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2010-2011学年江苏省连云港市东海县高二(下)期中数学试卷(理科


2010-2011 学年江苏省连云港市东海县高二(下) 期中数学试卷(理科)

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综合练习
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.已知复数 z0=2+i,复数 z 满足 zz0=z+z0,则复数 z= _________ . 2.已知复数 z=

x+yi(x,y∈R) ,且|z﹣2|=1,则 的最大值为 _________ . 3. 展开式中二项式系数最大的项为 _________ . (求出具体的项)

4.有 4 双不同的手套,从中任取 4 只,至少有两只是一双的不同取法共有 _________ 种. (用数字作答) 5.七名学生站成一排,其中甲不站在两端且乙不站在中间的排法共有 _________ 种. (用数字作答) 6.设 (a,b 为有理数) ,则 a ﹣3b 的值等于 _________ . (用数字作答)
2 2

7.盒子中有 8 只螺丝钉,其中仅有 2 只是坏的.现从盒子中随机地抽取 4 只,恰好有 1 只是坏的概率等于 _________ . (用最简分数作答) 8.如图,用 A,B,C 三个不同的元件连接成一个系统 N.当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时, 系统 N 正常工作.已知元件 A,B,C 正常工作的概率依次为 0.8,0.85,0.9,则系统 N 能正常工作的概率等于 _________ .

9.已知随机变量 X 的分布列为: 准差 等于 _________ .

,P(X=1)=p,

,且 E(X)=1,则随机变量 X 的标

10. (2008?黄冈模拟)某次文艺汇演为,要将 A,B,C,D,E,F 这五个不同节目编排成节目单,如下表: 1 2 3 4 5 6 序号 节目 如果 A,B 两个节目要相邻,且都不排在第 3 号位置,那么节目单上不同的排序方式有( ) 11.设 n∈N ,定义一种运算:1*1=2, (n+1)*1=2(n*1) ,则 log2(n*1)=
*

_________ .

12. (2013?北京)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 _________ .

13.(2014?青浦区一模)已知直角坐标平面上任意两点 P(x1,y1),Q(x2,y2),定义
d(P,Q) ?

?| x 2 - x 1 | ? ?| y 2 - y 1 |

( | x 2 - x 1 |?| y 2 - y1 | ) ( | x 2 - x 1 |?| y 2 - y1 | )

为 P,Q 两点的“非常距离”.当平面上动点 M(x,y)到定点 A(a,b)

的距离满足|MA|=3 时,则 d(M,A)的取值范围

14.若等比数列{an}的前 n 项之积为 Tn,则有 和为 Sn,则有 _________ .

;类比可得到以下正确结论:若等差数列的前 n 项之

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www.jyeoo.com 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.观察等式 式规律相同的一个一般化的正确等式,并给予证明. 16. (2012?烟台一模) 在一次数学考试中, 第 21 题和第 22 题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设 4 名考生选做每一道题的概率均为 . (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ξ,求 ξ 的概率分布及数学期望. 17.3 男 3 女共 6 个同学排成一行. (1)女生都排在一起,有多少种排法? (2)任何两个男生都不相邻,有多少种排法? (3)3 名男生不全排在一起,有多少种排法? (4)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排 2 位女生,女生又不能排在队伍的两端,有多少种排法? (本题结果全部用数字作答) 18. (1)设 ,是两个非零向量,如果 ,且 ,求向量 , ,请写出与以上等

与 的夹角大小; (2)用向量方法证明:设平面上 A,B,C,D 四点满足条件 AD⊥BC,BD⊥AC,则 AB⊥CD. 2 19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且满足 an>0,2Sn=an +n(n∈N*) . (1)求 a1,a2,a3; (2)猜测数列{an}的通项公式,并加以证明; (3)求证: … .

20.如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是菱形;PA⊥平面 ABCD,PA=AD=AC,点 F 为 PC 的中点. (Ⅰ)求证:PA∥平面 BFD; (Ⅱ)求二面角 C﹣BF﹣D 的余弦值.

