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高中数学必修(1-5)+选修(2-1~3)+(4-4)知识点 3


高中数学必修&选修知识点归纳
引言
1.课程内容:
必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、 对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3:算法初步、统计、概率。 必修 4:基本初等函数(三角函数) 、平面向量、 三角恒等变换。 必修 5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所

必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、 发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做 过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列: 选修 1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修 1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列 2:由 3 个模块组成。 选修 2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修 2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 。 ⑵ 函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值 域与最值、反函数、三大性质、函数 图象、指数与指数函数、对数与对数 函数、函数的应用 ⑶ 数列: 数列的有关概念、 等差数列、 等比数列、 数列求和、数列的应用 ⑷ 三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸ 平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹ 不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的 证明、不等式的解法、绝对值不等 式、不等式的应用 ⑺ 直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置 关系、线性规划、圆、直 线与圆的位置关系 ⑻ 圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线 与圆锥曲线的位置关系、轨 迹问题、圆锥曲线的应用 ⑼ 直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与 平面、平面与平面、棱柱、棱 锥、球、空间向量 ⑽ 排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项 式定理及其应用 ⑾ 概率与统计:概率、分布列、期望、抽样 ⑿ 导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀ 复数:复数的概念与运算

必修 1 数学知识点
第一章:集合与函数概念
§ 1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数集合:

2.重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量, 圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴ 集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件
-1-

Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R .

4、集合的表示方法:列举法、描述法 图示法. § 1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. ? .并规定: 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素, 则集合 A 有 2 个子 集, 2 ? 1 个真子集. § 1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B .
n

2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数(选修 2-2) 1、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在

x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为

P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方
程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 2、几种常见函数的导数
' ①C ? 0 ;②( x n ) ' ? nxn?1 ;

n

③(sin x) ' ? cos x ; ④(cosx) ' ? ? sin x ; ⑤(a x ) ' ? a x ln a ; ⑦(log a x) ?
'

⑥(e x ) ' ? e x ;

2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B . 3、全集、补集? CU A ? {x | x ?U , 且x ?U } § 1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在 集合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应, 那么 记作: y ? f ?x ?, x ? A . 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. § 1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. § 1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么 就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,

1 1 ' ;⑧(ln x ) ? x ln a x

3、导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' . (2) (uv)' ? u 'v ? uv' . (3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

4、复合函数求导法则 复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导数和函数 y ? f (u), u ? g ( x) 的导数间的关系为 y x? ? yu? ? u x? , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的 乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义: 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) < f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值; 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) > f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极小值. (2)判别方法: ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0, 那么 f ( x 0 ) 是极大值; ② 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0, 那么 f ( x 0 ) 是极小值. 6、求函数的最值 (1)求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值(极大或者极小值) (2)将 y ? f ( x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较,其中 最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。 注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质) ; 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。
-2-

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格 式 : 解 : 设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 , 则 : (2)导数法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导 ? 若 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. § 1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一

f ?x1 ? ? f ?x2 ? =…

x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为 偶函数 .偶函数图象关于 y 轴对称.

第二章:基本初等函数(Ⅰ )
§ 2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根。 其中 n ? 1, n ? N ? .
n

?M ? ? ? loga M ? loga N ; ?N? ⑶loga M n ? n loga M .
⑵loga ? 5、换底公式: loga b ?

logc b logc a
m log a b n

2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ; 当 n 为偶数时, a ? a .
n n

?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .
6、重要公式: log a n b ?
m

3、 我们规定:

? m an a ? 0, m, n ? N * , m ? 1 ; 1 ?n ⑵a ? n ?n ? 0 ? ; a
⑴a

?

n m

?

7、 倒数关系:loga b ?

1 ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . logb a y
y=logax
0<a<1
o

§ 2..2.2、对数函数及其性质 1、记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1? 2、性质:

4、 运算性质: ⑴a a ? a
r s

?a ? 0, r, s ? Q? ; s ⑵?a r ? ? a rs ?a ? 0, r , s ? Q ? ; r ⑶?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .
r ?s
y

1 a>1

x

a ?1
3
3

0 ? a ?1
2.5 2 1.5

§ 2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象: y ? a ?a ? 0, a ? 1?
x

2.5

2

1.5

y=ax
0<a<1 1
o x


-1

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5


a>1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2
-2.5

2、性质:

-2.5

(1)定义域: (0,+∞)
性 质

a ?1
6

0 ? a ?1
6 5

(2)值域:R (3)过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0
(4)在 (0,+∞)上是增函数

图 象
1
-4 -2

5

4

4

(5) x ? 1, loga x ? 0 ;

(4)在(0,+∞)上是减函数

3

3

0 ? x ? 1, loga x ? 0

(5) x ? 1, loga x ? 0 ;

0 ? x ? 1, loga x ? 0

2

2

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数
x

§ 2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

(5) x ? 0, a ? 1 ; x x ? 0, 0 ? a ? 1 § 2.2.1、对数与对数运算
log N

(5) x ? 0,0 ? a ? 1 ;
x

x ? 0, a ? 1
x

1、指数与对数互化式: a x ? N ? x ? loga N ; 2、对数恒等式: a a ? N . 3、基本性质: loga 1 ? 0 , loga a ? 1 . 4、运算性质:当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴loga ?MN ? ? loga M ? loga N ;

-3-

V台体 ?

第三章:函数的应用
§ 3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根

1 S上 ? S上 ? S下 ? S下 h 3

?

?

⑸ 球的表面积和体积:

? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ?x ? 有零点.

4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 . 3

第二章:点、直线、平面之间的位置关系
1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条
直线在此平面内。

2、 零点存在性定理: 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有 f ?a ? ? f ?b ? ? 0 ,那么函数

y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? , 使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根.
§ 3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. § 3.2.1、几类不同增长的函数模型 § 3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函 数拟合,最后检验.

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。

必修 2 数学知识点
第一章:空间几何体
1、空间几何体的结构 ⑴ 常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。

8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴ 判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则
该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行) 。

⑵ 性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面平行,则 线线平行) 。

⑵ 棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每
相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成 的多面体叫做棱柱。

10、面面平行: ⑴ 判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行) 。

⑵ 性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么
它们的交线平行(简称面面平行,则线线平行) 。

⑶ 棱台: 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截
面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影 的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影,平行投影的投影线是平行的。

11、线面垂直: ⑴ 定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,
那么就说这条直线和这个平面垂直。

3、空间几何体的表面积与体积

⑵ 判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直) 。

⑶ 性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴ 定义: 两个平面相交, 如果它们所成的二面角是直二面角, ⑴ 圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l ⑵ 圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ⑶ 圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷ 体积公式:
就说这两个平面互相垂直。

⑵ 判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直) 。

⑶ 性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。 (简称面面垂直, 则线面垂直) 。

1 V柱体 ? S ? h ; V锥体 ? S ? h ; 3
-4-

第三章:直线与方程

其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r . ⑵ 一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 其中圆心为 ( ?

y ? y1 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2 x 2 ? x1
2、直线方程: ⑴ 点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵ 斜截式: y ? kx ? b

D

2 2 2、直线与圆的位置关系

,?

E

), 半径为 r ?

1 2

D2 ? E 2 ? 4F .

y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1 x y ⑷ 截距式: ? ? 1 a b ⑸ 一般式: Ax ? By ? C ? 0
⑶ 两点式: 3、对于直线:

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有:

? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
3、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴ 外离: d ? R ? r ; ⑵ 外切: d ? R ? r ; ⑶ 相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷ 内切: d ? R ? r ; ⑸ 内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:

?k1 ? k 2 ⑴l1 // l 2 ? ? ; ?b1 ? b2
⑵l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ; ⑶l1 和 l 2 重合 ? ?

