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【数学】1.2.2 同角三角函数的基本关系(人教A版必修4)Ⅲ


引例
± 0.6 已知:sina = 0.8,填空:cosa = ______
哈哈~~~~~~~~ 我换了个马甲!

小样!别以为你 换了个马甲我就 认不出你了!

复习:三角函数的符号
±0.6 已知:sina = 0.8,填空:cosa = ______ y y y + - + - x - + - +



O

x O - +
cosa、seca 右正左负

x O + -

sina、csca 上正下负

tana、cota 奇正偶负

还需重新证明!
±0.6 已知:sina = 0.8,填空:cosa = ______ 在初中,我们学过以下三个三角公式:

sin a ? cos a = 1
2 2

在初中, 公式中的角 为锐角!

sin a = tan a cos a

对任意角 这些公式 是否成立?

tan a ? cot a = 1

波利亚:“回到定义去!”
y O r x P(x,y) 正弦 y sina = r 余弦 x cosa = r 正切 y tana = x 余割 r csca = y 正割 r seca = x 余切 x cota = y

其中:r = x ? y
2

2

同角三角函数的倒数关系
y O r x P(x,y) 正弦 sina · 余弦 cosa ·
2

互为倒数 余割 =1 csca 互为倒数 正割 =1 seca

其中:r = x ? y
2

正切 tana ·

互为倒数 余切 =1 cota

平方关系和商数关系
y O r
r= x ?y
2 2

sin2a

x P(x,y)

x 2 y 2 ? = (sina) ? (cosa) r r ∵ y 2 ? x 2 = r2 , ∴ sin2a ? cos2a =1 a?R cos2a

y cot a = x ; y sin a = ; y sin a    y r = r = = tan a r cos a x x x sec cos a = ; a = ; x r r ? r y a ? k? ? ,k ? Z csc tan a = ; a = . 2 y x

同角三角函数的基本关系式
平方关系: sin a ? cos a = 1, 第一件事: 记住它! sin a 商数关系: = tan a, cos a
2 2

倒数关系: tan a ? cot a = 1,
cos a ? seca = 1, sin a ? csca = 1,

学习数学公 式需要做好 哪几件事?

公式成立的条件
平方关系: sin a ? cos a = 1, a ? R
2 2

? sin a 商数关系: = tan a, a ? k? ? (k ? Z) 2 cos a k? 倒数关系: tan a ? cot a = 1, a ? (k ? Z) 2
2 两边 都有意义 sin a ? csca = 1, a ? k? (k ? Z)

cos a ? seca = 1, a ? k? ?

?

(k ? Z)

学习数学公式需要做好哪几件事?
? 记住它!(通过分析式子的结构来记忆) ? 明确公式成立的条件(何时“不必疑”?) ? 熟悉公式的变形(换马甲)

游戏:判断对错
1 sin 27?+cos 63? = 1
2 2

?? ? ?? ? ?? ?

27
±

2 sin ? = cos ? ? tan ?
2

??

?? ??

3 cos a = 1 ? sin a cos? sin2a ? cos2a = 1 ? 4 cot ? = sin? 1 2 ? 5 tan a +1 = 2 cos a ? 6 cos( x ? 30?) = sin( x ? 30?) ? cot( x ? 30?)

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 csca
倒数 sina 关系

cosa 倒数 seca
关系

tana
倒数关系

cota

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 sina tana

cosa

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 sina
sin 2 a ? cos2 a = 1
sin a = tan a cos a

cosa

tana

例题(一)
例1 已知:sina = ? 0.8,且a 为第三象限角, 求:cosa,tana ,cota 的值.
解:∵ a 为第三象限角,∴ cosa < 0 ,于是
cos a = ? 1 ? sin a = ?0.6 sin a 4 tana = = cos a 3
2

从而

1 3 cota = = tan a 4

例题(二)
例2 已知:cosa = m,且m ?(0,1],求tana . 解:∵ cosa = m?(0,1],∴a 为第一、四象限角, 当a 为第一象限角时, sina > 0 ,于是
sin a = 1 ? cos a = 1 ? m
2 2

从而

sin a 1? m tan a = = cos a m 1? m tan a = ? m
2

2

当a 为第四象限角时, 同理可得:

找不 出打 其草 中稿 的, 错你 误能 ?否

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 sina
sin 2 a ? cos2 a = 1
sin a = tan a cos a

cosa

?

tana

?

例题(二)
例3 已知:tana ≠0,用 tana 表示 sina. sin a sin a = 解:sin a = 1 sin 2 a ? cos 2 a tan a = 错在哪里? 2 tan a ? 1
tan a tan 2 a ? 1 sin a cos a = cos a sin 2 a ? 1 cos a 2 cos a sin a sin a ? cos a
2 2

正难则反!

=

例题(三)
例3 已知:tana ≠0,用 tana 表示 sina. sin a sin a = 解:sin a = 2 2 1 sin a ? cos a cos a tan a = cos a tan 2 a ? 1
tan a ? ,当a 为第一、四象限角时 ? ? tan 2 a ? 1 =? ?? tan a ,当a 为第二、三象限角时 ? tan 2 a ? 1 ?

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 sina
sin a ? cos a = 1
2 2

cosa

sin a = ?

tan a

sin a = tan a cos a
cos a = ? 1 tan 2 a ? 1 符号与cosa 同

tan 2 a ? 1 符号与cosa 同

tana

练习
已知:tana =2,填空:
sin a ? cos a = ________ -3 (1) sin a ? 3cos a
7 sin a 4 = ________ (2) 2 2 ? 3cos a
2

分子分母同 除以cosa 2= 2sin2a ?2cos2a

sin a 2 = ________ (3) 3 3 sin a ? 3cos a

sina = sina ? (sin2a ?cos2a )


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