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2010-2011 学年江苏省连云港市东海县高二(下) 期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)已知复数 z0=2+i,复数 z 满足 zz0=z+z0,则复数 z= .

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 把复数代入方程,求出 z 的表达式,利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化为 a+bi 的形式即可. 解答: 解:复数 z0=2+i,复数 z 满足 zz0=z+z0,所以 z= = = = .
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故答案为: 点评: 本题是基础题,考查复数的方程的解法,复数除法的运算法则,考查计算能力.

2. (5 分)已知复数 z=x+yi(x,y∈R) ,且|z﹣2|=1,则 的最大值为



考点: 复数的代数表示法及其几何意义;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 由题意求出 x,y 的关系,利用 的几何意义点与原点连线的斜率,求出它的最大值.
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解答: 解:|z﹣2|=1 即(x﹣2)2+y2=1 是以(2,0)为圆心以 1 半径的圆, 的几何意义圆上的点与原点连线的斜率, 易得 的最大值是: ;

故答案为:



点评: 本题考查复数的基本概念,复数求模,表达式的几何意义,考查计算能力,是中档题.

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www.jyeoo.com 3. (5 分) 展开式中二项式系数最大的项为 . (求出具体的项)

考点: 专题: 分析: 解答:

二项式系数的性质. 计算题.

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因 n=8,而二项式系数最大的项为中间项,即 C8 最大,故只须求出展开式中第 5 项即可. 解:当 n=8 时,展开式中二项式系数最大的项是 T5, ∴T5 的项 =C8 ( = . .
4

4

)(

4



4

展开式中二项式系数最大的项是 故答案为 点评: 在 错误.

展开式中,每一项的系数与它的二项式系数是不同的;求解中若不注意这一点,就会产生

4. (5 分)有 4 双不同的手套,从中任取 4 只,至少有两只是一双的不同取法共有 54 种. (用数字作答) 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,使用间接法:首先计算从 4 双即 8 只不同的手套中任取 4 只的取法数目,再计算取出的 4 只没 有是一双的取法数目,进而相减计算可得答案. 解答: 解:根据题意,从 4 双即 8 只不同的手套中任取 4 只,有 C84=70 种不同的取法, 而取出的 4 只没有是一双即 4 双中各取 1 只的取法有 2×2×2×2=16 种; 则至少有两只是一双的不同取法有 70﹣16=54 种; 故答案为 54. 点评: 本题考查排列组合的运用,如果此类题目中有“最多”“最少”等词语时,一般采用间接法,即首先计算全部的 情况数目,再计算不符合要求的情况数目,进而相减可得答案.
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5. (5 分)七名学生站成一排,其中甲不站在两端且乙不站在中间的排法共有

3120 种. (用数字作答)

考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,由于甲甲不站两端,则甲有 5 个位置可选;对此 5 个位置进行分类讨论, :①若甲在中间,②若 甲不在中间;分别求出每种情况下不同的站法数目,进而根据分类计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,要求甲不站两端,则甲有 5 个位置可选; 5 5 分两种情况讨论: ①若甲在中间, 则乙有 6 种站法, 其余的 5 人有 A5 种不同的站法, 在此情况下有 6×A5 =720 种站法; 5 ②若甲不在中间,有 4 中不同的站法,则乙有 5 种站法,其余的 5 人有 A5 种不同的站法,在此情况下有 5 4×5×A5 =2400 种站法; 由分类计数原理,可得共有 2400+720=3120 种; 故答案为:3120. 点评: 本题考查分类计数原理与排列、组合的综合运用,注意分类讨论一定要做到不重不漏.
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www.jyeoo.com 6. (5 分)设 (a,b 为有理数) ,则 a ﹣3b 的值等于
2 2

﹣512 . (用数字作答)

