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永登一中高三第一学期期末考试数学理科试题及答案


永登一中 2014—2015 学年度第一学期高三数学期末考试试题(理科)

命题人:把光红 审题人:黄忠武
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
? ? 1.已知集合 A ? ?x x ? 1? , B ? ? x log 1 x ? 0?, 则 A ? B ? ( 3 ? ?

) D. ?

A. ?0,1?

B. ?? 1,1?

C. ?1,???

2.已知角 ? 的终边经过点 (?4,3) ,则 cos? ? ( ) 3 4 3 3 A. ? B. ? C. D. 5 5 4 5 3.下列函数中,在(0,+ ? )上单调递增,并且是偶函数的是( A. y ? x 2 B. y ? ? x 3 C. y ? ? lg | x | D. y ? 2 x



4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? ?? 1, t ?, OB ? ?2,2?, 若 ?ABO ? 900 , 则实数 t 的值为( A.2 ) B.4 C.5 D.8

5.若关于 x 的不等式 x ? 1 ? a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,则实数 a 的取值 范围是( A. a ? 1 6.把函数 y ? sin( x ? 再将图象向右平移 A. x ? ? ) B. a ? 1 C. a ? 3 D. a ? 3
1 倍(纵坐标不变) , 2

?
?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

?
2

3

个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( B. x ? ?



?

4 8 4 ? x? y?2?0 ? 7.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? y ? ax 取得最大 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

C. x ?

?

D. x ?

?

值时的唯一最优解为 ?1,3? ,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1) B.(0,1)
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) D. (1, ??)

C. [1, ??)
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8.函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线
mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m, n 均大于 0,则

1 2 ? 的最小值为( m n



A.2

B.4

C.8

D.16 ).

9.若实数 x, y 满足 x ? 1 ? ln
y
1
y

1 ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图象大致是( y
y y

1
x

O

1

O

1

x

O

1

x

O

1 2

x

A.

B.

C.

D.

10.若数列 ?an ? 满足 1 ? p ? 0 , n ? N * , p为非零常数 ,则称数列 ?an ? 为
an ?1 an

?1? “梦想数列” 。已知正项数列 ? ? 为“梦想数列” ,且 b1b2b3 ? bn ?
则 b8 ? b92 的最小值是( A.4 B.6 ) C.8

b99 ? 299 ,

D.12

11.如图,半径为 3 的扇形 AOB 的圆心角为 1200 ,点 C 在弧
AB 上,且 ?COB ? 300 ,若 OC ? ?OA ? ?OB, 则 ? ? ? ?(



A.

3 3

B. 3

C. 3

D.2 3

12.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 4 ? ,且函数 f ? x ? 在区间

? 2, ?? ? 上单调递增.
A.可正可负

如果 x1 ? 2 ? x2 , 且 x1 ? x2 ? 4 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的值 ( C.可能为 0 D.恒小于 0



B.恒大于 0

第 II 卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分)

?e x x ? 0 1 13.已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f [ f ( )] ? e ?ln x x ? 0
14. “ ?x ? 0 , x ? 1 ? x ”的否定是 .



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15.已知函数 f ? x ? ?

10 x ? 99 , ?an ? 为 a1 ? 1, d ? 2 的等差数列, x ? 10

则 f ?a1 ? ? f ?a2 ? ? ? ? ? ? f ?a10 ? ?


f ?x ? 在 I 上是减函数,则 x

16.若函数 f ?x ? 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,且

称 y ? f ?x ? 在 I 上是“弱增函数”.已知函数 h?x? ? x2 ? ?b ?1?x ? b 在(0,1]上 是“弱增函数”,则实数 b 的值为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 3 17.(本小题满分 10 分)已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x, ?1) . 4 试求当 a // b 时 cos 2 x ? sin 2 x 的值.

18.(本小题满分 12 分)已知 a ? 2, b ? 1, a 与 b 的夹角为 135 . (1)求 (a ? b ) ? (2a ? b ) 的值; (2)若 k 为实数,求 a ? kb 的最小值.

19.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c . a ? 4 , AB ? AC ? 8, ?BAC ? ? . (Ⅰ)求 b ? c 的最大值及 ? 的取值范围; ? (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2 3 sin 2 ( ? ? ) ? 2 cos 2 ? ? 3 的最小值. 4

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20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中,a2 ? 4 ,a 4 是 a 2 与 a8 的等比中项. (I)求数列 ?an ? 的通项公式: (II)若 an?1 ? an .求数列 {2n?1 ? an } 的前 n 项和.

