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2.1.1指数与指数幂的运算


2.1.1 指数与指数幂的运算

第1课时 根式

1.在初中学过正整数指数幂:将 a ? a ? a ??? a 用 a n表示,这里n 为正整数 n个a
2. 正整数指数幂的运算性 m, n ? N * 质

?

?

am ? an ? ⑴
⑵ ⑶ ⑷



?a ?
?ab?

m n

?
?

m

am ? n a



?b? ? ? ? ?a?

n

?a ? 0? ?a ? 0?
(7)



a ?
0

a ?n

=

一.根式
平方根,立方根是 怎么定义的?
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方 平方根: x 2 =a,则x为a的平方根 根。即:如果

立方根: 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。 3
即:如果 x =a,则x为a的立方根

思考:任何一个实数都有平方根吗?若有有几个,它们之 间什么关系?任何一个实数都有立方根吗?若有有几个?
根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个, 它们互为相反数,如4的平方根为? 2,负数没有平方根 一个数的立方根只有一个,如―8的立方根为―2; 零的平方根、立方根均为零.

⑵ 类比平方根、立方根的定义,一个数的4次方等于a, 则这个数叫做a的4次方根,一个数的5次方等于a, 则这个数叫做a的5次方根,一个数的5次方等于a, 则这个数叫做a的5次方根, 一个数的6次方等于a,则这个数叫做a的6次方根.
⑶ 类比(2)得到一个数的n次方根等于a,则这个数 叫a的n次方根,

n次方根的定义
如果一个数的n次方等于a,那么这个数 叫做a的n次方根。即: 如果xn=a,则x为 a的n次方根(n>1,n∈N*)

x n =a,所以求一个数a的n次方根 因为n次方根x满足
就是求出哪个数的n次方等于a.

(1)求27的3次方根 (3)求a6的3次方根
解:

(2)求-32的5次方根

∵33=27 , ∴3是27的3次方根 ∵(-2)5=-32 , ∴-2是-32的5次方根 ∵(a2)3=a6 , ∴a2是a6的3次方根

3
5

27 ? 3
?32 ? ?2

3

a6 ? a2

2、n次方根的性质:
一般地: 正数的奇次方根是一个正数,记作:
负数的奇次方根是一个负数,记作:
n

n

a a

(1)求16的4次方根
解:

(2)求-81的4次方根
4

(1)∵24=16

, ∴ 2是16的4次方根

16 ? 2

又∵(-2)4=16 , ∴ -2也是16的4次方根? 4 16 ? ?2 ∴ 16的4次方根有两个,分别是2和-2 (2) ∵任何实数的4次方都是非负数,不会为-81, ∴-81没 有4次方根.

一般地:正数的偶次方根有两个且它们互为相反数,
正的偶次方根为n
负数没有偶次方根

a

,负的偶次方根为? n

a

;

当a=0时, n a 有意义吗?

因为05=0

;

04=0
4

;0100=0
100

即:0 ? 0
5

0 ?0

0 ?0

无论n是奇数还是偶数,都有 0n=0 ( n ? 0)

0的n次方根为0,

n

0 ? 0(n ? 0)

1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数;负 数的n次方根是一个负数;0的奇次方根是0.

当n为奇数时,x ?

n

a (a ? R)

2)当n为偶数时,正数的n次方根两个,且互为相反 数;负数没有偶次方根;0的偶次方根是0.

当n为偶数时,x ? ? a (a ? 0) 3) 0的任何次方根都是0,记作 n 0=0.
n

4) 式子

n

a 叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.

5)求a的n次方根的运算称为开方运算,开方运算与乘方运 算是互逆运算,不能混淆.如求3的4次方,结果是34=81;而 求3的4次方根,结果是 ? 4 3 小结:一个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到 底是正数还是负数,还要分清n为奇数和偶数两种情况.

n n a) ? a 根据n次方根定义,有: (
n

a

n

?
-2
5 ;25 ?

a
2 3
n ;0n ?

3 4

3 (-2) ?

