? A ,于是 3 sin A ? cos? B + ? = 3 sin A ? cos(π ? A) 4? 4 ?

π? ? 3 sin A ? cos A = 2 sin? A + ? 6? ?
A< 3π π π 11π π π π ,所以 < A + < .从而当 A + = ,即 A = 时, 4 6 6 12 6 2 3

因为 0 <

π? ? 2 sin? A + ? 取最大值 2. 6? ?
综上所述,

π? π 5π ? 3 sin A ? cos? B + ? 的最大值 2,此时 A = , B = . 4? 3 12 ?

评析:本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用,以及运用三角公式进行 三角变换的能力以及三角函数的最值、求角问题.

【例 3】已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=2,BC=6,CD=DA=4.求四边形 ABCD 的面 积.

图 4—15

解: 如图 4—15, 连结 BD, 则四边形面积 S=S△ABD+S△CBD=

1 1 AB· ADsinA+ BC· CDsinC 2 2

∵A+C=180°,∴sinA=sinC,

∴S=

1 (AB·AD+BC·CD) ·sinA=16sinA 2
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由余弦定理:在△ABD 中,BD2=22+42-2·2·4cosA=20-16cosA

在△CDB 中,BD2=52-48cosC, ∴20-16cosA=52-48cosC 又 cosC=-cosA,∴cosA=-

1 , 2

∴A=120°,∴S=16sinA=8

3.

【例 4】 (2011 年高考全国卷理科 17) (本小题满分 l0 分) 年高考全国 全国卷理科 ) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求 C. 【解析】 :由正弦定理得 a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C , 由a+c =

2b得2 R sin A + 2 R sin C = 2 ? 2 R sin B ,即 sin A + sin C = 2 sin B
2 sin[1800 ? ( A + C )]

A+B+C=1800 ,∴ B = [1800 ? ( A + C )] ,∴ sin A + sin C = 即∴ sin A + sin C =

2 sin( A + C ) ,由 A-C=900 得 A=900+C

∴ sin(900 + c) + sin c = 2 sin(900 + 2c) 即 cos c + sin c = 2 2 sin(450 + c) cos(450 + c) 2 2 sin(c + 450 ) = 2 2 sin(450 + c) cos(450 + c) ∴ cos(450 + c) =

1 2

∴ 450 + c = 600

∴ c = 150
cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

【例 5】 (2011 年高考山东卷理科 17)(本小题满分 12 分) 年高考山东卷理科 17)( c.已知 在 ABC 中 ,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

( 1) 求

sin C 1 的值; 的面积. 的值; 2)若 cosB= , b = 2 ,求 ?ABC 的面积. ( sin A 4

【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得 a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C , 所以

cos A-2 cos C 2c-a 2sin C ? sin A = ,即 = cos B b sin B
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sin B cos A ? 2sin B cos C = 2sin C cos B ? sin A cos B ,即有 sin( A + B ) = 2sin( B + C ) ,
sin C =2. sin A c sin C (Ⅱ)由(Ⅰ)知: =2,即 c=2a,又因为 b = 2 ,所以由余弦定理得: = a sin A 1 b 2 = c 2 + a 2 ? 2ac cos B ,即 22 = 4a 2 + a 2 ? 2a × 2a × ,解得 a = 1 ,所以 c=2,又因为 4
即 sin C = 2sin A ,所以 cosB=

1 1 1 15 15 15 ,所以 sinB= ,故 ?ABC 的面积为 ac sin B = × 1× 2 × = . 4 4 2 2 4 4

○巩固练习 1、在△OAB 中,O 为坐标原点, A(1, cos θ ), B (sin θ ,1),θ ∈ (0, 大值时, θ = ( )

π
2

] ,则当△OAB 的面积达最

π

π
B. C.

π
D.

π
2

A.