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑷l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 . 4、对于直线:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

有:

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2
必修 3 数学知识点
第一章:算法

? A1 B2 ? A2 B1 ⑴l1 // l 2 ? ? ; ?B1C 2 ? B2 C1
⑵l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ;

? A1 B2 ? A2 B1 ⑶l1 和 l 2 重合 ? ? ; ?B1C2 ? B2 C1 ⑷l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 .
5、两点间距离公式:

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2
A2 ? B 2

1、算法三种语言: 自然语言、流程图、程序语言; 2、流程图中的图框: 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等 规范表示方法; 3、算法的三种基本结构: 顺序结构、条件结构、循环结构 ? ⑴ 顺序结构示意图:

6、点到直线距离公式:

?当型循环结构 ?直到型循环结构

d?

Ax0 ? By0 ? C

7、两平行线间的距离公式: l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 平行, 则d ?

(图 1)

语句 n 语句 n+1

C1 ? C2 A2 ? B 2
第四章:圆与方程

⑵ 条件结构示意图: ① IF-THEN-ELSE 格式:

1、圆的方程:

⑴ 标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r
2 2

满足条件?
2



(图 2)
-5语句 1

是 语句 2

② IF-THEN 格式: 是 满足条件? (图 3) 否 语句

WHILE 循环体 WEND

条件
(图 4)

直到型循环(UNTIL)语句的一般格式: DO 循环体 (图 5) LOOP UNTIL 条件 ⑹ 算法案例: ① 辗转相除法—结果是以相除余数为 0 而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: ⅰ ) : 用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S0 和 一个余数 R0 ; ⅱ ) : 若 R0 =0, 则 n 为 m, n 的最大公约数; 若 R0 ≠0, 则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ; ⅲ ) : 若 R1 =0, 则 R1 为 m, n 的最大公约数; 若 R1 ≠0, 则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;…… 依次计算直至 Rn =0, 此时所得到的 Rn ?1 即为所求 的最大公约数。 ② 更相减损术—结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下: ⅰ ) :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。 若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 ⅱ ) :以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与 所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直 到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的 最大公约数。 ③ 进位制 十进制数化为 k 进制数—除 k 取余法 k 进制数化为十进制数

⑶ 循环结构示意图: ① 当型(WHILE 型)循环结构示意图:

循环体 (图 4) 满足条件? 否 ② 直到型(UNTIL 型)循环结构示意图: 是

(图 5)

循环体 否 满足条件? 是

4、基本算法语句: ① 输入语句的一般格式: INPUT“提示内容”;变量 ② 输出语句的一般格式: PRINT“提示内容”;表达式 ③ 赋值语句的一般格式:变量=表达式 (“=”有时也用“←”). ④ 条件语句的一般格式有两种: IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为: IF 条件 THEN 语句 1 ELSE (图 2) 语句 2 END IF IF—THEN 语句的一般格式为: IF 条件 THEN 语句 END IF

第二章:统计
1、抽样方法: ① 简单随机抽样(总体个数较少) ② 系统抽样(总体个数较多) ③ 分层抽样(总体中差异明显) 注意: 在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本, n 每个个体被抽到的机会(概率)均为 。 N 2、总体分布的估计: ⑴ 一表二图: ① 频率分布表——数据详实 ② 频率分布直方图——分布直观 ③ 频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵ 茎叶图:
-6-

图3

⑤ 循环语句的一般格式是两种: 当型循环(WHILE)语句的一般格式:

① 茎叶图适用于数据较少的情况, 从中便于看出数据的 分布,以及中位数、众位数等。 ② 个位数为叶, 十位数为茎, 右侧数据按照从小到大书 写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: x ? x ? x ? ?? xn ⑴ 平均数: x ? 1 2 3 ; n 取值为 x1 , x 2 , ? , x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ? , p n ,则其 平均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵ 方差与标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 方差: s 2 ?
1 n

3、几何概型: ⑴ 几何概型的特点: ① 所有的基本事件是无限个; ② 每个基本事件都是等可能发生。 ⑵ 几何概型概率计算公式: P( A) ?
d的测度 ; D的测度

?
i ?1

n

2

( x i ? x) ;
n 2

标准差: s ?

1 n

?
i ?1

( x i ? x)

其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、 体积等。 4、互斥事件: ⑴ 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件; ⑵ 如果事件 A1 , A2 , ? , An 任意两个都是互斥事件,则称 事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥。 ⑶ 如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率, 等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ⑷ 如果事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,则有:
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的 稳定水平。 ⑶ 线性回归方程 ① 变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ② 制作散点图,判断线性相关关系 ③ 线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n 2 ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx
?

⑸ 对立事件: 两个互斥事件中必有一个要发生, 则称这 两个事件为对立事件。 ① 事件 A 的对立事件记作 A
P( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A)

② 对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事 件。

必修 4 数学知识点
第一章:三角函数
§ 1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.
l . r

第三章:概率
1、随机事件及其概率: ⑴ 事件: 试验的每一种可能的结果, 用大写英文字母表 示; ⑵ 必然事件、不可能事件、随机事件的特点;
m ⑶ 随机事件 A 的概率: P( A) ? ,0 ? P( A) ? 1 . n

§ 1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角. 2、 ? ?

2、古典概型: ⑴ 基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵ 古典概型的特点: ① 所有的基本事件只有有限个; ② 每个基本事件都是等可能发生。 ⑶ 古典概型概率计算公式: 一次试验的等可能基本事件 共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则事 件 A 发生的概率 P( A) ?
m . n
-7-

n?R ? ?R. 180 n?R 2 1 ? lR . 4、扇形面积公式: S ? 360 2
3、弧长公式: l ?

§ 1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点

P?x, y ?,那么: sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ?
2、 设点 A? x , y

那么: (设 ? 为角 ? 终边上任意一点,

y x

?? ? ? ? ? s i n sin ?, c o ?s ??? ? c o ? s,
4、诱导公式四:

t a? n ??? ? ?t a n ?.

r ? x2 ? y 2 )

y x y x cos ? ? , tan ? ? , , cot ? ? r r x y ? ,cos? , tan? 在四个象限的符号和三角 3、 s i n sin ??
函数线的画法. 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 5、 特殊角 0° ,30° ,45° ,60° , 90° ,180° ,270 等的三角函数值. 0
?
? 6
y P T

?? ? ? ? ? s i n sin ?, c o? s ? ??? ? ?c o ? s,
t a? n ? ??? ? ?t a n ?.
?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

5、诱导公式五:

O

M

Ax

? 4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

?

3? 2

2?

6、诱导公式六:

sin ?
cos ?

?? ? sin s, ? ?? ? ? c o ? ?2 ? ?? ? c o? s ?? ? ? ?s i n ?. ?2 ?
§ 1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:

tan ?

§ 1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .
2 2

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

sin ? 2、 商数关系: tan ? ? . cos ? 3、 倒数关系: tan ? cot ? ? 1

1 o -1 y 1 o -1
? 2 ? ? 2

3? 2 2? 5? 3? 2

7? 2 4?

x

§ 1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z ) 1、 诱导公式一:

y=cosx
-4? -7? 2 -5? -3? 2 -2? -3? 2

? -? - 2

?

3? 2 2? 5? 2

7? 3? 2

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .

4?

x

2、 诱导公式二:

?? ? ? ? ? ? s i n sin ?, c o? s ? ??? ? ?c o ? s,
t a? n ? ??? ? t a n ?.

