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11.2简谐运动的描述 学案(人教版选修3-4)


选修 3-4

第十一章 机械振动 11.2 简谐运动的描述

【教学目标】 1.掌握用振幅、周期和频率来描述简谐运动的方法。 2.理解振幅、周期和频率的物理意义。 3.明确相位、初相和相位差的概念。 4.知道简谐运动的表达式,明确各量表示的物理意义。 。 【自主预习】 1.振幅:振动物体离开平衡位置的 ________距离。振幅的________表示的 是做振动的物体运动范围的大小。 ①定义: 振动物体离开平衡位置的最大距离, 叫做振动的振幅, 用 A 表示, 在国际单位制中的单位是米(m)。 ②物理意义:振幅是表示振动强弱的物理量,振幅越大,表示振动越强。 2. 简谐运动是一种________运动, 一个完整的振动过程称为一次________。 3. 周期: 做简谐运动的物体完成________所需要的时间, 用________表示。 频率:单位时间内完成全振动的________,用________表示。 周期与频率的关系是________。 在 国 际 单 位 制 中 , 周 期 的 单 位 是 ________ , 频 率 的 单 位 是 ______________,简称________,符号是________,1 Hz=1________。 物理意义:周期和频率都是表示振动快慢的物理量 4. 简谐运动的表达式: x=___ _____。 其中ω =________=________。 做简谐运动的物体位移 x 随时间 t 变化的表达式: x=Asin(ω t+φ ) (1)式中 x 表示振动质点相对平衡位置的位移。 (2)式中 A 表示简谐运动的振幅。 (3) 式中ω 是简谐运动的圆频率,他也表示简谐运动的快慢 (4)式中φ 表示 t=0 时简谐运动质点所处的位置,称为初相位,或初相; (ω t+φ )代表了做简谐运动的质点在 t 时刻处在一个运动周期中的某个状态, 所以代表简谐运动的相位。 (5)相位差:即某一时刻的相位之差,两个具有相同圆频率(ω )的简谐运 动, 设其初相分别为φ 1 和φ 2, 当φ 2>φ 1 时, 其相位差Δ φ =(ω t+φ 2)-(ω t+φ 1)=φ 2-φ 1。 此时我们常说 2 的相位比 1 超前Δ φ ,或者说 1 的相位比 2 的相位落后Δ φ。 【典型例题】 【例 1】如图 11-2-2 所示,弹簧振子在 BC 间振动,O 为平衡位置,BO= OC=5 cm, 若振子从 B 到 C 的运动时间是 1 s, 则下列说法正确的是 ( ) A.振子从 B 经 O 到 C 完成一次全振动
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B.振动周期是 1 s,振幅是 10 cm C.经过两次全振动,振子通过的路程是 20 cm D.从 B 开始经过 3 s,振子通过的路程是 30 cm π? ? 【例 2】物体 A 做简谐运动的振动位移,xA=3sin?100t+2 ? m,物体 B 做 ? ? π ? ? 简谐运动的振动位移,xB=5sin?100t+6? m。比较 A、B 的运动 ( ) ? ? A.振幅是矢量,A 的振幅是 6 m,B 的振幅是 10 m B.周期是标量,A、B 周期相等为 100 s C.A 振动的频率 fA 等于 B 振动的频率 fB π D.A 的相位始终超前 B 的相位 3 1 3 【例 3】 . 两个简谐运动分别为 x1=4asin(4πbt+ π)和 x2=2asin(4πbt+ π), 求 2 2 它们的振幅之比,各自的频率,以及它们的相位差。

