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江苏省泰州市2016届高三数学第一次模拟考试试题


泰州市 2016 届高三第一次模拟考试 数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分) 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题 线上.)
2 1.已知集合 A ? x x ≤ 1 ,集合 B ? ??2, ?1,0,1,2?

,则 A ? B ?

?

?





2.如图,在复平面内,点 A 对应的复数为 z1 ,若 则 z2 ? ▲ .

z2 ? i ( i 为虚数单位), z1

3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 ▲ .

x2 ? y 2 ? 1的实轴长为 2

(第 2 题)

Read a, b i ?1 While i ? 2 a ? a?b b ? a ?b i ? i ?1 End While Print a
(第 5 题)

4.某校共有教师 200 人,男学生 800 人,女学生 600 人,现用分层抽样的方 法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从男学生中抽取的人数为 100 人,那么 n ? ▲ .

5.执行如图所示的伪代码,当输入 a , b 的值分别为 1,3 时,最后输出的 a 的值为 ▲ .

6 .甲乙两人下棋,若甲获胜的的概率为 1 ,甲乙下成和棋的概率为 2 ,则乙不输棋的概率为

5

5





2 2 7.已知直线 y ? kx(k ? 0) 与圆 C : ( x ? 2) ? y ? 1 相交于 A, B 两点,若 AB ?

2 5, 5

则k ?




2

8.若命题“存在 x ? R, ax ? 4 x ? a ≤ 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是




C1

O 为 BD1 的中点,三棱锥 9.如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O ? ABD 的体积为 V1 ,四棱锥 O ? ADD1 A1 的体积为 V2 ,则
的值为 ▲ .

D1

V1 V2

A1 D

O

B1 C

A

B

(第 9 题) 1

10.已知公差为 2 的等差数列 {an } 及公比为 2 的等比数列 {bn } 满足 a1 ? b1 ? 0, a2 ? b2 ? 0 , 则 a3 ? b3 的取值范围是 ▲ .
x

11.设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? ln

x ,记 an ? f (n ? 5) ,则数列 4

{an } 的前 8 项和为





12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A, B 分别为 x 轴, y 轴上一点,且 AB ? 2 ,若点

??? ? ??? ? ??? ? P(2, 5) ,则 AP ? BP ? OP 的取值范围是





13.若正实数 x, y 满足 (2 xy ?1)2 ? (5 y ? 2)( y ? 2) ,则 x ?

1 的最大值为 2y





? ? (? π, 0) ) 14. 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ) ? cos x cos( π ? x ) (其中 A 为常数, , 若实数 x1 , x2 , x3
2 6 2
满足:① x1 ? x2 ? x3 ,② x3 ? x1 ? 2π ,③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 ? 的值为 ▲ .

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B 的对边分别为 a , b ,向量 m ? (cos A,sin B), n ? (cos B,sin A) . (1)若 a cos A ? b cos B ,求证: m / / n ; (2)若 m ? n , a ? b ,求 tan

A? B 的值. 2

2

16.(本题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,?PAC ? ?BAC ? 90? ,PA ? PB , 点 D ,F 分别为 BC , AB 的中点. (1)求证:直线 DF / / 平面 PAC ; P (2)求证: PF ? AD .

A

F

B

D C

17.(本题满分 14 分) 一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成, AB ? 1 米,如图所示.小球 从 A 点出发以 ?v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处后, 经弹射器以 6v 的速度沿与点 E 切线垂直的 方向弹射到落袋区 BC 内,落点记为 F .设 ?AOE ? ? 弧度,小球从 A 到 F 所需时间为 T . (1)试将 T 表示为 ? 的函数 T (? ) ,并写出定义域; (2)求时间 T 最短时 cos ? 的值.

A E O

B

F D
18.(本题满分 16 分) 已知数列 {an },{bn } 满足 2Sn ? (an ? 2)bn ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.

C

2 1 ,公比为 ? 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式; 3 3 (2)若 bn ? n , a2 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式; a (3)在(2)的条件下,设 cn ? n ,求证:数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之 bn
(1)若数列 {an } 是首项为 积.