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用二项式定理将

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展开,判断出两个二项式 的有理项部分相同,

的系

数相反,利用平方差公式将待求的式子用两个二项式不是,求出值. 解答: 解:∵ ∴ ∵ ∴ ∴ = = =

故答案为﹣512 点评: 在解决给值求值题时,常通过整体处理的方法,将待求的式子有已知条件表示出. 7. (5 分)盒子中有 8 只螺丝钉,其中仅有 2 只是坏的.现从盒子中随机地抽取 4 只,恰好有 1 只是坏的概率等于 . (用最简分数作答)

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 由已知中盒子中有 8 只螺丝钉,其中仅有 2 只是坏的.我们可以计算出从盒子中随机地抽取 4 只的基本事 件总数及抽取 4 只,恰好有 1 只是坏的基本事件个数,进而得到答案. 解答: 4 解:从盒子中随机地抽取 4 只共有 C8 = =70 种
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其中恰好有 1 只是坏的取法共有 C2 ?C6 =2×

1

3

=40 种 =

∴从盒子中随机地抽取 4 只,恰好有 1 只是坏的概率 P= 故答案为:

点评: 本题考查的知识点是古典概型,解决问题的步骤是:计算满足条件的基本事件个数,及基本事件的总个数, 然后代入古典概型计算公式进行求解. 8. (5 分)如图,用 A,B,C 三个不同的元件连接成一个系统 N.当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常 工作时,系统 N 正常工作.已知元件 A,B,C 正常工作的概率依次为 0.8,0.85,0.9,则系统 N 能正常工作的概 率等于 0.788 .

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www.jyeoo.com 考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 计算题;探究型. 分析: 由题意用 A,B,C 三个不同的元件连接成一个系统 N.当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工 作时,系统 N 正常工作.先算出 B,C 至少有一个通的概率,再利用乘法原理求值 解答: 解:B、C 都不工作的概率为(1﹣0.85) (1﹣0.9)=0.015 故 B、C 至少有一个正常工作的概率是 0.985 又元件 A 正常工作的概率依次为 0.8 故系统 N 能正常工作的概率等于 0.8×0.985=0.788 故答案为 0.788 点评: 本题考查相互独立事件的概率乘法公式,解题的关键是求出 B,C 所组成的系统能正确常工作的概率,理解 并掌握乘法原理是解答本题的知识保证.本题属于概率的应用题,是近几年高考概率的考试方向.
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9. (5 分)已知随机变量 X 的分布列为: X 的标准差 等于 .

,P(X=1)=p,

,且 E(X)=1,则随机变量

考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的分布列写出三个变量的概率之和等于 1,求出 p 的值,根据变量的期望值做出 x 的值,利用方差 的公式得到方差,再开方求出标准差. 解答: 解:由题意知 p=1﹣ = ,
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这组数据的期望是 ∴x=2, ∴这组数据的方差是 ∴这组数据的标准差是 故答案为: 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列的性质和期望值的应用,本题解题的关键是求出条件中出现的未知的变 量和未知概率. 10. (5 分)已知 f(x)=lg(﹣x +6x﹣5)在区间(m,m+1)上是增函数,则 m 的取值范围是
2

[1,2]



考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 2 分析: 先求函数的定义域,结合复合函数的单调性及对数函数的单调性可知 t=﹣x +6x﹣5 在(m,m+1)上是增 函数,而该函数的增区间是(1,4],从而可得(m,m+1)?(1,3] 解答: 解:函数的定义域(1,5) 2 ∵f(x)=lg(﹣x +6x﹣5)在(m,m+1)上是增函数 2 由复合函数的单调性可知 t=﹣x +6x﹣5 在(m,m+1)上单调递增且 t>0 函数的增区间(1,3],减区间[3,4)
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?1≤m≤2 故答案为:[1,2].
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查了复合函数的单调性:对数函数与二次函数的单调性,关键是要注意对数的真数大于零的要求, 即函数定义域的求解,漏掉这一点,就会把函数的单调区间弄错. 11. (5 分)设 n∈N ,定义一种运算:1*1=2, (n+1)*1=2(n*1) ,则 log2(n*1)= n . 考点: 对数的运算性质. 专题: 新定义. 分析: 由已知中的新运算,1*1=2, (n+1)*1=2(n*1) ,我们可以得到 n*1 的表达式,代入 log2(n*1)中,根据 对数运算的性质,即可得到答案. 解答: 解:∵1*1=2, (n+1)*1=2(n*1) , n ∴n*1=2 , n ∴log2(n*1)=log2(2 )=n 故答案为:n 点评: 本题考查的知识点是归纳推理,及对数的运算性质,其中根据已知中的定义的新运算,计算出 n*1 的表达 式,是解答本题的关键.
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*