【例 4】一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距 10 cm 的 A、B 两点,历时 0.5 s(如图 11-2-4)。过 B 点后再经过 t=0.5 s 质点以大小相 等、方向相反的速度再次通过 B 点,则质点振动的周期是 ( ) A.0.5 s B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s 【课后练习】 1.关于简谐运动的频率,下列说法正确的是 ( ) A.频率越高,振动质点运动的速度越大 B.频率越高,单位时间内速度的方向变化的次数越多 C.频率是 50 Hz 时,1 s 内振动物体速度方向改变 100 次 D.弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关 2.有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩 x 后释放让它 振动,第二次把弹簧压缩 2x 后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和 振幅之比分别为( ) A.1 :1 1 :1 B. 1 : 1 1 : 2 C.1 :4 1 :4 D.1 :2 1 :2 3.如图 2-2 所示,在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为 O,把振子
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拉到 A 点,OA=1 cm,然后释放振子,经过 0.2 s 振子第 1 次到达 O 点,如果 把振子拉到 A′点,OA′=2 cm,则释放振子后, 振子第 1 次到达 O 点所需的时间为( ) A.0.2 s B.0.4 s C.0.1 s D.0.3 s 4.一个弹簧振子做简谐运动,振幅为 A,若在 Δt 时间内振子通过的路程为 x, 则下列关系中不一定正确的是(包括肯定错误的)( ) A.若 Δt=2T,则 x=8A T B.若 Δt= ,则 x=2A 2 T C.若 Δt= ,则 x<2A 2 T D.若 Δt= ,则 x=A 4 π 5. 某质点做简谐运动, 其位移随时间变化的关系式为 x=Asin t, 则质点( ) 4 A.第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同 B.第 1 s 末与第 3 s 末的速度相同 C.第 3 s 末至第 5 s 末的位移方向都相同 D.第 3 s 末至第 5 s 末的速度方向都相同 6.某质点做简谐运动,从质点经过某一位置时开始计时,则 ( ) A.当质点再次经过此位置时,经历的时间为一个周期 B.当质点的速度再次与零时刻的速度相同时,经过的时间为一个周期 C.当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时,经过的时间为一个周 期 D.以上三种说法都不对 7.如图所示,弹簧振子以 O 为平衡位置在 B、C 间做简谐运动,则 ( ) A.从 B →O →C 为一次全振动 C D O B B.从 O →B →O →C 为一次全振动 C.从 C →O →B →O →C 为一次全振动 D.从 D →C →D →O→ B 为一次全振动 8.在上题中的弹簧振子,若 BC=5 cm,则下列说法中正确的是( A.振幅是 5 cm B.振幅是 2.5 cm C.经 3 个全振动时振子通过的路程是 30 cm D.不论从哪个位置开始振动,经两个全振动,振子的位移都是零 9.下列关于简谐运动的周期、频率、振幅的说法正确的是 ( ) A.振幅是矢量,方向是从平衡位置指向最大位移处
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)

B.周期和频率的乘积是个常数 C.振幅增大,周期也必然增大,而频率减小 D.弹簧振子的频率只由弹簧的劲度系数决定 10.一弹簧振子的振动周期为 0. 20 s,当振子从平衡位置开始向右运动,经 过 1.78 s 时,振子的运动情况是 ( ) A.正在向右做减速运动 B.正在向右做加速运动 C.正在向左做减速运动 D.正在向左做加速运动 11.一个做简谐运动的物体,频率为 25 Hz,那么它从一侧最大位移的中点 D, 振动到另一侧最大位移的中点 C 所用的最短时间,下面说法中正确的是 ( ) A.等于 0.01 s B.小于 0.01 s C.大于 0.01 s D.小于 0.02 s 大于 0.01 s 12.质点沿直线以 O 为平衡位置做简谐运动,A、B 两点分别为正最大位移处 与负最大位移处的点,A、B 相距 10 cm,质点从 A 到 B 的时间为 0.1 s,从质 点到 O 点开始计时,经 0.5 s,则下述说法中正确的是 ( ) A.振幅为 10 cm B.振幅为 20 cm C.通过路程 50 cm D.质点位移为 50 cm 13.一物体沿 x 轴做简谐运动,振幅为 8 cm,频率为 0.5 Hz,在 t=0 时,位 移是 4 cm,且向 x 轴负方向运动,试写出用正弦函数表示的振动方程。

14.一质点在平衡位置 O 附近做简谐运动,从它经过平衡位置起开始计时,经 0.13 s 质点第一次通过 M 点,再经 0.1 s 第二次通过 M 点,则质点振动周期的 可能值为多大?

