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对数及其运算


4.1 对数及其运算(教案)
江西省石城中学 伊达东 一. 教学目标 1. 知识与技能 (1)理解对数的概念; (2)能熟练的进行对数式与指数式的互化: (3)能利用科学计算器进行数值分析,掌握对数的运算性质. 2. 过程与方法 经历由指数得到对数的过程,并引出对数运算性质的研究,在这个过程中进行猜想,得 出规律,再进行证明. 3. 情感态度价值观 确立和增强成就意识且有正确的成就动机 二. 教学重点与难点 1. 重点:对数的概念,对数的运算性质及简单运用. 2. 难点: (1) 对数符号的理解;(2) 正确使用对数运算性质. 三. 学法与教法 1. 学法:探究交流、讲练结合. 2. 教法:讲授法、讨论法. 四. 教材分析 1. 教材以国民经济生产总值增长的实际问题引入, 1.082 ? 2 , 这是已知底数和幂的
x

值,求指数的问题,因而要引入一种新的运算,即对数,从而引出本节的对数问题. 2. 对数的运算性质是本小节的重点之一,教材中“对数运算性质”的处理,是通过引 导学生用科学计算器分析教材中给出的一系列数据中的等量关系,总结猜想出规律,再进 行证明,并把在学习过程中,由于对公式辨认不清而常发生的错误,作为思考题让学生交 流,这样处理,是为了让学生经历数学发现的过程. 五. 教学过程 (一) 创设情景 通过图片(从赣一中走出的快乐女生 5 强选手杨洋荣归母校,感恩母校)引出: 杨洋是一位非常受欢迎的歌手, 她以柔美的声音和高贵的气质得到无数观众的肯定, 在 60 强时的网上支持者就高达 80000 人,并以平均每日 15%的速度递增. 问: (1) 10 天后支持者为多少? (2) 多少天后杨洋的支持者将变为 60 强时的 10 倍? 得到:

1.15x =10

如何求 X?

象上面的式子, 已知底数和幂的值, 求指数的问题, 现实生活中许多问题都需要求指数: 如国民经济增长、放射性物质的衰变等等,因而要引入一种新的运算,这就是我们这节课要 学习的内容:对数及其运算. 设计意图:(1) 引用学生身边的例子,使学生更有兴趣; (2) 让学生体会对数形成的过程; (3) 德育教育——励志感恩. (二) 新课探析 1. 对数的概念

一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,即 a

b

=N

,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的

对数,记作 log a N ? b ,读作以 a 为底 N 的对数, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数 (1) 强调书写格式; (2) 解释符号“log” ,是英文单词“对数”的缩写,是一个符号,表示一种运算, 已知底数、幂求指数的; (3) 回到例题,解决问题. 2. 思考交流(对概念的进一步认识) (1) a ? M ?
b

log a N ? b

(逆运算关系)

动画展示, 看出指数式与对数式的实质一样, 只是形式不同, 它们之间是逆运算关系, 可以相互转化.并且从指数的角度分析 N, a,b 的范围. 练习 1 将下列指数式写成对数式:(学生口答) (1) (3) (1)

54=625 ;
8 3 ? 16 ;
4

(2) (4) (2)

3?3 ?

1 ; 27

5a ? 15 .
log3 243 ? 5 ;

练习 2 将下列对数式写成指数式:(学生口答)

log 1 16 ? ?4 ;
2

(3)

log 1
3

1 ? 3; 27

(4)

lg 0.1 ? ?1 .

设计意图:通过动画展示,表格对比,形象直观,便于学生理解. (2) 将 a ? 1,a ? a ? a ? 0,a ? 1? 写成对数式.
0 1

得出并强调

log a 1 ? 0 , log a a ? 1 .

设计意图:从学生熟习的指数式与对数式的互化引入,显得更自然. (3) 计算并猜测:

8 2l o 2g ?
猜测: 证明:设 a

8;

6log6 36 ?
N.

36

;

a log a N ?
4log2 3 = 9 .

loga N

? u ,则化为对数式 log a u ? log a N ,即 u ? N .

练习 3:

设计意图:(1) 从特殊到一般符合学生的认知规律; (2) 适度加深,兼顾优等生. (4) 两种在生活和科技中常见的对数. 常用对数:以 10 为底的对数,如 log10 N 记为 lg N .
2

自然对数:以 e 为底的对数,如 loge N 记为 ln N (e =2.71828??). 3. 例题 例 1 求下列各式的值:(学生口答) (1)

log5 25 ;

(2) 3

log3 10

;

(3) ln1 ;

(4) log 2.5 2.5 .

例 2 求 log 3 9 ? 3
2

?

5

? 的值.

u 2 5 解 设 log 3 9 ? 3 =u ,则 3 ? 9 ? 3 .
2 5

?

?

∴3 ? 3
u

4 ?5

.

∴ u ? 9 即 log 3 9 ? 3
2

?

5

??9.