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.

y ? sin x 在 x ? [0, 2? ] 上的五个关键点为:

3、诱导公式三:

? 3? (0, 0) ( , , 1 ) ( , ?, 0) ( , ,) -1( , 2?, 0) . 2 2

-8-

§ 1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
y

2、记住余切函数的图象:
y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ? ,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域
x ? 2 k? ?

R
[-1,1]
?
2 , k ? Z时,y max ? 1 , k ? Z时,y min ? ?1

R
[-1,1]
x ? 2k? , k ? Z时,ymax ? 1 x ? 2k? ? ? , k ? Z时,ymin ? ?1

{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

最值
x ? 2 k? ?

?
2



周期性 奇偶性 单调性
2

T ? 2?
奇 在 [2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递增
2

T ? 2?
偶 在 [2k? ? ? , 2k? ] 上单调递增 在 [2k? , 2k? ? ? ] 上单调递减 对称轴方程: x ? k? 对称中心 ( k? ?

T ??
奇 在 (k? ? ? , k? ? ? ) 上单调递增 2 2

k ?Z

在 [2k? ? , 2k? ? 3? ] 上单调递减 2 2 对称轴方程: x ? k? ? 对称中心 ( k? , 0)
?
2

?

对称性

无对称轴 对称中心 (

k ?Z

?
2

, 0)

k? 2

, 0)

-2-

§ 1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象 1、对于函数:

(A,ω, ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ?

? . |? |

y ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,周
期T ?

2?

对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来 说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的对称轴与对称 中心,只需令 ? x ? ? ? k? ?

?

, 初相 ? , 相位 ?x ? ? , 频率 f ?

1 T

?

2?

?

.

?
2

(k ? Z ) 与

2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

? x ? ? ? k? (k ? Z )

y ? Asin ??x ? ? ? ? B 的图象之间的平移伸缩变
换关系. ① 先平移后伸缩:

解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征: A ?

y ? sin x

平移

| ?|

个单位

y ?sin ? x ?? ? y ? As i n ?? ? ? x y ? A sin ?? x ? ? ?

? 要根据周期来求, ? 要用图像的关键点来求.
§ 1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.

ymax ? ymin y ? ymin , B ? max . 2 2

(左加右减) 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的 | 平移 | B | 个单位 (上加下减)

第二章:平面向量
§ 2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. § 2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三 个要素:起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称 模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做 零向量;

1

?

|倍

y ? Asin ??x ? ? ? ? B

??? ?

② 先伸缩后平移:

y ? sin x

横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变

y ? A sin x

y ? A sin ? x
1

横坐标变为原来的 | 平移
? ?

?

|倍

长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共 线向量).规定:零向量与任意向量平行. § 2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. § 2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

个单位

y ? As i n ?? ? ?? x y ? Asin ??x ? ? ? ? B
2、 a ? b ≤ a ? b . § 2.2.2、向量减法运算及其几何意义

(左加右减) 平移 | B | 个单位 (上加下减)

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈ R 及函数

y ? cos(? x ? ? ) ,x∈ R(A, ? , ? 为常数,且 A≠0)的周
期 T ? 2? ;函数 |? |

y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z
2

?

1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

-2-

§ 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运 算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向 规定如下: ⑴?a ?

⑵ △ ABC 的重心坐标为

?

x1 ? x2 ? x3 3

, y1 ? y32 ? y3 .

?

§ 2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 a ? b ? a b cos? . 2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a .
2 2

? a,

⑵当 ? ? 0 时 , ? a 的方向与 a 的方向相同;当

4、 a ?

a .

2

? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.
2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当 且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . § 2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两 个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . § 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . § 2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ⑵a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶? a ? ??x1 , ?y1 ? , ⑷a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

?

?

5、 a ? b ? a ? b ? 0 . § 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵a ?

x12 ? y12

⑶a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ⑷a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

?

?

? ?

?

?

?

?

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y 12 ? x 2 2? y
2 2

3、 两向量的夹角公式

? ? a ?b co? s ? ? ? ? a b

4、点的平移公式 平移前的点为 P ( x, y )(原坐标) ,平移后的对应点 为 P?( x?, y?) (新坐标) ,平移向量为 PP? ? (h, k ) , 则?

????

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? .
§ 2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则 ⑴ 线段 AB 中点坐标为

? x? ? x ? h ? y? ? y ? k .
函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? (h, k ) 平移后的

?

图像的解析式为 y ? k ? f ( x ? h). § 2.5.1、平面几何中的向量方法 § 2.5.2、向量在物理中的应用举例
-3-

?

x1 ? x2 2

y2 , , y1 ? 2

?

知识链接:空间向量(选修 2-1) 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得. 下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行 总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴ .直线的方向向量:

? ? ? ? l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 .
即:两直线垂直 ⑵ 线面垂直

设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 两直线的方向向量垂直。

? ?

若 A、 B 是直线 l 上的任意两点, 则 AB 为直线 l 的 一个方向向量; 与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. ⑵ .平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量 垂直于平面 ? ,记作 n ? ? ,如果 n ? ? ,那么向量 n 叫做平面 ? 的法向量. ⑶ .平面的法向量的求法(待定系数法) : ① 建立适当的坐标系. ② 设平面 ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) . ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标

??? ?

??? ?

?

? ? ? ? ? ? 量是 u , 则要证明 l ? ? , 只需证明 a ∥u , 即 a ? ?u . ? ② (法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 内的两 ? ?? ?? ?? ? ? ?a ? m ? 0 , 则l ? ? . 个相交向量分别为 m 、 n ,若 ? ? ? ? ?a ? n ? 0
① (法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向 即:直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的 法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。 ⑶ 面面垂直 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要 证 ? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 . 即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴ 求异面直线所成的角 已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? ,则

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?? a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) .
④ 根据法向量定义建立方程组

? ? ?n ? a ? 0 ? . ?? ? n ? b ? 0 ? ?

⑤解方程组,取其中一组解, 即得平面 ? 的法向量. (如图) 1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴ 线线平行

???? ??? ? AC ? BD cos ? ? ???? ??? ?. AC BD

⑵ 求直线和平面所成的角 ① 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
王新敞
奎屯 新疆

? ? ? ? l1 ∥l2 ,只需证明 a ∥b ,即 a ? kb(k ? R) .
即:两直线平行或重合 ⑵ 线面平行

设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 两直线的方向向量共线。

? ?

? ② 求法:设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量 ? ? ? 为 u ,直线与平面所成的角为 ? , a 与 u 的夹角为 ? , 则 ? 为 ? 的余角或 ? 的补角
的余角.即有:

① (法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向 量是 u , 则要证明 l ∥? , 只需证明 a ? u , 即 a ?u ? 0 . 即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面 的法向量垂直且直线在平面外 ② (法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以 在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向 量即可. ⑶ 面面平行 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要 证 ? ∥? ,只需证 u ∥v ,即证 u ? ? v . 即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴ 线线垂直
-4-

?

?

?

?

? ?

? ? a ?u sin ? ? cos ? ? ? . a u

⑶ 求二面角 ① 定义: 平面内的一条直线把平面分为两个部分, 其 中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角 的棱,每个半平面叫做二面角的面
王新敞
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二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的棱上 任取一点 O, A 分别在两个半平面内作射线 l AO ? l , BO ? l ,则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平 O B 面角.

?

?

?

?

?

?

B

O

如图:

A

面间的距离转化为求点面距离。 ② 求法: 设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量 分别为 m、 n ,再设 m、 n 的夹角为 ? ,二面角

?? ?

?? ?

?? ? ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则二面角 ? 为 m 、 n 的夹角 ? 或其补角 ? ? ? . 根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角: ?? ? m?n ◆ 如果 ? 是锐角,则 cos ? ? cos ? ? ?? ? , m n ?? ? m?n 即 ? ? arccos ?? ? ; m n ?? ? m?n ◆ 如果 ? 是钝角,则 cos ? ? ? cos ? ? ? ?? ? , m n
?? ? ? m?n ? 即 ? ? arccos ? ? ?? ? ? . ? m n? ? ?

? ???? n ? MP 即d ? ? . n
?

⑸ 异面直线间的距离 设向量 n 与两异面直线 a , b 都垂直, M ? a, P ? b, 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向 上投影的绝对值。

????

?

? ???? n ? MP 即d ? ? . n

6、三垂线定理及其逆定理 ⑴ 三垂线定理:在平面内的一条直线,如它和这个平 面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 推理模式: P
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5、利用法向量求空间距离 ⑴ 点 Q 到直线 l 距离

? 若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上,a 为直线 l 的 ? ? ??? 方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离为 1 ? ? ? ? h ? ? (| a || b |) 2 ? (a ? b ) 2 |a|
⑵ 点 A 到平面 ? 的距离

PO ? ? , O ? ? ? ? PA ? ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

O A

?

a

概括为: 垂直于射影就垂直于 斜线. ⑵ 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的 射影垂直
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? 平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就等于 ? ???? MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值. ? ???? ???? ?????? ???? n ? MP 即 d ? MP cos n, MP ? MP ? ? ???? n MP ? ???? n ? MP ? ? n
⑶ 直线 a 与平面 ? 之间的距离

若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任一点,

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 ? 内的 任一条直线,AD 是 ? 的一 条斜线 AB 在 ? 内的射影, 且 BD⊥ AD,垂足为 D.设 A AB 与 ? (AD)所成的角为 ? ? 1 , AD 与 AC 所成的角为 8、面积射影定理

B
?1 ?2 ?

D C

当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平 面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离, 即转化为点面距离。

则 cos? ? cos?1 cos? 2 . ? 2 ,AB 与 AC 所成的角为? . 已知平面 ? 内一个多边形的面积为 S S原 , 它在 平面 ? 内的射影图形的面积为 S ? S射 ,平面 ? 与平 面 ? 所成的二面角的大小为锐二面角 ? ,则

? ???? n ? MP 即d ? ? . n

? ?

? ?

⑷ 两平行平面 ? , ? 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平
-5-

co? s ?

S ' S射 = S S原

.

9、一个结论 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射 影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、?3 ,则有

定, tan ? ?

b ). a

l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1
2 ?s i n ?1 ? s i2n ?2 ? s2i? n 2 3 ?.

必修 5 数学知识点
第一章:解三角形
1、正弦定理:

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

第三章、三角恒等变换
§ 3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15° 的三角函数值:

?

sin ?
6? 2 4

cos?
6? 2 4

tan?
2? 3

? 12

§ 3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径) ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C; a b c ? sin A ? ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C.
用途:⑴ 已知三角形两角和任一边,求其它元素; ⑵ 已知三角形两边和其中一边的对角,求其它 元素。 2、余弦定理:

1、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ?

4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? tan? ?tan ? 5、 tan ?? ? ? ? ? . 1?tan? tan ? tan? ?tan ? 6、 tan ?? ? ? ? ? . 1?tan? tan ? § 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos ? ? 1 . 2 sin 2? 2 2 2 2、 cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ?a ? b ? c ? 2bc cos A, ? 2 bc ? ? 2 2 2 a 2 ? c2 ? b2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ? , ?cos B ? 2ac ?c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C. ? ? ? a 2 ? b2 ? c2 . ?cos C ? 2ab ?
2 2 2

? 1 ? 2 sin 2 ? .
变形如下:
2 ? 2? 2 c ? os ?1 ? c o s? 升幂公式: ? 2? 2 2 s? in ? ?1 ? c o s? ?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂公式: ? ?sin 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2

用途:⑴ 已知三角形两边及其夹角,求其它元素; ⑵ 已知三角形三边,求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式:

S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

4、三角形内角和定理: 在△ ABC 中,有

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) C ? A? B ? ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

? 2 tan? . 1 ? tan2 ? sin 2? 1 ? cos 2? ? 4、 tan ? ? 1 ? cos 2? sin 2?
3、 tan 2? § 3.2、简单的三角恒等变换 2、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式

5、一个常用结论: 在 ?ABC 中, a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B; 若 sin 2 A ? sin 2 B, 则A ? B或A ? B ?

. 特别注意, 2 在三角函数中, sin A ? sin B ? A ? B 不成立。

?

第二章:数列
1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
( 其 中 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决

, (n ? 1) ?S1 注意通项能否合并。 an ? ? S ? S ,( n ? 2). n ?1 ? n
2、等差数列:
-6-

⑴ 定义: 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一 项的差等于同一个常数,即 a n - a n ?1 =d , (n≥2, n∈ N?) , 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵ 等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列

⑸ 常用性质 ① 若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

am ? an ? a p ? aq ; k ②ak , ak ?m , ak ?2m ,?为等比数列, 公比为 q (下标成等
差数列,则对应的项成等比数列) ③ 数列 ??an ?( ? 为不等于零的常数) 仍是公比为 q 的 等比数列;正项等比数列 ?an ? ;则 ?lg an ? 是公差为

? A?

a?b 2

⑶ 通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷ 前 n 项和公式:

lg q 的等差数列;
2 ④ 若 ?an ? 是等比数列,则 ?can ?,an , ?

Sn ? na1 ?
⑸ 常用性质:

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

?1? ?, ? an ? 1 ,q r . ?an r ? (r ? Z ) 是等比数列,公比依次是 q,q 2, q

? ?

⑤ 单调性:

① 若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

a1 ? 0,0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? ?an ? 为递减数列;
q ? 1 ? ?an ? 为常数列;
q ? 0 ? ?an ? 为摆动数列;

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ? ?an ? 为递增数列;

am ? an ? a p ? aq ;
② 下标为等差数列的项 ?ak , ak ?m , ak ?2m ,?? , 仍组成等 差数列; ③ 数列 ??an ? b?( ? , b 为常数)仍为等差数列; ④ 若 {an } 、 {bn }是等差数列,则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{a p?nq }( p, q ? N ) 、 ,…也成等
*

⑥ 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦ 若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

S3k ? S 2 k … 是等比数列(条件?).
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列 的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从 而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法: 若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式

差数列。 ⑤ 单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ ) d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; ⅱ ) d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; ⅲ ) d ? 0 ? ?an ? 为常数列; ⑥ 数列{ a n }为等差数列 ? an ? pn ? q (p,q 是常数) ⑦ 若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

, (n ? 1) ?S1 构造两式作差求解。 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2)
注意:用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一 分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即 a1 和 an 合为一个表达, (要先分 n ? 1 和 n ? 2 两种情况分别进 行运算,然后验证能否统一) 。 类型Ⅲ 累加法: 形如 an?1 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f ( n) 是关
?an ? an ?1 ? f (n ? 1) ? 于 n 的函数)可构造: ?an ?1 ? an ? 2 ? f (n ? 2) ? ?... ? ?a2 ? a1 ? f (1)

S3k ? S 2 k … 是等差数列。
3、等比数列 ⑴ 定义: 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一 项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比 数列。

G、 b 成等比数列 ? G ? ab, ⑵ 等比中项:若三数 a、
2

( ab 同号) 。反之不一定成立。 ⑶ 通项公式: an ? a1qn?1 ? am qn?m ⑷ 前 n 项和公式: Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q
-7-

将上述 n ? 1 个式子两边分别相加,可得: an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... f (2) ? f (1) ? a1,(n ? 2) ① 若 f ( n) 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差
数列求和;

② 若 f ( n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等 比数列求和; ③ 若 f ( n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ④ 若 f ( n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法:

相减并整理得

an ?1 ? an ? p, 即 ?an?1 ? an ? 构成以 an ? an?1

(累加法) 便可求出 ?an?1 ? an ? 的通项再转化为类型Ⅲ

a2 ? a1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出 an .