12. (5 分)已知函数 f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且 f(2)=3,则 f(﹣1)=



考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题设条件,需要对恒等式进行赋值,由题发现需要依次求出自变量主 1,0 时的函数值,再求 f(﹣1) 的值. 解答: 解:令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0) ,∴f(0)=0
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令 x=y=1,得 f(2)=f(1)+f(1)=3,得 f(1)= 令 x=﹣1,y=1,得 f(0)=f(﹣1)+f(1)=0,得 f(﹣1)=﹣f(1)= 故答案为 点评: 本题考查抽象函数及其应用,求解本题的关键是对恒等式中的变量进行恰当赋值,逐步求得 f(﹣1)的值, 主需要有较高的观察能力.

13. (5 分)设 f(x)是[0,+∞)上的增函数,g(x)=f(|x|) ,则 g(lgx)<g(1)的解集是



考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由“g(x)=f(|x|)”,知 g(x)是偶函数,再由“f(x)在[0,+∞)上是增函数”知 g(x)在(0,+∞)上 是减函数,再将“g(lgx)>g(1)”转化为“g(|lgx|)>g(1)”求解. 解答: 解:∵,g(﹣x)=f(|﹣x|)=g(x) ∴,g(x)是偶函数 又∵f(x)在[0,+∞)上是增函数 ∴g(x)在(0,+∞)上是减函数 又∵g(lgx)>g(1) ∴g(|lgx|)>g(1) ∴|lgx|<1
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www.jyeoo.com ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查函数的奇偶性以及在对称区间上的单调性,本题又是抽象函数,在解不等式时,多考虑应用 单调性定义或数形结合.

14. (5 分)若等比数列{an}的前 n 项之积为 Tn,则有 前 n 项之和为 Sn,则有 S3n=3(S2n﹣Sn) . 考点: 专题: 分析: 解答:

;类比可得到以下正确结论:若等差数列的

类比推理. 探究型. 本小题主要考查类比推理,由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果.
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解:在等差数列中 S3n=Sn+(S2n﹣Sn)+(S3n﹣S2n)=(a1+a2+…+an)++(S2n﹣Sn)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n) 因为 a1+a3n=a2+a 3n﹣1=…=an+a2n+1=an+1+a2n 所以 Sn+(S3n﹣S2n)=2(S2n﹣Sn) ,所以 S3n=3(S2n﹣Sn) . 故答案为:S3n=3(S2n﹣Sn) . 点评: 本题考查类比推理、等差和等比数列的类比,搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分)观察等式 以上等式规律相同的一个一般化的正确等式,并给予证明. 考 归纳推理. 点: 专 证明题;开放型. 题: 分 分析已知条件中: , ,我们可以 析: 发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方,且三个角组成一个以 60°为公差的等差数列,右边是常数,由此 不难得到结论. 解 解:一般化的正确等式为 . (5 分) 答: 2 2 2 证明:sin x°+sin (60°+x°)+sin (60°﹣x°)
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,请写出与

= = (12 分)

(8 分)

=

= . (14 分)

点 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表 评: 达的一般性命题(猜想) , (3)论证.
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www.jyeoo.com 16. (14 分) (2012?烟台一模)在一次数学考试中,第 21 题和第 22 题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中 选做一题.设 4 名考生选做每一道题的概率均为 . (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ξ,求 ξ 的概率分布及数学期望. 考 相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 点: 分 (1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题”,事件 B 表示“乙选做第 21 题”,进而分析可得,甲、乙 2 名学生选做同 析:一道题的事件为“ ”,且事件 A、B 相互独立,由互斥事件的概率计算方法,可得答案;
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(2)根据题意,分析可得随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 ξ~ 算可得答案. 解 解: (1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题”,事件 B 表示“乙选做第 21 题”, 答:则“甲选做第 22 题”为 ,“甲选做第 22 题”为 , 进而可得,甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为“ ∴ = . ”,且事件 A、B 相互独立.

