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2013届高考北师大版数学总复习课件:4.7正弦定理和余弦定理


第 七 节 正弦定理和余弦定理 考纲解读 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量 问题. 考向预测 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等 变形解决问题. 2.与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积 公式的同时,考查三角恒等变形,这是高考的热点. 3.三种题型均有可能出现,属中低档题目. 知识梳理 1.正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 余弦定理 内容 a b c = = sin A sin B sinC=2R _________________ (R 为△ABC 外接圆半径) b +c -2bccosA a2=________________ a2+c2-2accosB b2=________________ 2 +b2-2abcosC c2=a ________________ 2 2 定理 正弦定理 ①a=_______ ______ 2RsinA,b=2 RsinB, 余弦定理 2 2 2 b + c - a c=_________ 2RsinC ; 2bc ; cosA=__________ b a 2 2 2 a + c - b ②sinA= ,sinB=_____ sinB , 2R 变形 2ac cosB=__________ ; c sinC 形式 sinC=______ a2+b2-c2 2ab A:sinB:sinC; cosC=___________. ③a:b:c=sin ______________ a + b+ c a ④ = . sinA+sinB+sinC sinA 定理 正弦定理 ①已知两角和任一 边,求另一角和其 余弦定理 ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角, 求第三边和其他两个角. ③已知两边和其中一边的对 角,解三角形. 解决的 他两条边. 问题 ②已知两边和其中 一边的对角,求另 一边和其他两角. 2.解三角形的类型 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 A 为锐角 a= bsinA 解的 个数 一解 bsinA< a< b 两解 A 为钝角 或直角 a≥ b a> b 关系式 一解 一解 3.解三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三角外)才能求解,常 见类型及其解法如表所示. 已知条件 应用定理 一般解法 由 A+B+C=180° , 一边和两角 (如 a,B,C) 正弦定理 求角 A;由正弦定理 求出 b 与 c. 在有解时只有一解 已知条 件 两边和 夹角( 如a ,b ,C) 三边(a ,b ,c) 应用 定 理 一般解法 余弦 定 由余弦定理求第三边c;由正弦定 理求出小边所对的角;再由A+ 理 B+C=180°求出另一角. 正弦 定 在有解时只有一解 理 余弦 由余弦定理求出角A、B;再利用A +B+C=180°,求出角C. 定 理 在有解时只有一解 基 础 自 测 1.(2011· 重庆文,8)若△ABC 的内角 A、B、 C 满足 6sinA= 4sinB=3sinC,则 cosB=( 15 A. 4 3 15 C. 16 [答案] D 3 B. 4 11 D. 16 ) [解析] 该题考查正余弦定理解三角形,注意边、角之间的 转化,先用正弦定理得到边的关系,再由余弦定理求 cosB. ∵6sinA=4sinB=3sinC. 由正弦定理得 6a=4b=3c, 2

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