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2012年高三理科数学第一轮复习概率与统计(2)古典型概率


2012 年高三理科数学第一轮复习概率与统计(2)古典型概率 考纲要求 1、掌握古典概型概率公式的应用,尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考 的热点. 2、掌握与长度或面积有关的几何概型的概率的求法 命题规律 1、随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查,也时常在解答题中出现,应 用题也是常考题型,并且常与统计知识放在一块考查. 2、借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法. 3、以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热 点考法,特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容.新课标高考对几何 概型的要求较低,因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主 考点解读 考点 1 古典概型 A包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数 考点 2 几何概型 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 考点突破 考点 1 古典概型 典例 1 现有 8 名 2012 年伦敦奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语,B1,B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个 小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 解题思路确定基本事件总数,可用排列组合或用列举法,确定某事件所包含的基本事件数, 用公式求解. 解题过程 解:(1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成 的基本事件共有 C1C1C1=18 个.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事 3 3 2 件的发生是等可能的. 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,
1 事件 M 由 C3C1=6, 2

6 1 因而 P(M)= = . 18 3

(2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选中”这一事 件,由于 N 包含(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3 个结果,事件 N 有 3 个基本 事件组成,所以 P( N )= 3 1 = ,由对立事件的概率公式得 18 6

1 5 P(N)=1-P( N )=1- = . 6 6 易错点拨 (1)关键是计算出基本事件的个数和事件总的个数 (2)在计算概率过程中要善于运用“正难则反”的方法。 变式 1 现有 8 名 2012 年伦敦奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语,B1,B2, B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一 个小组. (1)求 A1 不被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 至少一人被选中的概率 点拨 (1)可以计算对立事件 A1 被选中的概率 (2)法一: (间接法)可以计算其对立事件两人都不被选中的概率 法二: (直接法)分情况讨论 1 2 答案 (1)P=1- = 3 3 (2)P=
2 3

典例 2 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名 教师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任取 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自 同一学校的概率. 解题思路 用列举法或者树状图法正确的列举出事件的所有结果 解题过程 解:(1)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示;乙校男教师用 D 表 示,两女教师分别用 E、F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为:(A,D),(A,E),(A,F),(B, D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共 9 种, 从中选出 2 名教师性别相同的结果有:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共 4 种,选出的 4 2 名教师性别相同的概率为 P= . 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A, E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,

F),(E,F),共 15 种. 从中选出 2 名教师来自同一学校的结果有: (A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共 6 种, 6 2 选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 P= = . 15 5 易错点拨 列举过程中注意不重不漏 考点 2 几何概型 典例 1 设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0.若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是 从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 解题思路 建立 ab 平面直角坐标系,将问题转化为与面积有关的几何概型. 解题过程 解:设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. 试 验的 全部结 果所 构成的 区域 为 {(a, b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构 成事件 A 的区 域为 {(a , 1 3× 2- × 2 2 2 2 b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},所以所求的概率为 P(A)= = . 3× 2 3 易错点拨 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法. 用图解题的关键: 用图 形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等 式,在图形中画出事件 A 发生的区域,利用公式可求. 变式 1 如图, 矩形 ABCD 中, E 为边 CD 的中点. 点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q, 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ).

1 A. 4 点拨

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

1 S△ABE= |AB|· |AD|,S 矩形 ABCD=|AB||AD|. 2

S△ABE 1 故所求概率 P= = . S矩形ABCD 2 答案 C 典例 2 在 Rt△ABC 中, ∠A=30° 过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M, , 求使|AM|>|AC| 的概率. 解题思路 如图所示,因为过一点作射线是均匀的,因而应把在∠ACB 内作射线 CM 看做 是等可能的,基本事件是射线 CM 落在∠ACB 内任一处,使|AM|>|AC|的概率只与∠BCC′

的大小有关,这符合几何概型的条件.

解题过程 解:设事件 D 为“作射线 CM,使|AM|>|AC|”.在 AB 上取点 C′使|AC′|=|AC|,因 180° -30° 为△ACC′是等腰三角形,所以∠ACC′= =75° , 2 μA=90-75=15,μΩ=90, 15 1 所以 P(D)= = . 90 6 易错点拨几何概型的关键是选择“测度”,如本例以角度为“测度”.因为射线 CM 落在∠ACB 内的任意位置是等可能的.若以长度为“测度”,就是错误的,因为 M 在 AB 上的落点不是等 可能的.

变式 1 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, O 为底面 ABCD 的中心, 点 在正方体 ABCD A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 点拨 点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径的半球外.记点 P 到点 1 4π 23- × × 3 1 2 3 π O 的距离大于 1 为事件 A,则 P(A)= =1- . 23 12 π 答案 1- 12 变式 2 两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 1m 的概率是 点拨 与长度有关的几何概型,P= 答案
2 3 4 6 ? 2 3

综合突破 突破 1 古典概型的综合应用

典例 1 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6) 的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 解题思路 本题考查平均数、标准差、古典概型概率的计算.(1)由这 6 位同学的平均成绩

为 75 分,建立关于 x6 的方程,可求得 x6,然后求方差,再求标准差;(2)用列举法可得所求 古典概型的概率. 解题过程 解 (1)∵这 6 位同学的平均成绩为 75 分,

1 ∴ (70+76+72+70+72+x6)=75,解得 x6=90, 6 这 6 位同学成绩的方差 1 s2= × [(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49,∴标准差 6 s=7. (2)从前 5 位同学中, 随机地选出 2 位同学的成绩有: (70,76), (70,72), (70,70), (70,72), (76,72), (76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共 10 种, 恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的有:(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共 4 种,所求 4 的概率为 =0.4, 10 即恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率为 0.4. 易错点拨 本题是概率与统计相结合,无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、 茎叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决.

