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【广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之立体几何专项训练三 ]


2013 届高三二轮复习 1,2 题要求用向量法

立体几何向量法专题训练

2013-4-2

1、如图 3 中,三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的正三角形, SA ? SC ? 2 3 ,

SB ? 2 5 ,
M 、 N 分别为 AB 、 SB 的中点.

/>(1)求证:平面 SAC ⊥ 平面 ABC ; (2)求二面角 N ? CM ? B 的余弦值; (3)求点 B 到平面 CMN 的距离.

2、如图,四边形 ABCD 是正方形,PB?平面 ABCD,MA∥PB,PB=AB=2MA.

(Ⅰ)证明:AC∥平面 PMD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 PCD 所成的角的大小; (Ⅲ)求平面 PMD 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的正切值.

ks5u

第 3 题自由选择方法 3、已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=1,AB=2,E, F 分别是 AB、PD 的中点。 (1)求证:AF∥平面 PEC;

(2)求二面角 P-EC-D 的余弦值; (3)求点 B 到平面 PEC 的距离。

ks5u

(第 4 题自由发挥) 4、一个多面体的三视图及直观图 a 如右图所示: (1)求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值: (2)试在平面 ADD1A1 中确定一个 点 F,使得 FB1⊥平面 BCC1B1;

a 2 a 2a 主视图 2a A1 2a

a a 2a 侧视图 D1 B1 C1 2 a

a

D

C

(3)在(Ⅱ)的条件下,求 二面角 F―CC1―B 的余弦值.

2013 届高三二轮复习

立体几何向量法专题训练

2013-4-2

1、如图 3 中,三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的正三角形, SA ? SC ? 2 3 ,

SB ? 2 5 ,
M 、 N 分别为 AB 、 SB 的中点.
(1)求证:平面 SAC ⊥ 平面 ABC ;

(2)求二面角 N ? CM ? B 的一个三角函数值; (3)求点 B 到平面 CMN 的距离. 解: (1)取 AC 中点 O , 连结 SO, OB ,则 SO ? AC , BO ? AC ,…..…1 分.

SO ? 2 2 , BO ? 2 3 ,………………..…..2 分

SO ? BO ? 20, SB ? 20 ,∴ SO ? BO ,………………..3 分 SO2 ? BO2 ? SB 2 ,∴ ∵
2 2 2

SO ? 平面 ABC ,………………ks5u……….4 分 又 SO ? AC ,∴ SO ? 平面 SAC ,∴ ∵ 平面 SAC ? 平面 ABC ……………….5 分
(2)如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz . 则 A(2, 0, 0) , B(0, 2 3,0) , C (?2, 0, 0) ,

S (0,0, 2 2) , M (1, 3,0) , N (0, 3, 2) .…………..6 分
CM =(3, 3 ,0) ∵ , MN =(-1,0, 2 ) .……..7 分
设 n ? ( x, y, z) 为平面 CMN 的一个法向量,则

CM ·n ? 3x ? 3 y ? 0 , MN ·n ? ? x ? 2 z ? 0 ,
n =( 2 ,- 6 ,1) 取 z ? 1, x ? 2, y ? ? 6 ,∴ ,……………………8 分
又 OS =(0,0,2 2 )为平面 ABC 的一个法向量,…………………..……9 分

n ? OS

cos?n ? OS ? = ∴

n ? OS

1 = 3 .……………………10 分

1 由图知 OS与n 的夹角即为二面角 N ? CM ? B 的大小,其余弦值为 3 ………….11 分
(3)由(2)得 MB =(-1, 3 ,0) , n =( 2 ,- 6 ,1)为平面 CMN 的一个法向量,

d?
∴ 点 B 到平面 CMN 的距离即为 MB在n 上射影的绝对值

n ? MB n

4 2 = 3 ……..14 分

2、如图,四边形 ABCD 是正方形,PB?平面 ABCD,MA∥PB,PB=AB=2MA. (Ⅰ)证明:AC∥平面 PMD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 PCD 所成的角的大小; (Ⅲ)求平面 PMD 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的正切值. (Ⅰ)证明:如图,取 PD 的中点 E,连 EO,EM. 1 1 ∵EO∥PB,EO=2PB,MA∥PB,MA=2PB,∴EO∥MA,且 EO=MA. ∴四边形 MAOE 是平行四边形.∴ME∥AC. 又∵AC? / 平面 PMD,ME?平面 PMD, ∴AC∥平面 PMD. ………3 分

(Ⅲ)解:如图,分别延长 PM,BA,设 PM∩BA=G,连 DG, 则平面 PMD∩平面 ABCD=DG. 不妨设 AB=2,∵MA∥PB,PB=2MA,∴GA=AB=2. 过 A 作 AN?DG 于 N,连 MN. ∵PB?平面 ABCD, ∴MA?平面 ABCD,∴MN?DG.∴?MNA 是平面 PMD 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角(锐角) .在 Rt△MAN 中, MA 2 tan?MNA= NA = 2 . G N D

P

M

A

B

2 ∴平面 PMD 与平面 ABCD 所成的二面角的正切值是 2

C 图 3 3、已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=1,AB=2,E, F 分别是 AB、PD 的中点。 (1)求证:AF∥平面 PEC; (2)求二面角 P-EC-D 的余弦值; (3)求点 B 到平面 PEC 的距离。

4、解;依题意知,该多面体为底面是正方形的四棱台,且 D1D⊥底面 ABCD。 AB=2A1B1=2DD1=2a……………2 分 以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在的直线为 X,Y,Z 轴, A1 z D1 B1 C1

D

C y

建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , A(2a,0,0) ,B1(a,a,a) ,D1(0,0,a) , B(2a,2a,0) ,C(0,2a,0) ,C1(0,a,a)…4 分 (Ⅰ)? AB1 ? ?? a,a,a? DD1 ? ?0, 0,a?

? cos? AB1, DD1 ? ?

AB1 · DD1 AB1 DD1

?

a2 3a 2 a 2

?

3 3

3 ………………………………………………6 分 3 (II)设 F(x,0,z) ,? BB1 ? ?? a,?a, a?, BC ? ?? 2a,0.0? ? FB ? BB1 ? 0 ? 由 FB1 ? 平面 BCC1B1 得 ? 1 FB1 ? ?a ? x, a, a ? z ? ? ? FB1 ? BC ? 0 ?? a?a ? x ? ? a 2 ? a(a ? z ) ? 0 ?x ? a ? F (a,0,0) 即 F 为 DA 的中点…………9 即? 得? ? 2a ( a ? x ) ? 0 ?z ? 0 ?
即直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值为 分 (III)由(II)知 FB1 为平面 BCC1B1 的法向量。 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FCC1 的法向量。?CC1 ? (0,?a, a), FC ? (?a,2a,0) 由?

? ?n ? CC1 ? 0 ? ? n ? FC ? 0

即?

? ? ay1 ? az1 ? 0 令 y1=1 得 x1=2,z1=1 ?? ax1 ? 2ay1 ? 0
n ? FB1 n ? FB1 ? a?a 6 ? 2a
2

? n ? (2,1,1) cos ? n, FB1 ??

?

3 3

即二面角 F―CC1―B 的余弦值为

3 …………ks5u…………………12 分 3


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