0



4、根式的运算性质:
当n为奇数时:

3 ?
4

3

; -3) ? (
2

n
n

a ?a
n

当n为偶数时:

a ?
n

? a(a ? 0) a ?? (a<0) ??a

二、

根式的运算性质

⑴当n为任意正整数时,( n a )n=a. ⑵当n为奇数时,n a n =a; 当n为偶数时,
n

a

n

?a(a ? 0) =|a|= ? ?? a(a ? 0)

.

例1:求下列各式的值.
(1) 3 ( ?8)3 (3) 4 (3 ? ? ) 4
解:

(2) (4)

( ?10) 2 ( a ? b) 2 ( a ? b)

(1) 3 ( ?8) 3 ? ?8

(2) (?10) 2 ? ?10 ? 10
(3) 4 (3 ? ? ) 4 ? 3 ? ? ? ? ? 3
(4) (a ? b) 2 ? a ? b ? a ? b

(a ? b)

例题讲解 一、根式性质 例1.
D 下列说法中正确的是( )

A.16的4次方根是 ? 2. B.正数的n次方根有两个 C.a的n次方根是 a
n

D. a ? a?a ? 0?
n n

例2.求下列各式的值. (1) (2) (3) (4) (5) (6)
4
3

?8
(?10 ) 2

-2

10
π-3
( a ? b)

(3 ? ? ) 4
( a ? b)
2

a-b |x+y|

x 2 ? 2 xy ? y 2

a2 4 ? ab ? 4b 2 ( 9 3

a

<6b)

a 2b ? 3

小 一.根式定义



一般地,如果xn=a(n>1,且n∈N*),那么x叫做a 的n次方根.
式子
n

a 叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.

1)正数的奇次方根是一个正数;负数的奇次方根是 一个负数;0的奇次方根是0. 2)正数的偶次方根两个,且互为相反数;负数没有 偶次方根;0的偶次方根是0.

x 当n为奇数时,

?

n
n

a (a ? R)
(a ? 0)

当n为偶数时, x ? ? a

0的任何次方根都是0,记作 n 0=0.

二、

根式的运算性质

⑴当n为任意正整数时,( n a )n=a. ⑵当n为奇数时,n a n =a; 当n为偶数时,
n

a

n

?a(a ? 0) =|a|= ? ?? a(a ? 0)

.

2.1.1 指数与指数幂的运算
第二课时 分数指数幂

二.分数指数幂
(1) a ? a
5 10
解:

10 5

(2) a ? a
4 16
2

16 4

当根式的被开 16 方数的指数能 (2) 4 a16 ? 4 ( a 4 ) 4 ? a 4? a 4 被根指数整除 时,根式可以写 成分数指数幂 思考:当根式的被开方数的指数不能被根指数 的形式 整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?

(1) a ? (a ) ? a ? a
5 10 5 2 5

10 5

如果幂的运算性质(2)(am)n=amn对于分数指数 2 2 ?3 幂也适用,则 2 3 3 3 (a ) ? a ?a 2
说明a 3 是a 2的3次方根, 2 3 2 而3 a2 也是a2的3次方根,于是有 a 3 ? a

1、分数指数幂的定义:P51
a
m n

m n

?

n

a

m

(a>0,m,n ? N 且n>1)

?

注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子. 规定:正数的负分数指数幂:
a
?

?

1 a
m n

(a>0,m,n ? N ?且n>1)

同时: 0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂
没有意义

2、有理指数幂的运算性质:P51

(1)a r ?a s ? a r ?s (2)(a ) =a
r r s r ?s r r

(a ? 0, r , s ? Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加 (a ? 0, r, s ? Q)
幂的乘方底数不变,指数相乘 积的乘方等于乘方的积

(3)(a?b) =a b

(a ? 0, r, s ? Q)

2、有理指数幂的运算性质:P51

(1)a r ?a s ? a r ?s (2)(a ) =a
r r s r ?s r r

(a ? 0, r , s ? Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加 (a ? 0, r, s ? Q)
幂的乘方底数不变,指数相乘 积的乘方等于乘方的积

(3)(a?b) =a b

(a ? 0, r, s ? Q)

3.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
分数指数幂a
m n

?a ? 0, m, n ? N *, n ? 1?和整数指数幂a n都是有理数指数幂,
m n

都可以利用有理数指数 幂的运算性质进行计算 但整数指数幂表示的是 相同因式的连乘积,而 分数指数幂a 不可理解为
m

m 个a相乘,它是根式的另一 种写法,规定: n ? n a m ?a ? 0, m, n ? N *, n ? 1?, a n m ? 1 1 ?a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1?, 在这样的规定下,根式 a n ? m ? 与分数指数幂 m n a an 表示相同意义的量,它 们只是形式不同而已 .