3

19.(本题满分 16 分)

x2 ? y 2 ? 1, A 为椭圆 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 O : x ? y ? 4 ,椭圆 C : 4 右顶点.过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B, C 两点,直线 AB 与圆 O 的另一交点为 P , 6 直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q ,其中 D ( ? , 0) .设直线 AB, AC 的斜率分别为 k1 , k2 . 5 (1)求 k1k2 的值; (2) 记直线 PQ, BC 的斜率分别为 kPQ , kBC , 是否存在常数 ? , 使得 kPQ ? ?kBC ?若存在, 求 ? 值;
2 2

若不存在,说明理由; (3)求证:直线 AC 必过点 Q .
y P B

D

O

A x

C Q

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ?
4

(1) 若 a ? 0 ,求证:

1 2 x , x ? (0, ??) , g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? . 2

(ⅰ) f ? x ? 在 f ?( x ) 的单调减区间上也单调递减; (ⅱ) g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点;

(2) 若 a ? 1 ,记 g ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ,求证: 4 ? x1 ? x2 ? a ? 4 .

4

泰州市 2016 届高三第一次模拟考试 数学试题(附加题) 21.【选做题】请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答.如果多做,按所做的前两题记分. A.(几何证明选讲,本题满分 10 分) 如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,点 D 是劣弧 BC 的中点,连结 AD 并延长,与以 C 为切点的切线 交于点 P ,求证:

PC BD ? . PA AC

C D O A

P

B

B.(矩阵与变换,本题满分 10 分)

? ?1 2 ? ? 的一个特征值为 ?2 ,求 M 2 . 已知矩阵 M ? ? 5 ? x? ?2 ?

C.(坐标系与参数方程,本题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 C1 : ?

? x ? t ?1 (t为参数) 与椭圆 ? y ? 7 ? 2t

? x ? a cos ? C2 : ? (? 为参数,a ? 0) 的一条准线的交点位于 y 轴上,求实数 a 的值. ? y ? 3sin ?

D.(不等式选讲,本题满分 10 分)
已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证:
2 3

1 1 1 ? 4 ? 6 ≥ 27 . 2 a b c

5

22.【必做题】(本题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC = 3,BC = 4,AB = 5,AA1 = 4. (1)设 AD ? ? AB ,异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为 (2)若点 D 是 AB 的中点,求二面角 D—CB1—B 的余弦值.

9 10 ,求 ? 的值; 50

C1 A1

B1

C A D

B

23. 【必做题】(本题满分 10 分) 已知 k , m ? N* ,若存在互不相等的正整数 a1 , a2 , ? , am ,使得 a1a2 , a2 a3 , ? , am?1am , am a1 同时小 于 k ,则记 f ( k ) 为满足条件的 m 的最大值. (1) 求 f (6) 的值; (2) 对于给定的正整数 n (n ? 1) , (ⅰ)当 n(n ? 2) ? k ? (n ? 1)(n ? 2) 时,求 f ( k ) 的解析式; (ⅱ)当 n(n ? 1) ? k ? n(n ? 2) 时,求 f ( k ) 的解析式.

高三数学参考答案 一、填空题 1. ?1,0,1? ; 6.

?

2. ?2 ? i ; 7.

3. 2 2 ; 8. (2, ??) ;

4. 200 ; 9.

5. 5 ; 10. (??, ?2) ;

4 ; 5

1 ; 2

1 ; 2 2? . 3

11. ?16 ; 二、解答题

12. [7,11] ;

13.

3 2 ?1 ; 2

14. ?

15. 证明:(1)因为 a cos A ? b cos B ,
6

所以 sin A cos A ? sin B cos B ,所以 m / / n .

?????7 分

(2)因为 m ? n ,所以 cos A cos B ? sin A sin B ? 0 ,即 cos( A ? B) ? 0 , 因为 a ? b ,所以 A ? B ,又 A, B ? (0, ? ) ,所以 A ? B ? (0, ? ) ,则 A ? B ?