?a ? 形如 an?1 ? an ? f (n) ? n?1 ? f (n) ? 型的递推数列 (其 ? an ? ? an ? a ? f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 ? f (n ? 2) ? 中 f ( n) 是关于 n 的函数)可构造: ? an ? 2 ?... ? ? a2 ? a ? f (1) ? 1
将上述 n ? 1 个式子两边分别相乘,可得:

㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式: ⑴ 当 f ( n) 为一次函数类型(即等差数列)时:

法一:设 an ? An ? B ? p ?an?1 ? A(n ?1) ? B? ,

B 的值, 通过待定系数法确定 A 、 转化成以 a1 ? A ? B
用等比数列的通项公式求出 ?an ? An ? B? 的通项整 理可得 an .

为首项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? An ? B? ,再利

法二:当 f ( n) 的公差为 d 时,由递推式得:

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... ? f (2) f (1)a1,(n ? 2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这 种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法:

an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ?1) 两式相减 得:an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? d , 令 bn ?an ?1 ? an 得: ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ bn ? pbn?1 ? d 转化为类型Ⅴ (累加法)便可求出 an .
⑵ 当 f ( n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 ) 型的递推式: (1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列; (3) 若 p ? 1 且 q ? 0 时, 数列{ a n }为线性递推数列, 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有 如下两种:

法一:设 an ? ? f (n) ? p ?an?1 ? ? f (n ?1)? ,通过
待定系数法确定 ? 的值, 转化成以 a1 ? ? f (1) 为首项, 以 p 为公比的等比数列 ?an ? ? f (n)? ,再利用等比数 列的通项公式求出 ?an ? ? f (n)? 的通项整理可得 an .

法二:当 f ( n) 的公比为 q 时,由递推式得:
, an ? pan?1 ? f (n ?1) ,两 an?1 ? pan ? f (n) ——① 边同时乘以 q 得 an q ? pqan?1 ? qf (n ?1) ——② ,由 ① ② 两式相减得 an?1 ? an q ? p(an ? qan?1 ) ,即 an ?1 ? qan ? p ,在转化为类型Ⅴ ㈠便可求出 an . an ? qan ?1

法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,展开移项整理得

an?1 ? pan ? ( p ?1)? ,与题设 an?1 ? pan ? q 比较系
数(待定系数法)得

法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均
为常数) 或 an?1 ? pan ? rq (其中 p, q, r 均为常数)
n

q q q , ( p ? 0) ? an?1 ? ? p(an ? ) p ?1 p ?1 p ?1 ? q q q ? ? an ? ? p(an ?1 ? ) ,即 ?a n ? ? 构成 p ?1 p ?1 p ? 1? ? q 以 a1 ? 为首项,以 p 为公比的等比数列.再利用 p ?1

??

时,要先在原递推公式两边同时除以 q

n ?1

,得:

a n?1 p a n 1 ? ? ? ,引入辅助数列 ?bn ?(其中 q n?1 q q n q a p 1 bn ? n ) ,得: bn?1 ? bn ? 再应用类型Ⅴ ㈠的方 n q q q
法解决。 ⑶ 当 f ( n) 为任意数列时,可用通法: 在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 p
n ?1

等比数列的通项公式求出 ?a n ?

? ?

q ? ? 的通项整理可 p ? 1?

得 an .

可得到

法二:由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q(n ? 2) 两式
-8-

an ?1 an f (n) a f ( n) ? n ? n ?1 , ? bn , 令 n 则 bn ?1 ? bn ? n ?1 , n ?1 n p p p p p 在转化为类型Ⅲ (累加法) ,求出 bn 之后得 an ? pnbn .
类型Ⅵ 对数变换法:

c (an ? b1 )(an ? b 2 ) 时,往往可将 an 变成两项的差, (a, b1, b2 , c为常数)
一般地,当数列的通项 an ? 采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项:

形如 an?1 ? paq ( p ? 0, an ? 0) 型的递推式: 在原递推式 an?1 ? pa q 两边取对数得

设 an ?

?
an ? b1

?

?
an ? b2

, 通分整理后与原式相

lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an 得: bn?1 ? qbn ? lg p ,化归为 an?1 ? pan ? q 型,求出 bn
之后得 an ? 10 n .(注意:底数不一定要取 10,可根据
b

比较,根据对应项系数相等得 ? ?

c ,从而可得 b2 ? b1 c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2

题意选择) 。 倒数变换法: 形如 an?1 ? an ? pan?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的递推 式:两边同除于 an ?1an ,转化为 化归为 an?1 ? pan ? q 型求出 1
an

常见的拆项公式有:

类型Ⅶ

1 1 ? ? p 形式, an an ?1 的表达式,再求 an ;

还有形如 an ?1 ? man 的递推式,也可采用取倒数方 pan ? q 法转化成 1 ? m 1 ? m 形式, 化归为 an?1 ? pan ? q an?1 q an p 型求出 1 的表达式,再求 an . an 类型Ⅷ 形如 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式:

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ); ② (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? ( a ? b ); ③ a ? b a ?b m?1 m m ④Cn ? Cn ?1 ? Cn ; ⑤n ? n! ? (n ? 1)!? n!.
① ⑶分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常 见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两 步:① 找通向项公式② 由通项公式确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 ?an ? , 与首末两项等距的两项之和等于 首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式 相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为 倒序相加法。特征: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ... ⑸ 记住常见数列的前 n 项和: ①1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an?1} 的形式 求解。方法为:设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较

k ,于是 系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h 、

{an?1 ? kan } 是公比为 h 的等比数列,这样就化归为 an?1 ? pan ? q 型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上 不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列, 可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 an .
5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ① 若数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列, 则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ② 将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比, 然

n(n ? 1) ; 2 2 ②1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) ? n ; 1 2 2 2 2 ③1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n( n ? 1)(2n ? 1). 6

第三章:不等式
§ 3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ① (对称性) a ? b ? b ? a ② (传递性) a ? b, b ? c ? a ? c
-9-

后在错位相减,进而可得到数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和.

此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用方法.
⑵裂项相消法

③ (可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④ (可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤ (同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

⑨ 绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b . 3、几个著名不等式 ① 平均不等式:
?

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:
2 2 ? a ?b ? a ?b ab ? ? ? ; ? 2 ? 2 ? ( a ? b) 2 2 2 a ?b ? . 2 2

⑥ (平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦ (开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1) ⑧ (倒数法则)a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? , ( 当 且 仅 当 a ? b 时 取

" ? " 号).

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

② 幂平均不等式:
?

② (基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当
2

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③ 二维形式的三角不等式:

且仅当 a ? b 时取到等号). 变形公式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

a ? b? 2

ab

? a ?b ? ab ? ? ? . ? 2 ?

( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④ 二维形式的柯西不等式:

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最 大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③ (三个正数的算术—几何平均不等式)

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且 仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤ 三维形式的柯西不等式:

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 3 a ? b ? c 时取到等号).
2 2 2

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥ 一般形式的柯西不等式:

④a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 )

? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦ 向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当

? ? ??

? ? ??

? ? ??