(1)负数的负分数指数幂是 否有意义, 应视m,n的具体数值而定 . 一般可将根式化为分数 指数幂,利用分数指数 幂的运算性质 进行计算.

(2)对于根式运算,(简 单问题可根据根式的意 义直接计算)

4无理数指数幂.
一般地,无理数指数幂 ? ?a ? 0, ?是无理数?是一个确定的实数, a 有理数指数幂的运算性 质同样适用于无理数指 数幂.

例2:求值:
(1)8
解:
2 3

(2)100
2 3

?

1 2

(1)8 =(2 )=2 =4 1 ? 1 1 1 2 (2)100 = = = 1 1 2? 10 2 2 100 (10) 1 ?3 -3 (-2) (-3) (3)( ) =(2-2) =2 ? =26 4 3 3 ? 4(- ) ? 16 4 2 2 -3 27 4 (4) ( ) =( ) =( ) = 81 3 3 8

2 3 3

1 -3 (3)( ) 4
2

16 ? 3 (4)( )4 81

例3:用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)
(1)a 2 ? a
解:

(2) 3 ?3 a 2 a
2 1 2 2?

(3) a a
1 2
2 3

(1)a ? a ? a ?a ? a
2
3 3 2 3 2 3
1 2

?a

5 2
11 3

(2)a ? a ? a ?a ? a

3?

?a

(3)a a ? a? ? a ) ? a a (

1 1 1? 2 2

3 4

你都掌握了吗?

例题讲解 一、根式与分数指数幂的互化
? 例1.用分数指数幂表示下列格式 3 ? ⑴ a ?4 a ? ⑵
a a a
3

? ⑶
? ⑷
练习

a 2 ? a3
2

? a? ?
3

ab 3
1 6

2 3 ,6 这三个数的大小关系为

1 1 2, 3

二、根式运算
例2.求下列各式的值

?1?

4

81 9
1 2

2 3 ?3

? 2 ? 3 ?2?? a ? b ? ? b ?4 a ?2 ? ? ? ?

练习
4、计算下列各式:

(1)

a a

2

3

a

2

( a ? 0);
4

(2)( 3 25 ? 125) ?

25

三、 分数指数幂运算
例3.计算下列格式: ?1? 0

? 3? ?2 ? 1 ? ?2 ? ? 2 ??2 ? ? 5? ? 4?

?

1 2

? ?0.01? ;
0.5

?2??a?2b?3 ??? 4a?1b?? ?12a?4b?2c?

练习
3、计算下列各式(式中字母都是正数)

(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b ); (2)(m n ) .
1 4 3 8 8

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

四. 由条件求值问题
例4.已知a ? a
1 2 ? 1 2

? 3, 求下列格式值,

?1?a ? a ?1 ?2?a 2 ? a ?2

练习 已知x ? y ? 12, xy ? 9, 且x ? y, 求 x ?y x ?y
1 2 1 2 1 2 1 2

的值

一.分数指数幂

a
王新敞
奎屯 新疆

m n

? a (a>0,m,n∈N*,且n>1)
n m

(1)

a

?

m n

?

1
m n

(a>0,m,n∈N*,且n>1)

a (2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.

二.分数指数幂 运算性质.

a ?a ? a
m n m n n n

m?n

(m, n ? Q)

(a ) ? a (m, n ? Q)
mn

(ab) ? a ? b (n ? Q )
n

练习:化简下列各式

?1?4

x4 ? 4 y4

? x?y

?2?

x2 ? 4x ? 4 ? 3 ? x

? x ? 2 ? 3? x ? x ? 2 ? x ?3 ?5 ? 2 x, x ? 2, ? ? ?1,2 ? x ? 3, ?2 x ? 5, x ? 3. ?

三、根式的运算技巧 例4.
计算 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6

练习:化简 4 ? 2 3 ? 4 ? 2 3


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