?
2

,?12 分

A? B ? ? tan ? 1 . 2 4 16. 证明(1)∵点 D , F 分别为 BC , AB 的中点, ∴ DF / / AC , 又∵ DF ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , ∴直线 DF / / 平面 PAC . ?????6 分 ? PAC ? ? BAC ? 90 ? (2)∵ , ∴ AC ? AB , AC ? AP ,
所以 tan 又∵ AB ? AP ? A , AB, AP 在平面 PAB 内, ∴ AC ? 平面 PAB , ?????8 分 ∵ PF ? 平面 PAB ,∴ AC ? PF , ∵ PA ? PB , F 为 AB 的中点,∴ PF ? AB ,

?????14 分

P

A

F

B

D C

∵ AC ? PF , PF ? AB , AC ? AB ? A , AC , AB 在平面 ABC 内, ∴ PF ? 平面 ABC , AD ∵ ? 平面 ABC ,∴ AD ? PF . ?????12 分 ?????14 分

17. 解:(1)过 O 作 OG ? BC 于 G ,则 OG ? 1 ,

OG 1 1 OF ? ? , EF ? 1 ? ,? AE ? ? , sin ? sin ? sin ?
所以 T (? ) ?

A E O D

B

? π 3π AE EF ? 1 1 ? ? ? ? , ? ? [ , ] .??7 分 4 4 5v 6v 5v 6v sin ? 6v

G F C

(写错定义域扣 1 分)

1 1 ? ? , (2) T (? ) ? 5v 6v sin ? 6v

?

T ?(? ) ?

1 cos ? 6sin 2 ? ? 5cos ? (2cos ? ? 3)(3cos ? ? 2) ? ? ?? ,????9 分 2 2 5v 6v sin ? 30v sin ? 30v sin 2 ?
2 π 3π ], ,?0 ? [ , 3 4 4 ? ? ( ,?0 ) 4

记 cos ? 0 ?

?0
0

(? 0 ,

3? ) 4
+

T ?(? ) T (? ) ?

-

?

7

2 时,时间 T 最短. 3 2 1 n ?1 1 n 18. 解:(1)因为 an ? (? ) ? ?2(? ) , 3 3 3 2 1 [(1 ? (? ) n ] 3 ? 1 [(1 ? (? 1 ) n ] , Sn ? 3 1 2 3 1 ? (? ) 3 1 1 ? (? ) n 2Sn 1 3 所以 bn ? ? ? . an ? 2 ?2(? 1 ) n ? 2 2 3
故当 cos ? ? (2)若 bn ? n ,则 2Sn ? nan ? 2n ,∴ 2Sn?1 ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 两式相减得 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 2 ,即 nan ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 当 n ? 2 时, (n ? 1)an?1 ? (n ? 2)an ? 2 , 两式相减得 (n ?1)an?1 ? (n ?1)an?1 ? 2(n ?1)an ,即 an?1 ? an?1 ? 2an , 又由 2S1 ? a1 ? 2 , 2S2 ? 2a2 ? 4 得 a1 ? 2 , a2 ? 3 , 所以数列 {an } 是首项为 2 ,公差为 3 ? 2 ? 1 的等差数列, 故数列 {an } 的通项公式是 an ? n ? 1 . (3)由(2)得 cn ?
*

????14 分

????2 分

????4 分

????8 分

????10 分

n ?1 , n
*

对于给定的 n ? N ,若存在 k , t ? n, k , t ? N ,使得 cn ? ck ? ct ,

n ?1 k ?1 t ?1 ? ? , n k t 1 1 1 1 1 1 1 n(k ? 1) 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? ,则 t ? , n k t n k t kt k ?n 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) ,
只需 ∴ 对 数 列 {cn } 中 的 任 意 一 项 cn ?

????12 分

n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n?2 , 都 存 在 cn ?1 ? 和 cn2 ? 2 n ? 使得 n n ?1 n 2 ? 2n
????16 分

cn ? cn?1 ? cn2 ?2n .
x0 2 ? y0 2 ? 1 19.解:(1)设 B( x0 , y0 ) ,则 C (? x0 , ? y0 ) , 4

8

1 2 x0 y0 y0 y0 1 4 k k ? ? ? ? ?? . 所以 1 2 2 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 4
2

1?

????4 分

(2)联立 ?

? y ? k1 ( x ? 2) ?x ? y ? 4
2 2

得 (1 ? k12 ) x2 ? 4k12 x ? 4(k12 ?1) ? 0 ,

解得 xP ?

