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人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(四十七) 7.8用向量讨论垂直与平行


课时提升作业(四十七)
用向量讨论垂直与平行 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面α 的法向量为 n=(-2,0,-4), 则 ( A.l∥α ) B.l⊥α C.l α D.l 与α 相交 60 分)

【解析】选 B.因为 n=-2a,所以 a∥n,即直线 l 的方向向量

与平面的法 向量共线,这说明了直线与平面垂直. 【误区警示】本题易由 a∥n,误以为 l∥α,而误选 A. 2. 设平面 α 的法向量为 (1,2,-2), 平面 β 的法向量为 (-2,-4,k), 若 α ∥β ,则 k 等于 ( A.2 B.-4 ) C.4 D.-2

【解题提示】α∥β等价于其法向量平行. 【解析】选 C.因为α∥β, 所以 = = ,所以 k=4. 【加固训练】若平面α ,β 垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的 是 ( )

A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)

-1-

【解析】选 A.因为α⊥β, 所以 n1⊥n2,即 n1·n2=0, 经验证可知,选项 A 正确. 3.直线 l 的方向向量 s=(-1,1,1),平面α 的法向量为 n=(2,x2+x,-x),若 直线 l∥平面α ,则 x 的值为 ( A.-2 B.C. ) D.±

【解析】选 D,由已知得 s·n=0,故-1〓2+1〓(x2+x)+1〓(-x)=0,解得 x=〒 .

4.(2015 ?珠海模拟 ) 如图所示 , 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E= A1D,AF= AC,则 ( )

A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF 与 BD1 相交 D.EF 与 BD1 异面 【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解. 【解析】选 B.以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0), E ),
-2-

,F

,B(1,1,0),D1(0,0,1),

=(-1,0,-1),

=(-1,1,0

=

,

=(-1,-1,1),

=-

,

·

=

·

=0,

从而 EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选 B. 5.(2015? 西安模拟)如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直, 以 CD,CB,CE 所 在 直 线 分 别 为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,AB= ,AF=1,M 在 EF 上,且 AM∥平面 BDE,则 M 点的坐标为 ( )

A.(1,1,1) C.

B. D. , ,0),B(0, ,0),D( ,0,0),E(0,0,1),

【解析】 选 C.由已知得 A( 设 M(x,x,1). 则 =(x,x,1),

=(

,-

,0),

=(0,-

,1).

设平面 BDE 的一个法向量为 n=(a,b,c). 则 解得 即 ,令 b=1,则 n=(1,1, =0. . ).

又 AM∥平面 BDE,所以 n· 即 2(x)+

=0,得 x= ,所以 M

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知平面α 和平面β 的法向量分别为 a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α ⊥β ,则 x= .

-3-

【解析】由α⊥β,得 a⊥b.所以 a·b=x-2+6=0, 解得 x=-4. 答案:-4 7.(2015 ? 兰 州 模 拟 ) 已 知 平 面 α 内 的 三 点

A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β 的一个法向量 n=(-1,-1,-1).则 不重合的两个平面α 与β 的位置关系是 【解析】由已知得 , 量为 m=(x,y,z), 则 得 得 令 z=1,得 m=(1,1,1). =(0,1,-1), .

=(1,0,-1),设平面α的一个法向

又 n=(-1,-1,-1),所以 m=-n, 即 m∥n,所以α∥β. 答案:平行 【方法技巧】平面的法向量的求法 1.设出平面的一个法向量 n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线 向量垂直,即数量积为 0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其 中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量 的坐标. 2.注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一. 8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点, 如果 B1E⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和为 .

-4-

【解析】 以 D1A1,D1C1,D1D 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 CE=x,DF=y, 则 易 知 E(x,1,1),B1(1,1,0), 所 以 F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以 ABF, 只需 答案:1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9. 如 图 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,E,F,G 分 别 为 A1B1,B1C1,C1D1 的中点. · =(1,1,y)·(x-1,0,1)=0? x+y=1. =(x-1,0,1), 又

=(1,1,y),由于 AB⊥B1E,故若 B1E⊥平面

(1)求证:AG∥平面 BEF. (2)试在棱 BB1 上找一点 M,使 DM⊥平面 BEF,并证明你的结论. 【解析】(1)以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系,

-5-

则 A(1,0,0),B(1,1,0),E 因为 而 故 = = , ,所以 = = +

,F , ,

,G

,

与平面 BEF 共面,

又因为 AG 不在平面 BEF 内,所以 AG∥平面 BEF. (2)设 M(1,1,m),则 由 · =0, · =(1,1,m), =0,

所以- +m=0? m= , 所以 M 为棱 BB1 的中点时,DM⊥平面 BEF. 【加固训练】如图 , 在多面体 ABC-A1B1C1 中 , 四边形 A1ABB1 是正方 形,AB=AC,BC= AB,B1C1 BC,平面 ABB1A1 与平面 ABC 的夹角为 90°.

求证:(1)A1B1⊥平面 AA1C. (2)AB1∥平面 A1C1C. 【证明】因为平面 ABB1A1 与平面 ABC 的夹角为 90°,四边形 A1ABB1 为正 方形, 所以 AA1⊥平面 BAC.
-6-

又因为 AB=AC,BC= 所以∠CAB=90°,

AB,

即 CA⊥AB,所以 AB,AC,AA1 两两互相垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AB=2,则 A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2). (1) =(0,2,0), =(0,0,-2), =(2,0,0),

设平面 AA1C 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则 即 即

取 y=1,则 n=(0,1,0). 所以 =2n,即 ∥n.