6

4 b =( ) a
(B) 2 2

3

2.(2011 年高考辽宁卷理科 4) (2011 4)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,asin AsinB+bcos2A= 2a 则 (A) 2 3 答案: D 解析:由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A= 2 sinA,即 sinB(sin2A+cos2A)= 2 sinA, 故 sinB= 2 sinA,所以

(C)

3

(D) 2

b = 2; a

3. (2011 年高考天津卷理科 6)如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的 点,且 年高考天津 天津卷理科 )如图,

AB = AD, 2 AB = 3BD, BC = 2 BD ,则 sin C 的值为( 的值为(
A. .



3 3

B. .

3 6

C. .

6 3

D. .

6 6

【答案】D 【解析】 BD = a ,则由题意可得: BC = 2a, AB = AD = 设
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3 a ,在 ?ABD 中,由余弦定理 2

得:

3a 2× ? a2 AB 2 + AD 2 ? BD 2 1 2 2 2 4 cos A = = = ,所以 sin A = 1 ? cos A = ,在△ 2 AB ? AD 3 3 2 3 2 × ( a) 2

2

3 a AB BC 2a 6 ABC 中,由正弦定理得, = ,所以 2 = ,解得 sin C = ,故选 sin C sin A 6 sin C 2 2 a 3
D. 4.(2011 年高考重庆卷理科 6) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a, b, c 满足 (2011 6)若

(a + b) 2 ? c 2 = 4 ,且 C = 600 ,则 ab 的值为
(A)

4 3

(B) 8 ? 4 3
2

(C)1
2 2

(D)

2 3
0

解析:选 A。 由 (a + b) 2 ? c 2 = 4 得 a + b + 2ab ? c = 4 ,由 C = 60 得

4 a 2 + b 2 ? c 2 4 ? 2ab 1 cos C = = = ,解得 ab = 2ab 2ab 2 3
5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

(

3b ? c cos A = a cos C ,则

)

cos A = 3 / 3 。
6. (2011 年高考全国新课标卷理科 16)在 ?ABC 中, B = 60o , AC =

3 ,则 AB + 2 BC

的最大值为



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7.在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos A = (Ⅰ)求 sin
2

B+C + cos 2 A 的值; 2

1 . 3

(Ⅱ)若 a = 解: (Ⅰ) sin
2

3 ,求 bc 的最大值.

1 B+C + cos 2 A = [1 ? cos( B + C )] + (2 cos 2 A ? 1) 2 2 1 1 1 2 1 2 = (1 + cos A) + ( 2 cos A ? 1) = (1 + ) + ( ? 1) = ? 2 2 3 9 9

(Ⅱ) ∵

b2 + c2 ? a2 1 2 = cos A = ∴ bc = b 2 + c 2 ? a 2 ≥ 2bc ? a 2 , 2bc 3 3
又∵ a =

9 3 9 9 3 ∴ bc ≤ . 当且仅当 b=c= 时,bc= ,故 bc 的最大值是 . 4 2 4 4

说明: 本题主要考查三角函数的诱导公式、 倍角公式、 余弦定理及均值不等式等基础知识, 说明: 考查运算能力。 8.(2011 年高考湖北 卷理科 16) (2011 年高考湖北卷理科 16)(本小题满分 10 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知. a = 1, b = 2, cos C = (Ⅰ) 求△ABC 的周长;
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1 4

(Ⅱ)求 cos(A—C.) 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能 力. 解析: (Ⅰ)Q c 2 = a 2 + b2 ? 2ab cos C = 1 + 4 ? 4 × = 4 ∴ c = 2.∴?ABC 的周长为
a + b + c = 1 + 2 + 2 = 5.