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例题答案: 1. 【答案】D 【解析】振子从 B→O→C 仅完成了半次全振动,所以周期 T=2×1 s=2 s, 振幅 A=BO=5 cm。振子在一次全振动中通过的路程为 4A=20 cm,所以两 次全振动中通过的路程为 40 cm,3 s 的时间为 1.5T,所以振子通过的路程 为 30 cm。 2. 【答案】C、D

【解析】振幅是标量,A、B 的振动范围分别是 6 m、10 m,但振幅分别 2π 2π 为 3 m、5 m,A 错;A、B 的周期 T= ω s= s=6.28×10-2 s,B 错;因为 100 π TA=TB,故 fA=fB,C 对;Δφ=φAO-φBO= ,D 对,故选 C、D。 3 3. 解析:振幅之比 A1 4a 2 ω 4πb = = 。它们的频率相同,都是 f= = =2b。 A2 2a 1 2π 2π

它们的相位差 Δφ=φ2-φ1=π,两振动为反相。 4. 【答案】C 【解析】 根据题意, 由振动的对称性可知: AB 的中点(设为 O)为平衡位置, A、B 两点对称分布于 O 点两侧,如图 11-2-5。质点从平衡位置 O 向右运动 1 到 B 的时间应为 tOB= ×0.5 s=0.25 s。质点从 B 向右到达右方极端位置(设为 2 1 D)的时间 tBD= ×0.5 s=0.25 s。所以,质点从 O 到 D 的时间: 2 1 tOD= T=0.25 s+0.25 s=0.5 s 4 所以 T=2 s。 课后练习: 1. 解析:简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系,描写物体运动的快 慢用速度,而速度是变化的,假如说物体振动过程中最大速度越大,也不能说 明它的频率越大。振动的越快和运动的越快意义是不同的,故 A 错误;简谐运 动的物体在一个周期内速度的方向改变两次,频率越高,单位时间内所包含的
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周期个数越多,速度方向变化的次数就越多,故 B、C 正确;弹簧振子的固有 频率与物体通过平衡位置的速度没有关系,它由振动系统的固有量:质量 m 和 弹簧的劲度系数 k 决定,故 D 错误。 2. 解析:弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即 振幅,故振幅之比为 1 之比为 1 答案:B 3. 解析:简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关,与振幅无关,两 1 种情况下振子第 1 次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的 ,它们相等。 4 答案:A T T 4. 解析:若 Δt= ,质点通过的路程必为 2A,选项 C 错;若 Δt= ,则 2 4 质点通过的路程可能大于 A,可能等于 A,也可能小于 A,故选项 D 不一定正 确。 答案:C、D π 5. 解析:根据 x=Asin t 可求得该质点振动周期为 T=8 s,则该质点振动 4 图象如图所示,图象的斜率为正表示速度为正,反之为负,由图可以看出第 1 s 末和第 3 s 末的位移相同,但斜率一正一负,故速度方向相反,选项 A 正确、 B 错误;第 3 s 末和第 5 s 末的位移方向相反,但两点的斜率均为负,故速度方 向相同,选项 C 错误,D 正确。 。 。而对同一振动系统,其周期与振幅无关,则周期

答案:A、D
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6.D 7.C 8.BCD 9.B 10.B 11.B 12.C 13. 解析:简谐运动振动方程的一般表达式为 x=Asin(ωt+φ)。 根据题给条件有:A=0.08 m,ω=2πf=π。所以 x=0.08sin(πt+φ) m。将 π 5 t=0 时 x=0.04 m 代入得 0.04=0.08sinφ,解得初相 φ= 或 φ= π。因为 t=0 6 6 5 时,速度方向沿 x 轴负方向,即位移在减小,所以取 φ= π。即所求的振动方 6 5 向为 x=0.08sin(πt+ π)m。 6 5 答案:x=0.08sin(πt+ π) m 6 14. 解析:质点振动周期共存在两种可能性。设质点在 AA′范围内运动。

(1)如图甲所示,由 O→M→A 历时 0.13 s+0.05 s=0.18 s,则周期 T1= 4×0.18 s=0.72 s。 (2)如图乙所示, 由 O→A′→M 历时 t1=0.13 s, 由 M→A→M 历时 t2=0.1 s, 设由 O→M 或由 M→O 需时为 t, 则 0.13-t=2t+0.1, 故 t=0.01 s,所以周期 T=t1+t2+t=0.24 s。 答案:0.72 s 或 0.24 s

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