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

?? ? ? ? ? ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成
立. ⑧ 排序不等式(排序原理) : 设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实 数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则

b a ⑥若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? a a?m b?n b
其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和)
当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时, 反序 和等于顺序和. ⑨ 琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x ) , 对于定义域中任 意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f(
- 10 -

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、 分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法, 函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ① 舍去或加上一些项,如 ( a ? ) ?
2

? f ( x) ? 0 ? ⑸ f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在 于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: ⑴ 当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ⑵ 当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) 规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ? f ( x) ? 0 ⑴ 当 a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ⑵ 当 0 ? a ? 1 时, ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? 规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法: ⑴ 定义法: a ? ?

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2

② 将分子或分母放大(缩小) ,如

1 1 1 1 ? , ? , 2 2 k k (k ? 1) k k (k ? 1) 2 2 1 2 ( ? ?) ? , 2 k k? k k k ? k ?1 1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
2

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时, 小于取中间, 大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿 (奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式的 解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)
2 2

⑵ 平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x). ⑶ 同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ( g ( x) ? 0)

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“? 或 ?” ( 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴ f ( x) ? a(a ? 0) ? ?

? f ( x) ? 0
2

④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中 取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要 对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: ⑴ 讨论 a 与 0 的大小; ⑵ 讨论 ? 与 0 的大小; ⑶ 讨论两根的大小. 14、恒成立问题
2

? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 ⑵ f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ⑶ f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? ⑷ f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?
- 11 -

⑴ 不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是: ① 当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;
2

② 当 a ? 0 时? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑵ 不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是: ① 当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;
2

?a ? 0 ?? ? 0. ⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; ⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a; f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.
② 当 a ? 0时? ? 15、线性规划问题 ⑴ 二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的 坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所 以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特 殊点 ( x0 , y0 )(如原点) , 由 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可 判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的 平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的

① 若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最小值; ② 若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最大值. ⑷ 常见的目标函数的类型: ① “截距”型: z ? Ax ? By; ② “斜率”型: z ?

y y ?b ; 或z ? x x?a
x2 ? y 2 ;

③ “距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ?

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性 规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.

选修数学知识点
专题一:常用逻辑用语(选修 2-1)
1、命题:可以判断真假的语句叫命题; 逻辑联结词: “或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词; 简单命题:不含逻辑联结词的命题; 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写拉丁字母 p , q , r , s ,……表示命题. 2、四种命题及其相互关系

Ax ? By ? C ? 0 ( 符号与不等式开口的符号, 若同号,
或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上 方的区域. 即:同号上方,异号下方. ⑵ 二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面区域的公共部分. ⑶ 利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常 数)的最值: 法一:角点法: 若目标函数 z ? Ax ? By( x、 y 即为公共区域中点 的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都在该 公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入 目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为目标 函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小 值 法二:画——移——定——求: 第一步, 在平面直角坐标系中画出可行域; 第二步, 作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域,将 直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解

( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ? 纵截距.

A z z x ? , 为直线的 B B B

四种命题的真假性之间的关系: ⑴ 、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ⑵ 、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系. 3、充分条件、必要条件与充要条件 ⑴ 、一般地,如果已知 p ? q ,那么就说: p 是 q 的 充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q, 则 p 是 q 的充分必要条件, 简称充要条件. ⑵ 、 充分条件, 必要条件与充要条件主要用来区分命题 的条件 p 与结论 q 之间的关系: Ⅰ 、从逻辑推理关系上看: ① 若 p?q, 则 p 是 q 充分条件,q 是 p 的必要条件; ② 若 p ? q ,但 q p ,则 p 是 q 充分而不必要条件;

- 12 -

q ,但 q ? p ,则 p 是 q 必要而不充分条件; ④ 若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件; ⑤ 若 p q 且 q p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要
③ 若p 条件. Ⅱ 、从集合与集合之间的关系上看: 已知 A ? x x 满足条件 p? , B ? x x 满足条件 q? : ① 若 A ? B ,则 p 是 q 充分条件; ② 若 B ? A ,则 p 是 q 必要条件; ③ 若A B,则 p 是 q 充分而不必要条件; ④ 若B A,则 p 是 q 必要而不充分条件; ⑤ 若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件; ⑥ 若 A ? B 且 B ? A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要 条件. 4、复合命题 ⑴ 复合命题有三种形式: p 或 q ( p ? q ) ; p且q ( p ? q) ;非 p ( ?p ). ⑵ 复合命题的真假判断

?

?

“ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法:一真必真; “ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法:一假必假; “非 p ”形式复合命题的真假判断方法:真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴ 全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 词,并用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫做全 称命题. ⑵ 存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存 在量词,并用符号“ ? ”表示.含有存在量词的命题,叫 做特称命题. ⑶ 全称命题与特称命题的符号表示及否定 ①全 称 命 题 p : ?x ??, p( x) , 它 的 否 定 ?p :

?x0 ??, ?p( x0 ). 全称命题的否定是特称命题.
②特称命题 p : ?x0 ??, p( x0 ), ,它的否定 ?p :

?x ??, ?p( x). 特称命题的否定是全称命题.

专题二:圆锥曲线与方程(选修 2-1)
1.椭圆 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程 第一定义 第二定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距 离心率 准线方程 焦半径

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 a 2 b2 到两定点 F F2 的距离之和等于常数 2 a ,即 | MF1 | ? | MF2 |? 2a ( 2a ?| F1F2 | ) 1、
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即 MF ? e (0 ? e ? 1)

? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

d

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0? ; ?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ? ?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ; ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2 a 短轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?
c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e? (0 ? e ? 1)

a2 x?? c 左焦半径: MF 1 ? a ? ex0
右焦半径: MF2 ? a ? ex0
- 13 -

a2 y?? c 下焦半径: MF 1 ? a ? ey0
上焦半径: MF2 ? a ? ey0

M ( x0, y0 )

焦点三角形面积 通径 (焦点)弦长公式 2.双曲线 焦点的位置 焦点在 x 轴上

S ?MF1F2 ? b 2 tan

?
2

(? ? ?F1MF2 )
2

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ? b a

A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) , AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2
焦点在 y 轴上

图形

标准方程 第一定义 第二定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距 离心率 准线方程 渐近线方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
MF ? e (e ? 1) d y ? ?a 或 y ? a , x ? R

到两定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a ,即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a ( 0 ? 2a ?| F1F2 | )

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

实轴的长 ? 2 a 虚轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e? c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2 (e ? 1)

a2 c b y?? x a x??
?左焦: MF1 M 在右支 ? ? ? ex0 ? a MF2 ? ex0 ? a ? ?右焦: MF1 ? ?ex0 ? a ?左焦: M 在左支 ? ? MF2 ? ?ex0 ? a ? ?右焦:

a2 c a y?? x b y??
?左焦: MF1 M 在上支 ? ? ? ey0 ? a MF2 ? ey0 ? a ? ?右焦: MF1 ? ?ey0 ? a ?左焦: M 在下支 ? ? MF2 ? ?ey0 ? a ? ?右焦:

焦半径

M ( x0, y0 )
焦点三角形面积 通径

S ?MF1F2 ? b 2 cot

?
2

(? ? ?F1MF2 )

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

-2-

3.抛物线 图形

标准方程 定义 顶点 离心率 对称轴 范围

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)

? 0, 0 ?
e ?1

x轴
x?0 x?0

y轴
y?0 y?0

焦点

? p ? F ? ,0? 2 ? ?
x?? p 2

? p ? F ? ? ,0? 2 ? ?
x? p 2

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程 焦半径

M ( x0, y0 )
通径 焦点弦长公式

MF ? x0 ?

p 2

MF ? ? x0 ?

p 2

MF ? y0 ?

p 2

MF ? ? y0 ?

p 2

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH ? ? 2 p

AB ? x1 ? x2 ? p

参数 p 的几何 参数 p 表示焦点到准线的距离, p 越大,开口越阔 意义 关于抛物线焦点弦的几个结论: 设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 ⑴ x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4

⑵ AB ?