所以 A1B1⊥平面 AA1C. (2)易知 =(0,2,2), =(1,1,0),

=(2,0,-2), 设平面 A1C1C 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1),则 即 令 x1=1,则 y1=-1,z1=1,即 m=(1,-1,1).

-7-

所以 所以

·m=0〓1+2〓(-1)+2〓1=0, ⊥m.又 AB1?平面 A1C1C,

所以 AB1∥平面 A1C1C. 10.(2015?咸阳模拟)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为 等边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点.

(1)求证:AF∥平面 BCE. (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE. 【证明】设 AD=DE=2AB=2a,

建立如图所示的坐标系 Axyz, 则 A(0,0,0),C(2a,0,0), B(0,0,a),D(a, E(a, a,2a). a,0),

因为 F 为 CD 的中点, 所以 F (1) = a,a), . , =(2a,0,-a),

=(a,

-8-

可得

= (

+

),又 AF?平面 BCE,

所以 AF∥平面 BCE. (2)因为 =(-a, 所以 所以 · ⊥ = a,0), =0, , ⊥ , =(0,0,-2a), · . =0,

又 CD∩DE=D, 所以 ⊥平面 CDE,即 AF⊥平面 CDE.

又 AF∥平面 BCE,所以平面 BCE⊥平面 CDE. (20 分钟 40 分)

1.(5 分)平面α 经过三点 A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量 中与平面α 的法向量不垂直的是 ( A. C.(4,2,2) 【解析】选 D.由已知得 B.(6,-2,-2) D.(-1,1,4) =(2,1,1), =(3,-1,-1), 即 解得 )

设平面α的法向量为 n=(x,y,z),则

令 y=1,则 n=(0,1,-1).经验算,对于选项 A,B,C 所对应的向量与法向量 n 的数量积均为零,而对于选项 D,(-1)〓0+1〓1+(-1)〓4=-3≠0,故选 D. 【一题多解】本题还可以采用如下方法:

-9-

选 D.对于选项 A,因为

= (1,-2,-2)=

,所以选项 A 所对应

的向量与平面α平行,同理可知选项 B,C 所对应的向量均与平面α平行, 而对于选项 D 对应的向量与平面α不平行,故选 D. 2.(5 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1= 的中点,M 为 BC 的中点.则 AM 与 PM 的位置关系为 ( ,AD=2 ) ,P 为 C1D1

A.平行

B.异面

C.垂直

D.以上都不对

【解析】选 C.以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,





意 ),C(0,2,0),A(2 )=( ,1,-

, ,0,0),M( ), ,2,0).



得,D(0,0,0),P(0,1, 所以 =( =(所以 即 =(

,2,0)-(0,1, ,0,0)

,2,0)-(2 ,2,0), · =(

,1,-

)·(-

,2,0)=0,



,所以 AM⊥PM.

3.(5 分)(2015?成都模拟)空间中两个有一条公共边 AD 的正方形 ABCD 与 ADEF,设 M,N 分别是 BD,AE 的中点,给出如下命题:①AD⊥MN;②MN∥
- 10 -

平面 CDE;③MN∥CE;④MN,CE 异面. 则所有的正确命题为 【解题提示】 选 , , . 为基向量,利用向量法,对四个命题逐一判断

从中选择出正确命题. 【解析】如图,设 = =a, =b, =c,则|a|=|c|且 a·b=c·b=0. · = (c-a)· b= (c· b-a· b)=0,

= (b+c)- (a+b)= (c-a), =c-a=2

故 AD⊥MN,故①正确;

,故 MN∥CE,故 MN∥平面 CDE,故②③

正确;③正确时④一定不正确.

答案:①②③ 4.(12 分)(2014?辽宁高考改编)如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂 直,且 AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F 分别为 AC,DC 的中点.

(1)求证:EF⊥BC. (2)求平面 EBF 与平面 BFC 夹角的正弦值. 【解析】(1)如图,以点 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的 直线为 x 轴,BC 所在的直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线 为 z 轴 , 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 , 则
- 11 -

B

,A

,D

,C

,

从而 E 所以 因此 所以 = · ⊥ =

,F , =

. , =0,

·

,即 EF⊥BC. , ,

(2)平面 BFC 的一个法向量为 n1= 设平面 BEF 的一个法向量为 n2= 又 则由 令 z=1 得 x=1,y== , = 得 ,所以 n2= ,

.

设平面 EBF 与平面 BFC 夹角的大小为θ, 则 cosθ= 所以 sinθ= = , = ,即平面 EBF 与平面 BFC 夹角的正弦值为 .

5.(13 分)(能力挑战题 ) 如图所示, 在四棱锥 S-OABC 中,底面四边形 OABC 是直角梯形,且∠COA=∠OAB= ,OA=OS=AB=1,OC=4,点 M 是棱 SB 的 中点,N 是 OC 上的点,且 ON∶NC=1∶3,以 OC,OA,OS 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz.

- 12 -

(1)求异面直线 MN 与 BC 所成角的余弦值. (2)求 MN 与平面 SAB 所成角的正弦值. 【解析】由题知 S(0,0,1),C(4,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),所以 N(1,0,0),M (1) cos< == , . . >= . , = =(-3,1,0),

所以直线 MN 与 BC 所成角的余弦值为 (2) =(1,1,-1), =(0,1,-1).

设平面 SAB 的一个法向量为 n=(a,b,c), 则 n· n· =(a,b,c)·(1,1,-1)=a+b-c=0,

=(a,b,c)·(0,1,-1)=b-c=0.

所以令 b=1 可得 n=(0,1,1), cos< ,n>= ,n>= , = =- .

所以 sin<

所以直线 MN 与平面 SAB 所成角的正弦值为 .

- 13 -


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