突破 2 概率与函数的综合 典例 1 已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b, 求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;

?x+y-8≤0, ? (2)设点(a,b)是区域?x>0, ?y>0 ?

内的一点,

求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率. 解题思路 本题以“二次函数的单调性”为背景,首先写出事件发生所满足的条件,在第(1)

问中,给出了有限个数据,从而判断是古典概型问题,利用列举法写出事件发生的总数以及 满足条件的事件发生的个数,再利用公式求之;第(2)问中,a 和 b 有无限个数据,所以是几 何概型问题, 首先计算事件发生的总数与满足条件的事件发生的个数的测度, 再利用公式求 之. 2b 解题过程 解 (1)∵函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为直线 x= ,要使 f(x)=ax2- a 4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数,当且仅当 a>0 且 若 a=1,则 b=-1; 若 a=2,则 b=-1 或 1; 2b ≤1,即 2b≤a.(2 分) a

若 a=3,则 b=-1 或 1. ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5.(5 分) 5 1 ∴所求事件的概率为 = .(6 分) 15 3 (2)由(1),知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数,(8 分) 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为

? ??a+b-8≤0, ? ? ??a,b???a>0, ? ? ??b>0 ?

? ? ?,构成所求事件的区域为三角形部分. ? ?

?a+b-8=0, ? 16 8 由? a 得交点坐标为? 3 ,3?,(10 分) ? ? ? ?b=2,
1 8 × 8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P= = .(12 分) 1 3 × 8 8× 2 易错点拨 本题中先将 f(x)在[1,+∞)上为增函数转化为满足条件 2b≤a 且 a>0,然后再联 系已知条件,将问题转化为几何概型,实现了知识的逐步迁移,这种转化迁移的思想值得考 生注意,另外,对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),在某一区间[m,+∞)上单调递增的充

?a>0, ? 要条件是? b 切勿漏掉 a>0. ?-2a≤m, ?
变式 1 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若 a,b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (2)若 a∈[2,6],b∈[0,4],求方程没有实根的概率. 点拨 (1)基本事件(a,b)共有 36 个,方程有正根等价于 a-2>0,16-b2>0,Δ≥0, 即 a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16. 设“方程有两个正根”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3),共 4 4 1 个,故所求的概率为 P(A)= = . 36 9 (2)试验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4},其面积为 S(Ω)=16, 设“方程无实根”为事件 B,则构成事件 B 的区域为 B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16}, 1 其面积为 S(B)= ×π×42=4π, 4

4π π 故所求的概率为 P(B)= = 16 4 4 1 4π π 答案 (1) P= = .(2)P= = 36 9 16 4

快乐训练 1、从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事件是( A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 2、甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( 1 A. 36 1 B. 9 5 C. 36 1 D. 6 ). ).

3、从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是 ( ). 4 A. 5 3 B. 5 1 C. 5 2 D. 5

4、有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4 ).

5、一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当 某人到达路口时看见的是红灯的概率是( 1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 ). 4 D. 5

6、袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球 ,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任 取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.
1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

7、现有 10 个数, 它们能构成一个以 1 为首项, ? 3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽 取一个数,则它小于 8 的概 率是____. 8、从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为
2 2

的概率是___________.

提高训练

1、在区间[0,4]上随机取两个整数 m,n,求关于 x 的一元二次方程 x2- nx+m=0 有实数根 的概率( 1 A. 2 ). 1 B. 3 1 C. 4 6 D. 25

2、已知函数 y=x-1,令 x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,可得函数图象上的九个点,在 这九个点中随机取出两个点 P1, 2, P1, 2 两点在同一反比例函数图象上的概率是( P 则 P 1 A. 9 1 B. 18 5 C. 36 1 D. 12 ) ).

3、 在区间 ? 0,1 0 ? 内随机取出两个数, 则这两个数的平方和也在区间 ? 0,1 0 ? 内的概率是 (
1

A. 1 0

B. 1 0

?

C.

? 4

D.
2

?
40

4、将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b , c ,则方程 x ? b x ? c ? 0 有实根的 概率为( A. 1 7
36

) B. 1
2

C. 5
9

D. 1 9

36

5、某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边 界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( ).

π A. 3

3 3 B. 4π

C.

3 4

D.以上全错

6、有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则 可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( ).

7、设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0.若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,上述方程有实根的概率 。

8、在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已 过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示).

超越训练 1、在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别等于线段 AC,CB 的长, 则该矩形面积小于 32cm2 的概率为( )

A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

2、如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内 随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )

A. 1 ?

2 π

B.

1 2

?

1 π

C.

2 π

D.

1 π

3、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 ( A.
4 9



B.
?0 ? x ? 2 ?0 ? y ? 2

1 3

C.

2 9

D.

1 9

4 、设不等式组 ?

表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标

原点的距离大于 2 的概率是( ) ? ?2 ? A. B.
4
2

C.

?
6

D.

4?? 4


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