B 在准线上射影的张角为 ⑷ 焦点 F 对 A 、

? ; 2

2p ; sin 2 ?


⑶ 以 AB 为直径的圆与准线相切;

1 1 2 ? ? . | FA | | FB | P
a 2 ? b2

专题三:数系的扩充与复数(选修 2-2)
1、复数的概念 ⑴ 虚数单位 i ; ⑵ 复数的代数形式 z ? a ? bi (a, b ? R) ; ⑶ 复数的实部、虚部,虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? ? 3、相关公式 ⑴a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑵a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0
-3-

⑶ z ? a ? bi ?

⑷z ? a ? bi z,z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共 轭复数). 4、复数运算 ⑴ 复数加减法: ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵ 复数的乘法:

? a ? bi ??c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ; a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ⑶ 复数的除法: c ? di ? c ? di ?? c ? di ? ? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ac ? bd bc ? ad
? c2 ? d 2 ? c2 ? d 2 ? c2 ? d 2

i

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分 母实数化)

5、常见的运算规律

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

①Cn ?
m

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, i 4n?4 ? 1;
(7) ?1 ? i ? ? ?i;(8)
2

n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? m ? 1? 或 m! n! m Cn ? ; m!?n ? m ?!

1? i 1? i ?1? i ? ? i, ? ?i , ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?

2

0 m n?m ②Cn ,规定 Cn ?1. ? Cn

⑺ 排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺序.
m m m ⑻ 排列与组合的联系: An ,即排列就是先 ? Cn ? Am

6、复数的几何意义 复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中 x 轴叫 做复平面的实轴, y 轴叫做复平面的虚轴.
一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?复平面内的点Z (a,b) 一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?平面向量OZ

组合再全排列.
m Cn ? m An n ? (n ? 1) ?? ? (n ? m ? 1) n! ? ? ( m ? n) m Am m ? (m ? 1) ?? ? 2 ?1 m!? n ? m ?!

??? ?

⑼ 排列与组合的两个性质性质
m m m?1 m m m?1 排列 An ;组合 Cn . ?1 ? An ? mA n ?1 ? Cn ? Cn

专题六:排列组合与二项式定理(选修 2-3)
1、基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理:(分类相加) 做一件事情,完成它有 n 类办法,在第一类办法中 有 m1 种不同方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方 法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成 这件事情共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘) 做一件事情,完成它需要 n 个步骤,做第一个步骤 有 m1 种不同的方法,做第二个步骤有 m2 种不同的方 法……做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法.那么完成这 件事情共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法. 2、排列与组合 ⑴ 排列定义:一般地,从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个排列. ⑵ 组合定义:一般地,从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同的元素中 任取 m 个元素的一个组合. ⑶ 排列数:从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素 的所有排列的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的排列数,记作 A . ⑷ 组合数:从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素 的所有组合的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的组合数,记作 C . ⑸ 排列数公式:
m
m n

⑽ 解排列组合问题的方法 ① 特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑 有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优 先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他 位置). ② 间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再 把不符合条件的所有情况去掉). ③ 相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑” 为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最 后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列). ④ 不相邻(相间)问题插空法 (某些元素不能相邻或某些 元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没 有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按 要求插入排好的元素之间). ⑤ 有序问题组合法. ⑥ 选取问题先选后排法. ⑦ 至多至少问题间接法. ⑧ 相同元素分组可采用隔板法. ⑨ 分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组, 平均分成 n 组问题别忘除以 n!. 3、二项式定理 ⑴ 二项展开公式:

?a ? b?

n

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 r n?r r ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b

m n

n n ??? Cn b ? n ? N? ? .

⑵ 二项展开式的通项公式:

r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b ?0 ? r ? n, r ? N , n ? N? ?.主要用途

① An ? n?n ?1??n ? 2???n ? m ? 1?

n! ; ?n ? m?! n ② An ? n!,规定 0! ? 1 .
m An ?

是求指定的项. ⑶ 项的系数与二项式系数 项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当 二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就是二项式系 数.如 在 (ax ? b) 的展开式中,第 r ? 1 项的二项式系数为
n

1 r r n ?r r ,第 r ? 1 项的系数为 Cn Cn a b ;而 ( x ? ) n 的展 x
开式中的系数等于二项式系数; 二项式系数一定为正, 而项的系数不一定为正.
-2-

⑹ 组合数公式:

⑷?1 ? x ? 的展开式:
n

专题七:随机变量及其分布(选修 2-3)
知识结构

1 n?1 2 n ?2 n 0 ?1? x?n ? Cn0 xn ? Cn x ? Cn x ??? Cn x ,

若令 x ? 1 ,则有

1 2 n . ?1?1?n ? 2n ? Cn0 ? Cn ? Cn ??? Cn

二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数 0 2 1 3 的和.即 Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1
⑸ 二项式系数的性质: (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式 m n?m 系数相等,即 Cn ; ? Cn

n ?1 时,二项式系 2 n ?1 数 Cr 时 ,C r n 的值逐渐增大,当 r ? n 的值逐渐减 2
(2)增减性与最大值:当 r ? 小,且在中间取得最大值。当 n 为偶数时,中间一项

n +1 项)的二项式系数 C n2 取得最大值.当 n 为 2 n ?1 n ?1 奇数时,中间两项(第 和 +1 项)的二项 2 2
(第 式系数 Cn 2 ? Cn 2 相等并同时取最大值. ⑹ 系数最大项的求法 设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ? 可确定 r . ⑺ 赋值法 若 (ax ? b)n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ... ? an xn , 则设 f ( x) ? (ax ? b) . 有:
n
n ?1 n ?1

n

1、基本概念 ⑴ 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A、B、C ,其中任何两个都是互斥事 件,则说事件 A、B、C 彼此互斥. 当 A、B 是互斥事件时, 那么事件 A ? B 发生 (即 A、B 中有一个发生) 的概率, 等于事件 A、B 分别发 生的概率的和,即

P( A ?

B )?

P ( A ) ?

P ) .( B

? Ar ? Ar ?1 ? Ar ? Ar ?1

⑵ 对立事件:其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

A 的对立事件通常记着 A .
对立事件的概率和等于 1. P( A) ? 1 ? P( A) . 特别提醒:“互斥事件”与“对立事件”都是就两个 事件而言的, 互斥事件是不可能同时发生的两个事件, 而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件,因此, 对立事件必然是互斥事件,但互斥事件不一定是对立 事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条 件. ⑶ 相互独立事件: 事件 A (或 B ) 是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,(即其中一个事件是否发 生对另一个事件发生的概率没有影响).这样的两个事 件叫做相互独立事件. 当 A、B 是相互独立事件时,那么事件 A ? B 发生 (即 A、B 同时发生) 的概率, 等于事件 A、B 分别发 生的概率的积.即

①a0 ? f (0); ②a0 ? a1 ? a2 ? ... ? an ? f (1); ③a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? (?1)n an ? f (?1);

f (1) ? f (?1) ; 2 f (1) ? f (?1) . ⑤a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ... ? 2
④a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ... ?

P( A? B )? P ( A )? P ( .B )
若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. ⑷ 独立重复试验 ① 一般地, 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. ② 独立重复试验的概率公式
-3-

如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p ,那么 在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率
k P ? Cn p n (k ) k

如果随机变量 X 的分布列为

X P

0

1

? (1 p

?n

k )? k ? 0 ,, 1 ? 2n,? .