1 4

(Ⅱ)Q cos C == ,∴ sin C = 1 ? cos2 C = 1 ? ( ) 2 =

1 4

1 4

15 4

15 a sin C 15 ∴ sin A = = 4 = .Q a < c,∴ A < C 故 A 为 锐角. ∴ cos A = 1 ? sin 2 A c 2 8
= 1? ( 15 2 7 7 1 15 15 11 ) = . ∴ cos( A ? C ) = cos A cos C + sin A sin C = × + × = . 8 8 8 4 8 4 16

9.(2011 年高考安徽卷江苏 15) (2011 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A +

) = 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A = , b = 3c ,求 sin C 的值. 3

π

【解析】 (1)因为

π π π π 3 1 sin( A + ) = sin A cos + cos A sin = sin( A + ) = sin A + cos A = 2 cos A, 6 6 6 6 2 2
所以 3 sin A = 3cos A, 解得 tan A = 3 ,即 A 的值为 60 .
o

(2)因为 cos A = 因为 b = 3c ,所以

1 2 2 c b , 所以 sin A = , 所以在△ABC 中,由正弦定理得: = , 3 3 sin C sin B

c 3c 3 1 = ,所以 3sin C = sin( A + C ) = sin(60o + C ) = cos C + sin C ,解得 sin C sin( A + C ) 2 2 5sin C = 3 cos C , 又因为 sin 2 C + cos 2 C = 1 ,所以 sin 2 C +
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25 2 sin C = 1 ,解得 sin C 的 3

值为

21 . 14

10.已知在关于 x 的方程 ax2- 2bx+c=0 中,a、b、c 分别是钝角三角形 ABC 的三内角 A、B、C 所对的边,且 b 是最大边. (1)求证:该方程有两个不相等的正根; (2)设方程有两个不相等的正根 α、β,若三角形 ABC 是等腰三角形,求 α-β 的取值范 围. 【解析】(1)证明:因为△ABC 是钝角三角形,且 b 是最大边,故-1<cosB<0,且 b2 =a2+c2-2accosB. 故关于 x 的方程的根的判别式 ?=(- 2b)2-4ac=2b2-4ac=2(a2+c2-2accosB)- 4ac=2(a-c)2-4accosB>0. 所以,方程有两个不相等的实根(设两实根分别为 α,β).

2b >0 a ,所以该方程有两个不相等的正根. c >0 a ? 2b ?α + β = ? a (2)若三角形 ABC 是等腰三角形,则有 a=c,于是有 ? , ? α ?β =1
2b2 所以(α-β)2=α2+β2-2αβ=(α+β)2-4αβ= 2 -4 a 2(a2+c2-2accosB)-4a2 = a2 2 2 2(2a -2a cosB)-4a2 = a2 =-4cosB. 因为-1<cosB<0, 所以 0<-4cosB<4,即(α-β)2∈(0,4), 所以 α-β∈(-2,0)∪(0,2). 11 . 在 ?ABC 中 , 记 ∠BAC = x ( 角 的 单 位 是 弧 度 制 ) , ?ABC 的 面 积 为 S , 且
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? ?α + β = ? ? 由根与系数的关系可得 ? α ?β = ? ?

uuu uuur r AB ? AC = 8,4 ≤ S ≤ 4 3 .
(1)求 x 的取值范围; (2)就(1)中 x 的取值范围,求函数 f ( x ) = 2 3 sin ( x +
2

π
4

) + 2 cos 2 x ? 3 的最大值、最

小值. 解 (1)∵ ∠BAC = x, ? AB = 8 , 4 ≤ S ≤ 4 3 , AC 又S =

uuur uuu r

1 bc sin x , 2
1 ≤ tan x ≤ 3 .
……………4 分

∴ bc cos x = 8,S = 4 tan x ,即 ∴所求的 x 的取值范围是 (2)∵

π
4

≤x≤

π
. ……7 分

π
4

≤x≤

π


3

3

f ( x) = 2 3 sin 2 ( x + ) + 2 cos 2 x ? 3 4

π

= 3 sin 2 x + cos 2 x + 1 = 2 sin(2 x + ) + 1, 6 2π π 5π 1 π 3 ≤ 2x + ≤ , ≤ sin(2 x + ) ≤ . 3 6 6 2 6 2

π

9分



11 分

∴ f ( x ) min = f ( ) = 2,f ( x ) max = f ( ) =

π

π

3

4

3 +1 .

14 分

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