2(k12 ? 1) ?4k1 , , yP ? k1 ( xP ? 2) ? 2 1 ? k1 1 ? k12

? y ? k1 ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 得 (1 ? 4k12 ) x2 ?16k12 x ? 4(4k12 ?1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4

2(4k12 ? 1) ?4k1 解得 xB ? , , yB ? k1 ( xB ? 2) ? 2 1 ? 4k1 1 ? 4k12
yB ?2k ? 2 1 , k PQ xB 4k1 ? 1
?4k1 yP 1 ? k12 ?5k ? ? ? 2 1 , 2 6 2(k1 ? 1) 6 4k1 ? 1 xP ? ? 5 1 ? k12 5

????8 分

所以 k BC ?

5 5 5 k BC ,故存在常数 ? ? ,使得 k PQ ? k BC . 2 2 2 6 8 (3)当直线 PQ 与 x 轴垂直时, Q ( ? , ? ) , 5 5 8 ? 5 ? 1 ? k ,所以直线 AC 必过点 Q . 则 k AQ ? 2 6 ? ?2 2 5
所以 k PQ ? 当直线 PQ 与 x 轴不垂直时,直线 PQ 方程为: y ?

????10 分

?5k1 6 (x ? ) , 2 4k1 ? 1 5

?5k1 6 ? ?2(16k12 ? 1) 16k1 ? y ? 4k 2 ? 1 ( x ? 5 ) 联立 ? ,解得 xQ ? , , yQ ? 1 2 16k1 ? 1 16k12 ? 1 ? x2 ? y 2 ? 4 ?

所以 k AQ

16k1 16k12 ? 1 1 ? ?? ? k2 ,故直线 AC 必过点 Q . 2 ?2(16k1 ? 1) 4k1 ?2 16k12 ? 1

????16 分

(不考虑直线 PQ 与 x 轴垂直情形扣 1 分)

9

20. 证:(1)因为 f ? x ? ? ax ?
4

1 2 x ? x ? 0 ? ,所以 f ?( x) ? 4ax3 ? x , 2

由 (4ax3 ? x)? ? 12ax2 ?1 ? 0 得 f ?( x ) 的递减区间为 (0,

1 ), 2 3a

????2 分

当 x ? (0,

1 ) 时, f ?( x) ? 4ax3 ? x ? x(4ax2 ?1) ? 0 , 2 3a
????4 分

所以 f ? x ? 在 f ?( x ) 的递减区间上也递减. (2)解 1: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4

1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2 1 1 4 3 2 3 2 因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 1 3 2 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ,则 ? ?( x) ? 3ax ? 8ax ? , 2 2 1 因为 a ? 0 ,且 ? ?(0) ?? ? 0 ,所以 ? ?( x ) 必有两个异号的零点,记正零点为 x0 ,则 x ? (0, x) 0 时, 2

? ?( x) ? 0 ,? ( x) 单调递减; x ? ( x0 , ??) 时,? ?( x) ? 0 ,? ( x) 单调递增,若 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰
有两个零点,则 ? ( x0 ) ? 0 , 由 ? ?( x0 ) ? 3ax0 ? 8ax0 ?
2

????7 分

1 1 ? 0 得 3ax0 2 ? 8ax0 ? , 2 2 32 1 7 4 8 1 ax0 ? x0 ? ,又因为对称轴为 x ? , 所以 ? ( ) ? ? (0) ? ? ? 0 , 所以 ? ( x0 ) ? ? 9 3 9 3 3 2 8 7 32 1 7 ax0 ? ( x0 ? ) ? 0 , 所以 x0 ? ? ,所以 ? ( x0 ) ? ? 3 3 9 3 3 1 1 2 1 3 2 2 又 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ? ax ( x ? 8) ? x(ax ? 1) ? 1 , 2 2 2


1 ,8 中的较大数为 M ,则 ? (M ) ? 0 , a

故 a ? 0 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点. ????10 分

1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2 1 2 1 4 3 3 2 因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 3 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 , 2
解 2: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4

若 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点,则 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点,

10

当 x ? 2 时, 由 ? ( x) ? 0 得 a ? 0 ,此时 ? ( x) ? ?
3 2 当 x ? 2 时,由 ? ( x) ? ax ? 4ax ?