,进而可得分步列,计



(2)随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 ξ~

∴ ∴变量 ξ 的分布列为:

(或

) .

点 本题考查对立事件、相互独立事件、互斥事件的概率的计算及分步列的运用,有一定的综合性,需要加强学生 评:的这方面的训练.

17. (14 分)已知函数 (1)求实数 m 的值; (2)当 x∈(3,4)时,求 f(x)的取值范围.

的图象关于点(2,0)对称.

考点: 对数函数的图像与性质;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: (1)先由 f(x)的图象关于点(2,0)对称得 f(2﹣x)+f(2+x)=0 将此式利用函数解析式代入,求实 数 m 的值;
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(2)由(1)得:

考查此函数在 x∈(3,4)时,的单调性,从而求得 f(x)

的取值范围. 解答: 解: (1)由 f(x)的图象关于点(2,0)对称得 f(2﹣x)+f(2+x)=0, (2 分)
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www.jyeoo.com 所以在其定义域内有 故
2

, (4 分) ,所以 m =1. (6 分) . (8 分)

又 m=1 时,函数表达式无意义,所以 m=﹣1,此时 (2) x∈(3,4)时, , (10 分) 是减函数,值域为(3,+∞) , (12 分)

所以当 x∈(3,4)时,f(x)的取值范围为(1,+∞) . (14 分) 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数对称性的应用、对数函数的图象与性质等基础知识,解答的关键 是运算求解能力,数形结合思想的应用.属于基础题.

18. (16 分) (1)设 求向量 与 的夹角大小;

,是两个非零向量,如果

,且



(2)用向量方法证明:设平面上 A,B,C,D 四点满足条件 AD⊥BC,BD⊥AC,则 AB⊥CD. 考点: 平面向量的综合题;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 综合题. 分析: (1) )由已知可得, , 将 代回原式可得

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,整理可得



,根据向量的夹角公式可求 ,同理可得

(2)由 AD⊥BC,可得 要证 AB⊥CD 即证即 解答: 解: (1)因为 因为 两式相减得 将 ,所以 ,于是 代回任一式得 , , (6 分) = , ,所以

, , (2 分)

设与的夹角为 θ,则 所以与的夹角大小为 120°. (8 分) (2)因 AD⊥BC,所以 因 BD⊥AC,所以 于是 ,

, , (12 分) ,

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www.jyeoo.com 所以 即 点评: ,所以 , , (14 分) ,即 AB⊥CD. (16 分) ? 的应用,要证明线段垂直只要证明对应的向

本题主要考查了平面向量的数量积的性质:若

量的数量积为 0 即可,而若知道向量垂直,则可得向量的数量积为 0 19. (16 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且满足 an>0,2Sn=an +n(n∈N*) . (1)求 a1,a2,a3; (2)猜测数列{an}的通项公式,并加以证明; (3)求证: … .
2

考点: 数列递推式;数列与不等式的综合. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)分别令 n=1,2,3,列出方程组,能够求出求 a1,a2,a3; 2 2 2 2 (2)猜想:an=n,由 2Sn=an +n 可知,当 n≥2 时,2Sn﹣1=an﹣1 +(n﹣1) ,所以 an =2an+an﹣1 ﹣1 再用数学 归纳法进行证明;
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(3)把数列{an}的通项公式代入 解答: 解: (1)分别令 n=1,2,3,得

中,利用放缩法即可证明结论.

∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3. (2)由(1)的结论:猜想 an=n 1)当 n=1 时,a1=1 成立; 2)假设当 n=k 时,ak=k. 那么当 n=k+1 时, 2 2 ∵2Sk+1=ak+1 +k+1,∴2(ak+1+Sk)=ak+1 +k+1, 2 2 2 ∴ak+1 =2ak+1+2Sk﹣(k+1)=2ak+1+(k +k)﹣(k+1)=2ak+1+(k ﹣1)?[ak+1﹣(k+1)][ak+1+(k﹣1)]=0. ∵ak+1+(k﹣1)>0,∴ak+1=k+1,这就是说,当 n=k+1 时也成立, 故对于 n∈N*,均有 an=n. (3)当 n=1,2 时,显然成立. 当 n≥3 时, … = … …

=



点评: 本题考查数列和不等式的综合应用,解题时要注意各种不同解法的应用,平时做题时多尝试一题多解能够 有效地提高解题能力.属中档题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=2 . (1)求函数 F(x)=f(x)+af(2x) ,x∈(﹣∞,0]的最大值;
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x

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www.jyeoo.com (2)若存在 x∈(﹣∞,0) ,使 f(2x)﹣af(x)>1 成立,求 a 的取值范围; (3)若当 x∈[0,3]时,不等式 f(x+1)≤f[(2x+a) ]恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 指数函数的单调性与特殊点;函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: (1)求出 F(x)的解析式,用换元法把函数转化为二次函数,问题转化为二次函数在定区间上求最大值, 结合函数图形,分为三类进行讨论,后归结为两类,写为分段函数的形式; (2)用换元法转化为二次不等式,因为 t∈(0,1) ,所以分离参数,另一边的式子的取值范围为(﹣∞,0) , 由题意得,a<0;
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2

(3)利用 f(x)=2 是增函数去掉不等式中的 f,得关于 x 的二次不等式,转化二次函数在定区间上求最小 值,因为对称轴不确定,求最小值分为三种情况进行讨论,把三个范围并在一起就是 a 的取值范围.
x 2x 解答: 解: (1)F(x)=2 +a?2 ,x∈(﹣∞,0]. x 令 2 =t,因 x∈(﹣∞,0],故 t∈(0,1]. x 2x 2 2 +a?2 =at +t(0<t≤1) . (2 分) 当 a=0 时,F(x)max=1. (3 分)

x

当 a≠0 时,令 g(t)= 若 a>0,t=1 时 g(t)取最大值,g(1)=a+1. (4 分) 若 若 , ,t=1 时 g(t)取最大值,g(1)=a+1. (5 分) 时 g(t)取最大值,



. (6 分)

综上,
x 2

(7 分)

(2)令 2 =t,则存在 t∈(0,1)使得 t ﹣at>1, 即存在 t∈(0,1)使得
x

,∴a<0.a 的取值范围是(﹣∞,0) . (9 分)
2 2

(3)因 f(x)=2 是单调增函数,故由 f(x+1)≤f[(2x+a) ]得 x+1≤(2x+a) , 2 问题转化为 x+1≤(2x+a) 对 x∈[0,3]恒成立, (10 分) 2 2 2 2 即 4x +(4a﹣1)x+a ﹣1≥0,令 h(x)=4x +(4a﹣1)x+a ﹣1, 若 若 若 ,必需且只需 h(0)≥0,此时得 a≥1; (12 分) ,必需且只需 h(3)≥0,此时得 a≤﹣8; (14 分) ,必需且只需△ =(4a﹣1) ﹣16(a ﹣1)≤0,此时无解.
2 2

综上得 a 的取值范围是{a|a≤﹣8 或 a≥1}. (16 分) 点评: 此题考查复合函数的最值,求参数的范围,求函数最值时,用转化化归的思想化成已学的函数,一般是二 次函数,再利用数形结合,分类讨论的思想求最值, (1)与(3)的区别, (1)中开口方向不定, (3)中是 定的,注意(2)中的问法,存在两个字,分离参数,化归的是单调函数.考查逻辑推理,抽象概括能力, 综合运用能力.

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