4. 对数的运算 如果转化为指数式去计算显得麻烦, 有没有什么方法可以使之更简单呢?接下来, 我们将通过这个表格来继续探讨对数的运算性质. 利用计算器填表并猜测有什么规律: M N 50 20 3 3 3.141596 2.718281 0.931445 0.931445 2008 1949 6.592576 6.592576

lg( MN ) lg M + lg N
大胆猜测:

lg ? MN ? ? lg M ? lg N

? M ? 0,N ? 0 ? ? a ? 0 , a? 1 , M? 0
,N ?? 0

(1) log a ? MN ? ? log a M ? log a N 这只是我们猜测的结果,接下来给予证明.

证明:设 log a M ? p, log a N ? q ,则由对数定义,得:

a p =M,a q =N .
因为 MN=a ? a =a
p q p+q

p ? q ? log a ? MN ? ,

,所以,



log a ? MN ?=log a M+log a N .
那么 log a ? xyz ? ? .

同学们能不能快速的计算出以下式子的结果? (2) log a ? MN ? = 利用 (1)、(2) 写出 (3) 的结果.
3

?n ? R? .

(3) log a (记忆方法)

M = N

? M ? 0,N ? 0 ? .

对数运算要小心, 真数相乘对数加, 真数相除对数减, 真数乘方指数出. 设计意图:(1) 节省时间; (2) 符合学生从特殊到一般,先猜测后证明的认知规律; (3) 由新知识得到新知识,培养学生探索知识的习惯; (4) 填空也是对公式的简单应用; (5) 对数运算,学生经常出错,编写口决使学生加深印象. 练习 4:判断对错. (1) lg 2 ? lg 5 ? 1 ; (2) lg ? ? ? ?3 ? ? ? ? 5 ? ? ? = lg ? ?3? + lg ? ?5 ? ; (3) lg ? MN ? = lg M ? lg N ; (4) lg ( ( ( ) ) )

M lg M ; = N lg N
lg M ; lg N

(

)

(5) lg M ? lg N ?

(

)

(6) lg ? M ? N ? ? lg M ? lg N . 回到例 2 计算:
1 5

(

)

log 3 ? 92 ? 35 ?

(利用对数运算性质答题).

练习 5: lg100 =______________. 利用运算性质,可以把高一级的运算转化成低一级的运算,这样加快了计算速度,简化 了计算过程, 显示了对数计算的优越性, 其实对数运算最早就出现在天文学中的距离计算中. 设计意图:(1) 通过对比,让学生感受对数运算的优越性; (2) 熟习运算性质; (3) 节省时间. 例 3. 用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式:(学生板演) (1) log a x yz ;

?

2

?

(2) log a

x . y z
2

设计意图:通过判断的形式让学生自己分析容易出错的式子,如 M ? 0,N ? 0 等,使 学生认识到这里容易出错,在使用时要想一想能不能用,通过几次练习后, 自然就掌握了对数运算性质. (三)小结

4

1. 体会对数的形成过程.

ab ? N ? log a N ? b ? a ? 0, a ? 1?
他们之间是逆运算关系,可以相互转化. 2. 对数的运算性质. (1) log a ? MN ? ? log a M ? log a N
n (2) log a M ? n log a M ? n ? R ? ;

? a ? 0 , a? 1 , M? 0

,N ?? 0;

(3) log a

M =log a M ? log a N ? M ? 0,N ? 0 ? . N

(四)作业 P87 T6 (1)(2)(5) (五)课后思考 1. 课本例 6; 2. 如何用计算器计算引例中 log1.15 10 的值? 设计意图:(1) 回到引例,前后照应; (2) 为下一课作准备. 六. 板书设计 对数及其运算 1. 概念 若 a ? N ? a ? 0, a ? 1? 则 log a N ? b
b

2. 对数的运算性质: 若 a ? 0 且 a ? 1 , M ? 0,N ? 0 ,则 (1) log a ? MN ? ? log a M ? log a N ; (2) log a M (3) log a

a:底数 b:真数 (1) a ? 0 且 a ? 1 ; (2) N ? 0 ; (3) log a 1 ? 0

?

n

? ? n log

a

M ?n ? R? ;

log a a ? 1

M =log a M ? log a N . N

a loga N ? N .
七. 课后反思 本节课紧紧围绕 2 个重点来展开,第一是对数的概念,第二是对数的运算性质.当然这 节课内容较多,因此时间的分配也是这节课所要重点考虑的问题. 对于概念,向学生解释“log”符号,并通过动画展示、表格对比,体现指数式与对数 式是逆运算关系,可以相互转化.通过练习使学生达到熟练程度. 对于运算性质,是通过分析数值、猜测、推导得到的,同一个例题,一种转化为指数 式,另一种运用对数运算性质进行对比,让学生体会对数运算性质的优越性. 还通过判断题 加深学生对运算性质的认识,通过学生板演反馈信息. 对于时间的分配上,以学生懂的不讲,学生一听就懂的少讲,学生难理解,易错的多 讲为原则, 因此在指数式与对数式的互化就用的时间少一点, 在对数的概念和运算性质上花 的时间多一点.

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