21. (本小题满分 12 分)已知点 A(0, ?2) ,椭圆 E :
3 2

2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )的离心 2 2 a b

率为

, F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点,当 ?OPQ的面积最大时, 求 l 的方程.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x(a ? ln x) 有极小值 ? e ?2 . (I)求实数 a 的值; f ( x) (II)若 k ? Z ,且 k ? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值. x ?1

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永登一中 2014—2015 学年度第一学期高三数学期末考试答案(理科)
一、选择题: 1. A 2. B 3. A 4. C 二、 填空题 13. 5. D 6. A 7. D 8. B.9. B 10. A 11. B 12. D 14. ?x ? 0 ,使 x ? 1 ? x 16. 1

1 e

15.100 三、解答题

3 17.解:? a // b , ? tan x ? ? , 4

? cos2 x ? sin 2 x ?

cos2 x ? 2 sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 ? ? . sin 2 x ? cos2 x tan2 x ? 1 5

18. 解:因为 (a ? b ) ? (2a ? b ) ? 2a 2 ? b 2 ? a ? b ???3 分

? 4 ? 1 ? 2 ?1? (?
2 2 2 2

2 )?2. 2
2

?????5 分
2

(2) a ? kb ? a ? k b ? 2ka ? b ? k ? 2k ? 2 ? (k ?1) ? 1 .??7 分 当 k ? 1 时, a ? kb 的最小值为 1,即 a ? kb 的最小值为 1. ???10 分 19.解:
2

20. 解(I)由题意, a4 ? a2a8 ,即 (4 ? 2d ) 2 ? 4(4 ? 6d ) ,
2 化简得 d ?2d ? 0 ,∴ d ? 0 或 2

2

∵ a2 ? 4 ,∴当 d ? 0 时, an ? 4 ;当 d ? 2 时, an ? 2n . (II)∵ an?1 ? an ,∴ an ? 2n ,∴ 2n?1 an ? n ? 2n ,

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∴ Sn ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n

??① ??②,

① ? 2,得 2Sn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ①-②,得 ? Sn ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 = ∴ Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 . 21.解析: (1)设 F (c, 0) ,由题意 K AF ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 , 1? 2

2 2 3 ? ,∴ c ? 3 , c 3

x2 c 3 2 2 a ? 2 ? y 2 ? 1; . ? b ? a ? c ? 1 又∵离心率 ,∴ ,∴ ,椭圆的方程为 4 a 2
(2)由题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,方程为 y ? kx ? 2 ,

? x2 ? ? y2 ? 1 联立直线与椭圆方程: ? 4 , ? y ? kx ? 2 ?
化简得: (1 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 12 ? 0 ,
2 2 ∵ ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,∴ k ?

3 , 4

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ∴ PQ = 1 ? k
2

16k 12 , x1 ? x2 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

x1 ? x2 = 1 ? k 2 ?

4 4k 2 ? 3 , 1+4k 2
2 k 2 ?1


∴坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

S?OPQ ?

1 4 4k 2 ? 3 2 4 4k 2 ? 3 , 1? k 2 ? ? ? 2 1+4k 2 1+4k 2 k 2 ?1
4t 4 , ? t ?4 t? 4 t
2

令 t ? 4k 2 ? 3 (t ? 0) ,则 S?OPQ ?

∵t ?

4 4 ? 4 ,当且仅当 t ? , t ? 2 时,等号成立,∴ S?OPQ ? 1 , t t

故当 t ? 2 , 即 4k 2 ? 3 ? 2 , k ? ?

7 时 ?OPQ 的面积最大, 2

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从而直线 l 的方程为 y ? ?

7 x ? 2 .. 2

.

22.解: (Ⅰ ) f '( x) ? a ? 1 ? ln x ,
令 f '( x) ? 0 ? x ? e? a?1 ,令 f '( x) ? 0 ? 0 ? x ? e?a ?1 故 f ( x ) 的极小值为 f (e?a?1 ) ? ?e? a?1 ? ?e?2 ,得 a ? 1 . (Ⅱ )当 x ? 1 时,令 g ( x) ? …………… 6 分

f ( x) x ? x ln x ? , x ?1 x ?1

? g '( x) ?

x ? 2 ? ln x , ( x ? 1) 2

?判断x ? 2 ? ln x的符号?
1 ? 0, x

令 h( x) ? x ? 2 ? ln x , h ?? x ? ? 1 ? 故 y ? h( x) 在 (1, ??) 上是增函数

由于 h?3? ? 1 ? ln 3 ? 0, h?4? ? 2 ? ln 4 ? 0, 则 x ? ?1, x0 ?, g ??x? ? 0, 知g ?x?为减函数; x ? ?x0 ,???, g ??x? ? 0, 知g ?x?为增函数 . 存在 x0 ? (3, 4) ,使得 h '( x0 ) ? 0 .

x0 ? x0 ln x0 ? x0 , x0 ? 1 ? k ? x0 ,又 x0 ? (3, 4), k ? Z 所以 kmax ? 3 ? g ( x)min ? g ( x0 ) ?

…………….. 12 分

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