1 x ? 1 在 (0, ??) 上只有一个零点,不合题意; 2
????7 分

1 1 x3 ? 4 x 2 x ?1 ? 0 得 ? , 2 2a x?2

令 ?1 ( x) ?

x3 ? 4 x 2 8 ? x2 ? 2x ? 4 ? , x?2 x?2
5 7 2 x[( x ? ) 2 ? ] 2 4 ? 0, ( x ? 2) 2
2

2 x( x 2 ? 5 x ? 8) ?( x ) ? ? 则 ?1 ( x ? 2) 2

当 x ? (0, 2) 时, ? ( x) 单调递增,且由 y ? x ? 2 x ? 4, y ? ?

8 值域知 x?2

? ( x) 值 域 为 ( 0?? , ; ) 当 x ? (2, ??) 时 , ?1 ( x) 单 调 递 增 , 且 ?1 (4) ? 0 , 由
8 2 y? x ? 2 x? 4 , y ? ? 值域知 ? ( x) 值域为 (??, ??) ; x?2 1 1 ? 0 ,而 y ? 因为 a ? 0 ,所以 与 ?1 ( x) 有两个交点,所以 ?1 ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零 2a 2a
点. ????10 分

1 3 2 (3)解 1:由(2)知,对于 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 在 (0, ??) 上恰有两个零点 x1 , x2 , 2 1 1 1 不妨设 x1 ? x2 ,又因为 ? (0) ? 1 ? 0 , ? ( ) ? (6 ? 7 a ) ? 0 ,所以 0 ? x1 ? ,??12 分 2 8 2
又因为 ? (4) ? ?1 ? 0 , ? ( ) ?

9 1 9 (657 a ? 10) ? 0 ,所以 4 ? x2 ? , 2 8 2 1 9 所以 4 ? x1 ? x2 ? ? ? 5 ? a ? 4 . 2 2

????16 分

解 2:由(2)知

1 x3 ? 4 x 2 ? , 2a x?2
1 2 7 1 1 ? ?1 ( ) , , ?1 (0) ? 0 ? ?1 ( x1 ) ? 12 2a 2
????12 分

因为 x ? [0, 2) 时, ?1 ( x) 单调递增, ? ( ) ? 所以 0 ? x1 ?

1 , 2 9 2

当 x ? (2, ??) 时, ?1 ( x) 单调递增, ?1 ( ) ? 所以 4 ? x2 ?

81 1 9 ? ?1 ( ) , , ?1 (4) ? 0 ? ?1 ( x2 ) ? 20 2a 2

9 , 2 1 9 ? ?5?a?4. 2 2
????16 分

所以 4 ? x1 ? x2 ?

11

附加题参考答案 21.A.证明:连结 CD ,因为 CP 为圆 O 的切线, 所以 ?PCD ? ?PAC , 又 ? P 是公共角,所以 ?PCD ~ ?PAC , PC CD ? 所以 , PA AC PC BD ? 因为点 D 是劣弧 BC 的中点,所以 CD ? BD ,即 . PA AC

?????5 分

?????10 分

? ?1
21.B. 解: ? ? ?2 代入

?2

5 ? 2

??x

? ? 2 ? ( x ? 1)? ? ( x ? 5) ? 0 ,得 x ? 3

? ?1 2 ? ? 矩阵 M ? ? 5 ? 3? ?2 ?
∴M2 ? ?

?????5 分

?6 4 ? ? ?5 14?

?????10 分

21.C. 解:直线 C1 : 2 x ? y ? 9 , 椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1(0 ? a ? 3) , 9 a2

??????????5 分

准线: y ? ?