1? p

p

⑸ 条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率.记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.

则称 X 服从两点分布,称 p ? P( X ? 1) 为成功概率. ⑶ 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k .

P( AB) 公式: P( B A) ? , P( A) ? 0. P( A)
2、离散型随机变量 ⑴ 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量 来表示, 那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
王新敞
奎屯 新疆

其中 k ? 0,1, 2,..., n, 变量 X 的概率分布如下:

q ? 1 ? p ,于是得到随机

k

X
P

0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

k


n?k n

n

字母 X , Y , ? ,? 等表示. ⑵ 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可 以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型 随机变量. ⑶ 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值, 可 以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型 随机变量. ⑷ 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联 系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表 示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以 按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可 以一一列出.



Cn p q

k



Cn p q

n

0

我们称这样的随机变量 X 服从二项分布,记作

X ~ B?n, p ? ,并称 p 为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点: ① 对立性:即一次试验中事件发生与否二者必居其一; ② 重复性:即试验是独立重复地进行了 n 次; ③ 等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等. 注:⑴ 二项分布的模型是有放回抽样; ⑵ 二项分布中的参数是 p, k , n. ⑷ 超几何分布 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的概率 为 P( X ? k ) ?
k n? k CM CN ?M (k ? 0,1, 2,? , m ) ,于是得 n CN

Y ? aX ? b(a, b 是常数) 若 X 是随机变量, 则Y
也是随机变量 并且不改变其属性 (离散型、 连续型) . 3、离散型随机变量的分布列 ⑴ 概率分布(分布列)
王新敞
奎屯 新疆

设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ,…, xi ,…, xn , X 的每一个值 xi ( i ? 1, 2,?, n )的概率 P( X ? xi ) ? pi ,则称表

到随机变量 X 的概率分布如下:

X

0
0 n ?0 CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN



m
m n?m CM CN ? M n CN

X
P

x1

x2

… …

xi

… …

xn

P
p1 p2



pi

pn

为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列. 性质:① pi ? 0, i ? 1, 2,...n; ⑵ 两点分布
-4-



?p
i ?1

n

i

? 1.

其中 m ? min? M , n? , n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N .
*

我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 且称随机变量 X 服从超几何分布.

注:⑴ 超几何分布的模型是不放回抽样; ⑵ 超几何分布中的参数是 M , N , n. 其意义分别是 总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴ 离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

专题九:坐标系与参数方程(选修 4-4)
1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P ( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下,点 P ( x, y ) 对 ?y? ? ? ? y, ( ? ? 0). 应到点 P ?( x ?, y ?) , 称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸
变换 ? : ? 缩变换,简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引 一条射线 Ox 叫做极轴; 再选定一个长度单位、 一个角 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系。 M ( ? ,? )

X
P
则称

x1

x2

… …

xi

… …

xn pn

p1

p2

pi

E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ??? xi pi ??? xn pn 为离散型
随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望).它反映了 离散型随机变量取值的平均水平. 性质:①E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b. ②若 X 服从两点分布,则 E ( X ) ? p. ③若 X ~ B?n, p ? ,则 E ( X ) ? np. ⑵ 离散型随机变量的方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

图O 1

?

?
x

点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与 点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极 轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角, 记为 ? 。 有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标, 记为 M ( ? ,? ) . 注: 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个 点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 ( ? ? , ? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 ( ? ? , ? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平 面内的点可用唯一极坐标 ( ? ,? ) 表示(即一一对应的 关系) ; 同时, 极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面 上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、? 对应 惟一点 P( ? ,? ), 但平面内任一个点 P 的极坐标不惟 一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可 循的,P( ? , ? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? , ? + (2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的极 径为 0,而极角任意取.若对 ? 、 ? 的取值范围加以 限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如 限定 ? >0,0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点 与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一 多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.

X

x1
p1
n i

x2
p2

… …
2

xi

… …

xn pn

P
则称 D( X ) ?

pi

? ( x ? E( X ))
i ?1

pi 为离散型随机变量

并称其算术平方根 D( X ) 为随机变量 X X 的方差, 的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波 动,集中与离散的程度.

D( X ) 越小, X 的稳定性越高,波动越小,取值 越集中; D( X ) 越大, X 的稳定性越差,波动越大,
取值越分散.
性质:①D(aX ? b) ? a D( X ).
2

②若 X 服从两点分布,则 D( X ) ? p(1 ? P). ③若 X ~ B?n, p ? ,则 D( X ) ? np(1 ? P).

-5-

① 过极点的直线的极坐标方程是 ? ? ? ( ? ? 0) 和

? ? ? ? ? ( ? ? 0) . (如图 1)
② 过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐 标方程是 ?cos? ? a . 化为直角坐标方程为 x ? a . (如图 2) ③ 过点 A( a,

) 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程是 2 ? sin ? ? a . 化为直角坐标方程为 y ? a .(图 4)

?

M(? , ?



M

3、极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) , 极坐标是 ( ? ,? ) ,从图中可以得出:

?
?
0

M

?
?

O

x

?

O

a

x ? ? cos? ,

y ? ? sin?

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? ,?


y ? 2 ? x 2 ? y 2 , tan? ? ( x ? 0). x
y (直极互化 图) N x M

M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

图5
? ??

? ?
? ? ? ? ? ? ?

y

a ?? sin ?

a sin?

图6
??
a cos( ? ? ?)

x ? ? cos?

O
? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
y tan? ? ( x ? 0) x

H

5、柱坐标系与球坐标系 ⑴ 柱坐标:空间点 P 的直角坐标 ( x, y, z ) 与柱坐标

y ? ? sin?

4、简单曲线的极坐标方程 ⑴ 圆的极坐标方程 ① 以极点为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? a; (如图 1) ② 以 ( a, 0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方 程是 ? ? 2acos? ; (如图 2)

? x ? ? cos ? ? ( ? ,? , z ) 的变换关系为: ? y ? ? sin ? . ?z ? z ?
⑵ 球坐标系 空间点 P 直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r ,? , ? ) 的变

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方 2 程是 ? ? 2asin? ; (如图 4)
③ 以 ( a, ⑵ 直线的极坐标方程

?

? x2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 ? ? x ? r sin ? cos ? 换关系: ? . ? y ? r sin ? sin ? ? ? z ? r cos ?
6、参数方程的概念

-6-

a ?
?

M
?

M

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

的参数方程 ?

?x ? x0 ? t cos? ( t 为参数). ? y ? y0 ? t sin ?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时, 要注明参数及参数的取 值范围。 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数, 并且要保 证等价性。若不可避免地破坏了同解变形,则一定要 通过 x ? f (t ), y ? g (t ) 。根据 t 的取值范围导出 x, y 的取值范围.

在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标
x? x, y 都是某个变数 t 的函数 ? ? f (t ), 并且对于 t 的每 ? y ? g (t ),

一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这 条曲线上, 那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。 7、常见曲线的参数方程 (1)圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程为

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b ? r sin ? x2 y 2 (2)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a b ? x ? a cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b sin ? y 2 x2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a b ? x ? b cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? a sin ?
(3)双曲线

? ?x ? a s e c ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? b t a n y 2 x2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a b t ?x ? b c o ? ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? ac s c

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a 2 b2

2 2 ? (4)抛物线 y ? 2 px 参数方程 ? x ? 2 pt ( t 为参数, ? y ? 2 pt

t?

1 ) ; tan ?

参数 t 的几何意义: 抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数. (6)过定点 P( x0 , y0 ) 、倾斜角为 ? (? ?

?

2

) 的直线
-7-


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