9 9 ? a2 ? 9 得, a ? 2 2
2 3



9 9 ? a2

??????????10 分

21.D.证明:因为正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,
2 3 所以 1 ? 3 3 ab2c3 ,即 ab c ? 1 ,

27

??????????5 分

1 ? 27 ab2c3 1 1 1 1 因此, 2 ? 4 ? 6 ? 3 3 2 4 6 ? 27 a b c abc
所以 22. 解 : ( 1 ) 由 AC = 3 , BC = 4 , AB = 5 得

????????10 分

?ACB ? 900

?????1分 如图所

以 CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立

12

示的空间直角坐标系.则A (3,0,0) , C1 (0,0,4) , B(0,4,0) ,设 D(x,y,z) ,则由 AD ? ? AB 得

???? ? ??? ? CD ? (3 ? 3?, 4?,0) ,而 AC1 ? (?3,0, 4) ,
1 1 9 10 ?9 ? 9 ? ?????5分 ?| | 解得, ? ? 或 ? ? ? 5 3 50 5 25? 2 ? 18? ? 9 ??? ? ???? ? ? ? 3 (2) CD ? ( , 2, 0), CB1 ? (0, 4, 4) ,可取平面 CDB1 的一个法向量为 n1 ? (4, ?3,3) ; 2
根据 ??????????7分 而平面 CBB1 的一个法向量为 n2 ? (1,0,0) ,并且 ? n1 , n2 ? 与二面角 D—CB1—B 相等, 所以二面角 D—CB1—B 的余弦值为 cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

?? ?

? ? ? ?? ?

?? ? ?? ?

2 34 . ???10分 17

(第(1)题中少一解扣1分;没有交代建立直角坐标系过程扣 1 分.第(2)题如果结果相差符 号扣1分.) 23. 解:(1)由题意,取 a1 ? 1, a2 ? 2 , a1a2 ? 6 ,满足题意, 若 ?a3 ? 3 ,则必有 a2 a3 ? 6 ,不满足题意, 综上所述: m 的最大值为 2 ,即 f (6) ? 2 . (2)由题意,当 n(n ? 1) ? k ? (n ? 1)(n ? 2) 时, 设A 1 ? {1, 2, ? , n} , A 2 ? {n ? 1, n ? 2, n ? 3, ? } , 显然, ? ai , ai ?1 ? A 1 时,满足 ai ai ?1 ? n(n ?1) ? n(n ? 1) ? k , ∴从集合 A 1 中选出的 a i 至多 n 个, ??????4 分

? a j , a j ?1 ? A2 时, a j a j ?1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? k ,
∴从集合 A2 中选出的 a j 必不相邻, 又∵从集合 A 1 中选出的 a i 至多 n 个, ∴从集合 A2 中选出的 a j 至多 n 个,放置于从集合 A 1 中选出的 a i 之间, ∴ f (k ) ? 2n , (ⅰ)当 n(n ? 2) ? k ? (n ? 1)(n ? 2) 时, 取一串数 ai 为: 1, 2n, 2, 2n ? 1,3, 2n ? 2, ? , n ? 1, n ? 2, n, n ? 1 , ??????6 分

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? i ?1, i为奇数 ? 2 或写成 ai ? ? ,( 1 ? i ? 2n ), ? 2n ? 1 ? i , i为偶数 ? 2
此时 ai ai ?1 ? n(n ? 2) ? k ,( 1 ? i ? 2n ? 1 ), a2n a1 ? n ? 1 ? k ,满足题意, ∴ f (k ) ? 2n , (ⅱ)当 n(n ? 1) ? k ? n(n ? 2) 时, 从A 1 中选出的 n 个 a i : 1, 2, ? , n ,考虑数 n 的两侧的空位,填入集合 A2 的两个数 a p , aq ,不妨设 ??????8 分

nap ? naq ,则 nap ? n(n ? 2) ? k ,与题意不符,
∴ f (k ) ? 2n ? 1 , 取一串数 ai 为: 1, 2n ? 1, 2, 2n ? 2,3, 2n ? 3, ? , n ? 2, n ? 2, n ? 1, n ? 1, n

? i ? 1 , i为奇数 ? 2 或写成 ai ? ? ,( 1 ? i ? 2n ? 1 ), i ?2n ? , i为偶数 ? 2
此时 ai ai ?1 ? n(n ? 1) ? k ,( 1 ? i ? 2n ? 2 ), a2n?1a1 ? n ? k ,满足题意, ∴ f (k ) ? 2n ? 1 , (写出(ⅰ)、(ⅱ)题的结论但没有证明各给1分.) ??????10 分

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